交点间断Galerkin方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学

作者:(美)Jan S.Hesthaven//T.Warburton|译者

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:2011-5

价格:75.00元

装帧:

isbn号码:9787030309952

丛书系列:信息与计算科学丛书·典藏版

图书标签:

• 计算数学
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《交点间断Galerkin方法》 一、引言 在科学计算领域，数值求解偏微分方程（PDEs）是核心任务之一，其应用范围几乎涵盖了所有工程和科学分支，如流体力学、电磁学、固体力学、热传导、声学以及地球科学等。为了捕捉和模拟复杂物理现象，对数值方法的精度、稳定性和适应性提出了极高的要求。传统的有限元方法（FEM）和有限体积方法（FVM）在特定问题上表现出色，但分别在处理高精度需求和非结构化网格上的优势和局限性促使了新型方法的出现。交点间断Galerkin（Interior Discontinuous Galerkin，简称IDG）方法，作为Galerkin方法的有力延伸，凭借其独到的设计理念，为解决一系列具有挑战性的PDEs问题提供了新的视角和高效的工具。 二、方法论核心 交点间断Galerkin方法并非凭空出现，而是建立在坚实的数学基础之上。其核心思想在于，在单元内部，解函数被近似为多项式，而在单元之间，这些多项式可以在边界处“不连续”。这种不连续性允许在单元界面上引入数值通量，从而实现对解的精确传递和对物理量的守恒性。 1. 单元内的近似： 与传统的有限元方法类似，IDG方法在每个计算单元内使用局部多项式基函数来近似求解域上的未知函数。选择多项式次数（即单元内的“阶”）是影响数值精度的关键因素。高阶多项式能够更精细地捕捉解的细节，尤其是在解具有尖锐梯度或高频成分时。 2. 单元间的“间断性”： 这是IDG方法最显著的特征。在单元的边界上，不允许解函数连续。这意味着相邻单元的解在界面上的值可能不相等。这种“间断性”引入了一个概念：数值通量。数值通量是定义在单元界面上的一个辅助函数，它扮演着连接相邻单元、传递物理信息以及保证数值稳定性的关键角色。数值通量的选择直接关系到方法的精度和稳定性，常见的选择包括数值梯度、数值散度等，它们通常基于一些数值通量公式（如Lax-Friedrichs、Rusanov等）或物理量的守恒律来构造。 3. 弱形式与积分方程： IDG方法同样基于PDE的弱形式。将PDE在每个单元内乘以权函数并进行积分，同时利用分部积分将高阶导数转移到权函数上。然而，与传统有限元方法不同的是，当进行分部积分遇到单元界面时，由于解的不连续性，会产生表面积分项。这些表面积分项正是通过数值通量来精确处理的。 4. 稳定性与精度： IDG方法通过引入数值通量，自然地赋予了方法良好的稳定性和高精度。由于在单元界面上引入了修正项，即使使用低阶多项式，IDG方法也能达到较高的精度。同时，这种离散方式也对某些类别的PDEs（如双曲型方程）展现出优异的稳定性。 5. 高阶精度与局部化： IDG方法能够方便地实现高阶精度，只需提高单元内多项式的次数。这使得方法在精度提升上具有很大的灵活性，可以根据需要局部地提高某些区域的多项式次数，实现自适应精度控制。此外，IDG方法具有很强的局部化性质，每个单元的计算主要依赖于其邻近单元的信息，这对于并行计算非常有利。 三、数学基础与理论分析 《交点间断Galerkin方法》深入探讨了该方法的数学理论基础。 变分框架： 书中详细阐述了IDG方法在不同类型PDEs（如对流-扩散方程、弹性波方程、麦克斯韦方程组等）下的弱形式推导。重点在于如何处理单元界面上的迹（trace）和法向导数，以及数值通量在这一过程中的作用。 误差估计： 为量化方法的数值精度，《交点间断Galerkin方法》提供了严格的误差分析。这通常涉及对近似解与精确解之间的误差进行界定，并分析该误差与网格大小、多项式次数以及解的光滑性之间的关系。通过推导，可以证明IDG方法在一定条件下具有最优或近最优的收敛阶。 稳定性分析： 方法的稳定性是数值计算能否成功的关键。《交点间断Galerkin方法》会系统地讨论IDG方法的稳定性，通常采用能量方法或泛函分析等工具来证明方法的稳定性。数值通量的选择对于保证稳定性至关重要，书中会分析不同数值通量对稳定性的影响。 网格适应性： 针对实际问题中解的奇异性或剧烈变化，IDG方法通过局部提高多项式阶次或细化网格来实现自适应。书中会介绍相关的自适应策略，如基于误差指示器的自适应算法，以及如何有效地在IDG框架下实现这些策略。 四、应用领域与实例 《交点间断Galerkin方法》将理论与实践相结合，展示了该方法在众多前沿科学和工程领域的广泛应用。 流体力学： 在处理具有激波、接触间断等复杂流动现象时，IDG方法能够提供比传统方法更高的精度和更好的鲁棒性。例如，在可压缩流、多相流、等离子体物理等领域。 电磁学： 麦克斯韦方程组的数值求解是电磁场模拟的基础。《交点间断Galerkin方法》会展示IDG方法在求解全波电磁问题、衍射、散射等方面的优势，尤其是在处理高频电磁波和复杂几何结构时。 固体力学与结构工程： 在模拟材料的断裂、疲劳、塑性变形等非线性问题时，IDG方法能够提供高精度的应力场和变形场计算，有效捕捉裂纹尖端的奇异行为。 声学与振动： 解决声波传播、结构振动等问题，IDG方法在高频声学和复杂介质中的传播模拟方面展现出其独特优势。 地球科学： 在地震波模拟、油藏数值模拟等领域，IDG方法能够处理复杂的地下结构和物性变化，提供准确的预测结果。 计算流体力学（CFD）与计算电磁学（CEM）等领域： 《交点间断Galerkin方法》将作为一本面向研究人员和工程师的参考书，提供一套完整且强大的数值工具，帮助他们解决实际工程问题。 五、技术实现与算法细节 除了理论推导，《交点间断Galerkin方法》还会关注方法的具体实现细节。 离散化流程： 详细介绍如何构建IDG方法的离散方程组，包括单元内的基函数选择、数值积分方法、以及如何组装全局刚度矩阵和载荷向量。 求解器： 讨论如何高效地求解IDG方法产生的方程组，包括直接求解器和迭代求解器，以及并行计算的策略。 编程实践： 可能包含伪代码或实际的编程指南，帮助读者将所学理论转化为可执行的计算程序。 与其他方法的比较： 《交点间断Galerkin方法》会从精度、稳定 H、计算效率、网格适应性等方面，将IDG方法与传统的有限元方法、有限体积方法、有限差分方法等进行深入的比较，凸显其优势和适用范围。 六、结论与展望 《交点间断Galerkin方法》不仅是一本介绍该方法的学术专著，更是一份引领计算科学发展前沿的指南。通过对IDG方法深入的理论分析和丰富的实际应用展示，该书将帮助读者掌握这一强大的数值工具，并在各自的研究领域取得突破。随着计算能力的不断提升和算法研究的深入，交点间断Galerkin方法有望在更多科学和工程领域发挥越来越重要的作用，成为解决复杂科学问题的有力武器。

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我必须承认，这本书的理论深度是毋庸置疑的，它绝不是一本为初学者准备的入门读物。对于已经掌握了有限元基础理论的科研人员来说，这本书提供了一个极佳的深化平台。特别是关于离散梯度和通量计算的章节，作者深入探讨了如何在不连续网格上保持某种形式的守恒律，这涉及到对信息传播机制的深刻理解。我花了相当长的时间来消化其中关于“单元间耦合”的数学细节，发现它巧妙地融合了经典 Galerkin 方法的稳定性和某种局部化的优势。唯一让我略感吃力的是，某些定理的证明过程略显跳跃，虽然最终结论是严谨的，但中间环节的过渡有时需要读者自行填补大量的背景知识。因此，这本书更适合作为研究生或博士后进行专题研究时的参考手册，而非快速扫盲教材。它要求读者具备扎实的泛函分析和计算数学功底。

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这本书的排版和插图质量简直是教科书级别的典范，这一点非常值得称赞。在阅读涉及高维问题的数学推导时，清晰的图示是理解抽象概念的桥梁，而这本书在这方面做得非常到位。每一张图都经过精心设计，不仅标注详尽，而且色彩运用得当，有效地突出了关键的物理或数学特征。比如，在讲解空间离散化误差分析的那一章，作者通过一系列对比鲜明的网格图，直观地展示了不同阶次基函数对解的捕捉能力差异，这比纯粹的公式推导要来得生动得多。我特别欣赏作者在论述复杂算法步骤时，会穿插一些“小贴士”或“历史注释”，这让原本可能枯燥的理论学习过程变得富有趣味性。这种对细节的极致追求，体现了作者深厚的学术功底和强烈的教学意愿，使得即便是初次接触此类高级数值方法的读者，也能感受到一种被细心引导的舒适感。

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这本书的封面设计相当引人注目，那种深邃的蓝色调和几何图形的交织，确实让人对内容充满了好奇和期待。我本来是抱着学习一种新型数值方法的心态来翻阅的，特别是涉及到偏微分方程求解的领域，总是希望能找到更高效、更精确的工具。初读时，我对作者在引言部分对传统有限元方法局限性的剖析印象深刻，他没有停留在泛泛而谈，而是用具体的例子展示了在处理某些复杂边界条件或不连续解时，现有方法的力不从心。那种对现有技术瓶颈的深刻洞察，使得后续内容的展开显得顺理成章，也让我对即将介绍的“交点间断Galerkin方法”（如果这本书真的涵盖这个主题的话）产生了极高的兴趣点。我期待着看到它如何巧妙地平衡精度和计算效率，尤其是在网格自适应和并行计算方面的潜力，这对于大规模工程仿真来说至关重要。整体而言，这种开篇的布局，成功地搭建了一个引人入胜的知识框架，让读者愿意深入探索其核心技术细节。

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这本书的写作风格带着一种沉稳、老练的学者气度，行文流畅但用词精准，很少出现冗余的表达。它最大的魅力在于其内在的逻辑一致性和结构的严谨性。从基础的波动理论回顾，到方法论的构建，再到误差的严格估计，每一个部分都像精密仪器上的齿轮一样咬合得天衣无缝。尤其欣赏作者在讨论方法的推广性时所展现出的谦逊与自信——他坦诚地指出了该方法在处理特定非线性问题时的收敛挑战，而不是盲目宣称其为万能之钥。这种对自身研究领域边界的清晰认知，使得整本书读起来非常令人信服。它不仅仅是一本技术手册，更像是一次由领域内资深专家带领的、对前沿数值计算艺术的深度巡礼，让人在学习知识的同时，也领略到严谨治学的风范。

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这本书的实践应用导向性，超出了我最初的预期。我原以为它会侧重于纯粹的数学理论构建，但惊喜地发现，作者在每一章节的末尾都提供了详尽的“应用案例分析”。这些案例并非空洞的理论展示，而是直接对接了当前工程领域的热点问题，比如冲击波模拟、多孔介质流动等。更具价值的是，作者在附录中提供了关键算法的伪代码实现思路，虽然没有直接给出完整的源代码，但其清晰的逻辑结构足以指导读者快速搭建自己的计算框架。我尝试根据书中的描述复现了一个简单的对流扩散问题，发现其在处理对流占优问题时的稳定性表现确实优于我以往使用的传统 Galerkin 方法。这种理论与实践紧密结合的写作风格，极大地增强了这本书的实用价值，让理论不再是空中楼阁。

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DG算法的matlab实现

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