Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Claes Johnson

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:1988-1-29

价格:USD 39.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780521347587

丛书系列:

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• 数值计算
• 教材
• 有限元方法
• 偏微分方程
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深度探索偏微分方程的数值解法：有限元方法的理论与实践 本书旨在为读者提供一个全面且深入的视角，理解如何运用有限元方法（Finite Element Method, FEM）来精确求解各类偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）。它不仅涵盖了FEM的核心理论基础，更侧重于实际应用中的策略和技巧，让读者能够灵活运用这一强大的数值工具解决科学与工程领域中的复杂问题。 核心概念与数学基础 本书将从PDEs的基本概念和分类出发，系统性地介绍其在物理、工程、金融等众多学科中的广泛应用。在此基础上，我们将深入剖析有限元方法赖以生存的数学根基，包括： 变分原理与弱形式（Variational Principles and Weak Formulation）： 理解如何将强形式的PDE转化为等价的积分形式，即弱形式。这是FEM分析的核心，它允许我们在更广阔的函数空间内寻找解，从而处理含有不连续性或不光滑特性的问题。 Sobolev空间（Sobolev Spaces）： 介绍具有一定阶数导数的函数空间，这是分析FEM解的收敛性和误差性质的关键。读者将学习到Sobolev嵌入定理、Poincaré不等式等重要概念，为理论分析奠定坚实基础。 插值与逼近（Interpolation and Approximation）： 探讨如何在离散化的网格单元上，使用多项式函数来逼近真实的解。我们将详细介绍Lagrange插值、Hermite插值等方法，以及相关的误差估计。 算子理论（Operator Theory）： 简要介绍线性算子及其性质，为理解PDE的数学结构和FEM的离散化过程提供更深刻的认识。 有限元方法的离散化过程 本书将详细阐述FEM将连续问题转化为离散代数方程组的完整流程： 网格剖分（Meshing）： 介绍如何将研究区域划分为一系列互不重叠的有限单元（如三角形、四边形、四面体、六面体等）。我们将讨论不同类型的单元，以及网格质量对计算精度的影响。 单元基函数（Basis Functions / Shape Functions）： 讲解如何在每个单元内部定义一组基函数，用于表示单元内的近似解。书中将介绍局部基函数（如多项式基函数）的概念，以及它们如何通过节点值来唯一确定单元解。 组装（Assembly）： 详细阐述如何将每个单元的贡献（由基函数和弱形式推导而来）组合起来，形成全局的（大型）线性代数方程组。我们将讨论单元矩阵的局部求积（Quadrature）以及如何高效地将其映射到全局节点。 边界条件的处理（Treatment of Boundary Conditions）： 重点介绍如何将Dirichlet边界条件（指定函数值）和Neumann边界条件（指定通量）有效地施加到全局方程组上。理解这些边界条件的物理意义和数学表达方式至关重要。 理论分析与误差估计 FEM不仅仅是一种计算方法，其背后蕴含着严谨的数学理论支撑。本书将深入探讨： 一致性（Consistency）： 分析离散方程组在网格趋于无穷小时，是否能趋近于原连续PDE的弱形式。 稳定性（Stability）： 确保数值解在网格细化过程中保持有界，不会产生不可控的误差增长。 收敛性（Convergence）： 证明FEM解的精度随着网格的细化而提高，并推导出相应的收敛阶。 A Priori 误差估计（A Priori Error Estimates）： 在求解之前，根据网格剖分和问题的性质，给出解的误差上界。这将帮助我们了解在给定网格情况下，解的精度预期。 A Posteriori 误差估计（A Posteriori Error Estimates）： 在计算出数值解后，通过分析残差等信息，来估计解的实际误差。这对于自适应网格细化（Adaptive Mesh Refinement）至关重要，可以指导网格在误差较大的区域进行加密，从而更有效地提高计算精度。 不同类型的PDEs及其FEM应用 本书将覆盖一系列重要的PDE类型，并展示FEM在解决这些问题时的具体策略： 椭圆型方程（Elliptic Equations）： 如泊松方程（Poisson Equation）、拉普拉斯方程（Laplace Equation）。我们将重点讲解它们在静力学、稳态传热、电势场等问题中的应用。 抛物型方程（Parabolic Equations）： 如热传导方程（Heat Equation）、扩散方程（Diffusion Equation）。书中将探讨如何结合时间离散化方法（如前向欧拉、后向欧拉、Crank-Nicolson等）来求解这些随时间演变的问题。 双曲型方程（Hyperbolic Equations）： 如波动方程（Wave Equation）。我们将关注如何处理其解中的波传播特性，以及可能出现的激波等现象。 耦合方程组（Coupled Systems）： 介绍如何处理多个方程相互关联的情况，例如流体力学中的Navier-Stokes方程组。 高级话题与实践考虑 除了基础理论和标准应用，本书还将触及一些更高级和实践性的内容： 自适应网格细化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）： 详细介绍如何利用A Posteriori误差估计来自动调整网格，将计算资源集中在需要更高精度的区域，实现效率与精度的最佳平衡。 高阶有限元（Higher-Order Finite Elements）： 讨论使用更高次多项式基函数以获得更快的收敛速度。 非线性问题的FEM解法（FEM for Nonlinear Problems）： 介绍如何结合迭代方法（如Newton-Raphson方法）来处理非线性PDEs。 并行计算（Parallel Computing）： 探讨如何在多核处理器或分布式集群上实现FEM算法，以处理大规模问题。 软件实现（Software Implementation）： 提供关于如何使用常见的数值计算库（如NumPy, SciPy, PETSc, FEniCS等）来实现FEM算法的指导和示例。 谁适合阅读本书？ 本书适合于具有一定数学基础（包括线性代数、微积分、常微分方程）的本科生、研究生以及在科研和工程领域工作的专业人士。无论是希望深入理解FEM理论，还是希望掌握FEM在实际问题中的应用，本书都将是您宝贵的参考资料。通过理论讲解与实例分析的结合，读者将能够系统地掌握有限元方法，并将其有效应用于自己的研究和工作中。

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与其他侧重于有限差分法或有限体积法的书籍相比，这本书在有限元法的特有优势上进行了毫不含糊的强调，尤其是在处理复杂几何形状和非均匀材料属性时表现出的卓越灵活性。它详细解释了为什么有限元法在这些情况下能够提供比其他方法更精确、更易于控制的解。此外，书中对误差分析的部分也处理得非常到位，它不仅给出了理论上的收敛速率估计，还结合实例讨论了实际计算中可能出现的数值不稳定现象及其应对策略。这种对计算实现细节的关注，使得这本书不仅仅是一本理论教材，更像是一本结合了数学理论与高性能计算实践的综合指南，对于希望构建健壮数值模拟代码的专业人士来说，价值无可替代。

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这本书的深度远超我的预期，它不仅仅是一本入门读物，更像是进阶研究的路线图。在最后几章，作者开始探讨一些前沿且极具挑战性的课题，比如非线性问题、非结构化网格的高阶近似，以及如何处理边界条件的不规则性。这些内容的讲解非常深入，引用了大量的近期研究成果作为支撑，显示出作者在这一领域深厚的学术积累。对于准备进行硕士或博士阶段研究的学者来说，这本书的后半部分简直是金矿。它提供了一个扎实的理论框架，然后在其上搭建起了通往更复杂、更真实世界问题的阶梯。阅读这些章节时，我感觉自己正在与该领域的顶尖专家进行一场高质量的智力对话。

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我作为一个长期在工程领域摸爬滚打的实践者，最看重的是理论与实际应用的结合度。这本书在这方面做得极其到位。它并没有仅仅停留在数学推导的象牙塔中，而是将偏微分方程（PDEs）的各个经典应用场景——比如热传导、流体力学中的泊松方程等——都作为案例进行了深入剖析。更让我惊喜的是，它提供了一些伪代码级别的算法描述，虽然没有直接给出完整的编程实现，但对于理解如何将理论转化为实际的数值代码具有极大的指导价值。相比于那些只关注理论严谨性而缺乏工程视角的老旧教材，这本书的实用主义倾向非常明显，它让我迅速找到了将抽象的变分原理与我日常工作中遇到的具体数值模拟问题连接起来的桥梁。

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这本书的封面设计简直是视觉上的享受，那种沉稳的深蓝色调搭配着银灰色的文字，透露出一种严谨而又不失现代感的学术气息。我本来以为一本讲述有限元方法的书会是枯燥乏味的公式堆砌，但翻开扉页后才发现，作者在排版和图示上花了不少心思。特别是那些复杂的网格划分和插值函数的示意图，清晰得让人一眼就能抓住核心概念，而不是被密密麻麻的符号迷住。很多教材在这方面处理得非常粗糙，使得初学者望而却步，但这里显然是下了功夫的。而且，书本的装帧质量也非常出色，纸张的厚度和光洁度都达到了专业级别，拿在手里沉甸甸的，让人感觉这是一本可以长期作为参考手册的经典之作。这种对细节的关注，往往预示着内容本身的深度和可靠性。

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对于数学基础相对薄弱的读者来说，理解有限元方法的理论基础——特别是形函数（Shape Functions）和刚度矩阵的构建——往往是最大的难关。这本书的叙述方式非常巧妙，它没有采用那种上来就抛出高深泛函分析的路线，而是从最简单的二维单元（如三角形）开始，循序渐进地引入能量最小化原理和伽辽金法的思想。它的行文节奏把握得很好，过渡自然流畅，仿佛有一位经验丰富的导师在旁边耐心讲解。作者似乎深谙“少即是多”的教学哲学，每一个新的概念都会被拆解成几个更容易消化的步骤，配以直观的几何解释。这使得即便是需要快速掌握核心技术的工程师，也能高效地吸收知识，而不是被冗余的数学证明拖慢脚步。

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