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出版者:Springer

作者:T.Y. Lam

出品人:

页数:430

译者:

出版时间:2010-11-19

价格:USD 64.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441931757

丛书系列:

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好的，这是一本关于代数拓扑基础的著作的详细简介，内容涵盖了该领域的核心概念、方法论和重要应用，旨在为初学者和有一定基础的读者提供一个深入而全面的视角。 --- 代数拓扑基础：从同调到纤维丛 作者： [此处可填写虚构作者名] 出版社： [此处可填写虚构出版社名] ISBN： [此处可填写虚构ISBN] 内容概述 本书旨在为读者提供代数拓扑学这一迷人且强大的数学分支的全面而严谨的介绍。代数拓扑学致力于使用代数工具（如群、环、模）来研究拓扑空间的不变性质，从而将几何直观与代数精确性完美结合。本书内容从最基础的拓扑空间和连续映射开始，系统地引入了同调论（奇异同调、群同调）和同伦论（基本群、高阶同伦群），并延伸至更高级的主题，如纤维丛、谱序列以及应用实例。 全书结构清晰，逻辑连贯，兼顾了概念的引入、定理的证明与实际应用的展示。目标读者群包括数学系高年级本科生、研究生，以及希望系统性了解代数拓扑理论的几何学家和理论物理学家。 --- 第一部分：拓扑基础与基本群 本部分为后续高级理论的奠基，回顾了必要的预备知识，并引入了研究空间连通性和“洞”的第一个代数工具。 第1章：拓扑空间的复习与准备 本章首先回顾了度量空间、拓扑空间的定义、开闭集、连续映射、紧致性和连通性等基本概念。随后，重点介绍了商拓扑的构造及其在构造经典空间（如球面、环面）中的作用。此外，还讨论了积拓扑和函子（Functor）的基本概念，特别是涉及函子保持或反转结构的信息。 第2章：基本群（$pi_1$）：环路与连通性 本章的核心是定义基本群 $pi_1(X, x_0)$，它是研究空间中环路（Loops）等价类的代数结构。详细讨论了路径的同伦概念，并给出了基本群作为第一个拓扑不变量的计算实例，例如圆周 $S^1$、球面 $S^n$（对于 $n ge 2$）以及实射影平面 $mathbb{R}P^2$ 的基本群。韦尔霍彭定理（Van Kampen’s Theorem）作为计算复杂空间基本群的关键工具被详尽阐述。本章还介绍了覆盖空间理论，展示了基本群与单连通空间之间的深刻联系，并推导了黎曼曲面的分类定理。 --- 第二部分：链复形与奇异同调 本部分是全书的基石，引入了奇异同调理论，这是理解高维“洞”的关键。 第3章：链复形与链映射 本章介绍代数拓扑的核心语言：链复形（Chain Complexes）和链映射（Chain Maps）。定义了链群、边界算子 $partial$ 以及复形的性质（$partial^2 = 0$）。在此基础上，引入了链同伦的概念，确保了链映射的“拓扑意义”下的等价性。讨论了链复形之间的映射如何诱导出同态序列。 第4章：奇异同调群 $H_n(X)$ 本章正式定义了奇异链复形 $C_(X)$，其中包含了所有连续映射 $sigma: Delta_n o X$ 构成的自由阿贝尔群。边界算子的精确定义使得奇异同调群 $H_n(X) = ker(partial_n) / ext{im}(partial_{n+1})$ 得以确立。本书详细分析了低维同调群（$H_0, H_1$）的拓扑意义，例如 $H_0$ 与路径连通分量的关系。 第5章：同调的自然性和长正合序列 本章探讨同调理论的“好行为”，即自然性。通过对一个包含两个子空间 $A subset X$ 的对偶对（Pairing） $(X, A)$，引入了约化同调群 $ ilde{H}_n(X)$。关键性地，推导并证明了相对同调群 $H_n(X, A)$ 及其与约化同调群的关系，从而构建出至关重要的同调长正合序列（Long Exact Sequence in Homology）。该序列是计算复杂空间同调群的主要“工作马”。 第6章：迈耶-维托里斯（Mayer-Vietoris）序列与计算 本章展示了如何利用迈耶-维托里斯序列这一强大工具来计算关键空间的同调群。通过对球面 $S^n$、球面联接体、楔和、悬挂（Suspension）等经典拓扑空间的迭代计算，读者将掌握如何将复杂的拓扑问题转化为可解的代数问题。 --- 第三部分：应用与进阶主题 本部分将同调理论与其它代数结构相结合，并展望更深入的领域。 第7章：拓扑空间的乘积与库内特（Künneth）公式 本章探讨了两个拓扑空间乘积的同调群如何与它们各自的同调群相关联。详细介绍了库内特公式（Künneth Formula），包括其系数的构造和必要的Tor项的解释。本书强调了库内特公式在处理如环面 $T^2 = S^1 imes S^1$ 或更高维环面（Torus）的同调结构时的威力。 第8章：系数域的推广与群同调基础 本章讨论了奇异同调如何推广到任意阿贝尔群 $G$ 作为系数，得到群同调 $H_n(X; G)$。重点阐述了系数变换如何通过张量积和Tor函子联系起来。此外，引入了上同调（Cohomology）的概念，定义了奇异上同调群 $H^n(X; G)$，并展示了其作为链复形上 $ ext{Hom}$ 函子导出的对偶结构。 第9章：微分形式与德拉姆上同调 本章将代数拓扑与微分几何连接起来，特别针对光滑流形。详细介绍了微分形式、外导数和外微分运算。核心内容是德拉姆定理（de Rham's Theorem），它确立了光滑流形上的德拉姆上同调群与奇异有理系数上同调群之间的同构关系。 第10章：同伦群的代数结构 本章回顾基本群后，系统地引入了高阶同伦群 $pi_n(X, x_0)$，即 $n$ 维球面映射的群。讨论了纤维丛（Fiber Bundles）的背景下，同伦群如何通过霍普夫不变量（Hopf Invariant）和纤维丛的$pi$序列得到初步计算。着重阐述了Hurewicz定理，它将最低非零的同伦群与第一个非零的同调群联系起来，揭示了拓扑空间在不同维度上的代数特征。 附录：模论与阿贝尔范畴基础 附录提供读者所需的基础代数背景，特别是关于自由模、张量积和 $ ext{Ext}$ 函子的必要知识，以便于理解同调理论中系数转换的细节。 --- 本书特色 1. 严谨的证明与清晰的几何直觉相结合： 每一定理的证明都力求完整，同时配以丰富的图示和具体的拓扑例子来锚定抽象概念。 2. 强调工具的通用性： 不仅计算经典空间，更着重于讲解如何使用迈耶-维托里斯序列、长正合序列等工具来解决未知空间的问题。 3. 代数与几何的桥梁： 书中穿插了从拓扑到微分几何（德拉姆理论）的过渡，展示了代数拓扑在不同数学领域中的普适性。 通过本书的学习，读者将能够熟练运用代数工具解决复杂的拓扑问题，并为进一步研究流形、微分拓扑或几何拓扑打下坚实的基础。

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这本《Exercises in Modules and Rings》是我在深入钻研抽象代数过程中偶然发现的一块宝藏。我之所以选择它，纯粹是因为我被“Modules and Rings”这两个词深深吸引，它们在我脑海中勾勒出一幅充斥着结构、同态、理想以及各种群体的宏伟蓝图。当我拿到这本书时，我并没有立刻沉浸其中，而是先仔细端详了它的封面和排版，希望从中窥见一丝学术的严谨和内容的深度。这本书的装帧设计相当朴实，没有过多花哨的修饰，但我反而觉得它透露出一种沉静而专注的气质，就像一位饱学之士，不事张扬，却自有风骨。翻开目录，我被各种各样的章节标题所吸引，从基础的模定义出发，逐步深入到更复杂的同调代数，每一个小标题都像一个待解的谜题，激发着我的好奇心。我尤其对其中关于“射影模”、“内射模”和“投射性”的讨论很感兴趣，因为这些概念在研究生阶段的代数学习中至关重要，而许多教材往往只是点到为止，留给读者大量的思考空间。这本书的出现，无疑为我提供了一个绝佳的练习平台，让我有机会将那些抽象的概念转化为具体的计算和证明，从而真正理解它们的内涵。我期待着通过大量的练习，能够更深入地掌握这些抽象代数的核心思想，并为我未来的学术研究打下坚实的基础。我希望这本书能在我手边，成为我学习路上的忠实伙伴，随时随地为我提供挑战与启迪，让我能够在代数的世界里游刃有余地探索，发现更多未知的乐趣。

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我当初之所以会被《Exercises in Modules and Rings》这本书所吸引，完全是因为我对抽象代数中模和环这两个核心概念的浓厚兴趣。我一直觉得，学习数学，尤其是理论性很强的数学分支，如果没有足够的练习来支撑，那么学到的知识往往是浮于表面的，不够扎实。我曾接触过不少介绍抽象代数概念的书籍，但很多时候，它们更侧重于定理的证明和理论的阐述，而留给读者的实践机会却相对有限。这本书的独特之处在于，它仿佛为我量身定做了一个“练习场”，通过大量的、不同难度级别的习题，引导我一步步深入理解模和环的精髓。我特别欣赏书中对一些基础概念的细致处理，例如，关于模的生成元、关系式以及自由模的构造。这些看似基础的内容，往往是理解更复杂理论的关键。通过反复练习这些题目，我希望能将这些抽象的概念内化为自己的知识体系，并且能够熟练地运用它们来解决实际问题。我尤其期待书中关于模的分类，以及模的挠函和维数理论的练习，这些内容往往是研究生阶段代数学习的重点和难点，而这本书提供的系统训练，无疑会对我大有裨益。

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我一直认为，数学的魅力在于它的结构性和逻辑性，而抽象代数更是将这种魅力展现得淋漓尽致。《Exercises in Modules and Rings》这本书，在我看来，正是通往这种魅力的绝佳钥匙。我被它吸引的原因，在于它提供了一个系统性的学习路径，引导我一步步深入到模和环的复杂世界。我之前阅读过一些关于群论和域论的书籍，但对于模和环这一块，总感觉缺乏一些深入的练习来巩固我的理解。这本书的章节设置非常吸引我，从最基础的模的定义和性质，到更高级的同调代数概念，几乎涵盖了模和环理论的各个方面。我特别感兴趣的是书中关于模同态、模同构以及模的子模和商模的讨论。这些概念是理解模结构的关键，而这本书提供的丰富练习，能够帮助我将理论知识转化为实际操作能力。我希望通过这本书的指导，能够更清晰地认识到不同类型模之间的关系，例如射影模、内射模和平坦模，以及它们在代数几何和数论等领域的应用。我相信，这本书能够为我打开一扇新的大门，让我更深刻地理解数学的抽象美，并为我未来的学术研究提供坚实的支撑。

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《Exercises in Modules and Rings》这本书，对我来说，更像是一个数学训练营。我一直认为，数学的学习，尤其是抽象代数这类学科，光靠阅读理论是远远不够的，必须要有大量的实践来巩固和内化。我之所以被这本书吸引，是因为我感觉它提供了一个非常系统和全面的练习体系。我曾经尝试过其他一些代数书籍，但很多时候，它们更侧重于定理的陈述和证明，而留给读者的练习题却寥寥无几，而且往往缺乏梯度。这本书则完全不同，它几乎是将理论的讲解与练习紧密结合，每一个概念的引入，都伴随着一系列精心设计的题目，这些题目能够帮助我从不同的角度去理解和应用这个概念。我尤其喜欢它对一些常见模结构的讨论，比如自由模、挠挠模以及模的直和与直积。这些概念在许多高等数学分支中都扮演着重要角色，而准确理解它们的性质需要大量的计算和推理。这本书提供的练习，正是帮助我做到这一点的最佳途径。我期待着通过这本书的磨练，能够提升自己的数学思维能力，更重要的是，能够真正地“玩转”模和环，将它们视为自己手中灵活的工具，而不是仅仅停留在书本上的抽象符号。

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当我决定深入钻研抽象代数中的模和环时，《Exercises in Modules and Rings》这本书便成为了我必不可少的工具。我一直坚信，学习数学，尤其是理论性极强的学科，大量的练习是不可或缺的。我曾尝试过阅读其他一些介绍模和环的书籍，但很多时候，它们在练习题的数量和难度梯度上都显得有些不足，常常让我感到意犹未尽。这本书的出现，恰恰弥补了我的这一需求。我被它吸引的原因，是它在练习设计上的独到之处。它从最基本的模的定义、子模、商模，到更复杂的模同态、模同构，再到挠挠模、射影模、内射模等关键概念，几乎涵盖了模理论的各个重要方面。每一个概念的引入，都伴随着一系列精心设计的题目，这些题目不仅能够帮助我理解概念的含义，更能让我学会如何运用这些概念解决问题。我尤其看重书中关于模的分解定理以及模的挠函性质的探讨，这些内容往往是理解整个理论框架的关键。我希望通过这本书的磨练，能够将抽象代数转化为我的“语言”，并且能够自信地在各种数学场景中运用它。

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我接触《Exercises in Modules and Rings》这本书，源于我一直以来对数学抽象结构的痴迷。我总觉得，数学的美，体现在它能够用简洁的符号和严谨的逻辑，构建出纷繁复杂的结构体系。而模和环，正是这种体系中极其重要且富有魅力的组成部分。我之所以被这本书深深吸引，是因为它提供了一个绝佳的平台，让我能够通过大量的练习来深入探索这些概念。我曾阅读过一些介绍抽象代数的书籍，但很多时候，它们更侧重于理论的推导和证明，而留给读者的实践机会却相对有限，这让我总觉得隔靴搔痒。这本书的特点在于，它将理论的阐述与练习的设置紧密结合，从最基础的模的定义、子模、商模，到更复杂的模同态、模同构，以及挠挠模、射影模、内射模等关键概念，几乎涵盖了模理论的各个重要方面。我尤其喜欢书中关于模的分解以及模的挠函性质的练习，这些内容往往是理解整个理论框架的关键。我期待着通过这本书的磨练，能够将那些抽象的概念内化为自己的知识体系，并且能够熟练地运用它们来分析和解决问题，为我未来的学术研究打下坚实的基础。

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当我第一次接触到《Exercises in Modules and Rings》这本书时，我的内心就涌起一股强烈的求知欲，我被它所蕴含的数学深度和广度所深深吸引。我一直认为，学习数学，尤其是像模和环这样高度抽象的学科，最重要的一环就是通过大量的练习来巩固和深化理解。我曾经尝试过不少关于抽象代数的教材，但很多时候，它们在练习题的数量和质量上都显得有些不足，常常让我感到意犹未尽。这本书的出现，恰恰填补了我的这一需求。我被它吸引的原因，是它对练习的设计极其精巧。它从最基础的模的定义、子模、商模开始，逐步深入到模的同态、同构，以及挠挠模、射影模、内射模等更高级的概念。每一个概念的引入，都伴随着一系列精心设计的题目，这些题目不仅能够帮助我理解概念的含义，更能让我学会如何运用这些概念解决问题。我尤其看重书中关于模的分解定理以及模的挠函性质的探讨，这些内容往往是理解整个模理论的关键，而这本书提供的丰富练习，能够帮助我更好地掌握这些核心思想。我希望通过这本书的磨练，能够将抽象代数转化为我的“语言”，并且能够自信地在各种数学场景中运用它。

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坦白说，我在接触《Exercises in Modules and Rings》之前，对模和环的概念虽然有所了解，但总觉得隔靴搔痒，缺乏一种深入骨髓的理解。我曾尝试过阅读一些更理论化的著作，但往往因为缺乏足够的练习和实例，而使得那些精妙的理论变得难以捉摸。当我拿到这本书时，我脑海中只有一个模糊的愿望：找到一个能够让我真正“动手”的工具。这本书的编排方式非常吸引我，它似乎是以一种循序渐进的方式，将读者引入模和环的奇妙世界。我特别欣赏它对每个概念的介绍都伴随着大量的练习题，而且这些练习题的难度分布得很合理，从最基本的概念验证，到需要巧妙运用定理的证明题，再到一些探索性的问题，几乎覆盖了学习过程中的所有可能遇到的挑战。我最看重的是书中对一些经典问题的深入探讨，比如关于挠函的性质，以及不同类型模之间的关系。这些问题往往是理解整个理论体系的关键，而市面上很多教材在这方面给出的讲解都相对简略。我希望通过反复练习，能够真正做到“融会贯通”，不仅仅是记住公式和定理，更能理解它们背后的逻辑和思想。我相信，通过这本书的引导，我能够将抽象的代数概念转化为自己能够熟练运用的工具，为我在高等代数领域的学习和研究打下更加坚实的基础。

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我的数学学习之路，总是在不断地寻找能够帮助我“动手”的工具，《Exercises in Modules and Rings》正是这样一件让我欣喜若狂的发现。我一直坚信，理论的学习必须辅以大量的实践，尤其是在抽象代数这样一个高度抽象的领域。我曾读过一些介绍模和环的著作，但许多时候，它们更像是一份理论的目录，而缺乏足够详实的例题和练习来引导读者真正地掌握这些概念。这本书的封面和标题就传递出一种“实用”的气息，仿佛在告诉我，这里有足够的挑战等待着你去征服。我被它吸引，是因为我看到了它在练习设计上的用心。从最基本的模的性质验证，到需要巧妙运用定理的证明题，再到一些涉及代数结构的构造性问题，这本书提供了一个非常完整的练习闭环。我尤其对书中关于模的同态定理、张量积以及模的挠函性质的练习很感兴趣。这些内容往往是理解模理论精髓的关键，而这本书提供的系统训练，让我相信我能够将那些抽象的定义和定理内化为自己的知识，并且能够熟练地运用它们来分析和解决问题。我期待着通过这本书的陪伴，能够不断提升自己的数学分析和证明能力，最终能够独立地在模和环的广阔领域中进行探索。

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我对《Exercises in Modules and Rings》的初衷，源于我对数学结构之美的迷恋，尤其是在抽象代数领域。我总觉得，一个数学概念如果不能通过大量的计算和证明来“玩转”它，那么就很难称得上是真正的掌握。我曾经尝试阅读一些关于模和环的教材，但总觉得在练习方面有所欠缺，很多时候，我需要在其他地方寻找额外的习题来巩固我的理解。这本书的出现，恰好弥补了这一遗憾。我被它深深吸引的原因，是它提供了一个非常全面且具有挑战性的练习体系。从最基础的模的定义、子模、商模，到更复杂的模同态、模同构，再到挠挠模、射影模、内射模等关键概念，这本书几乎涵盖了模理论的各个重要方面。我特别欣赏书中对某些概念的深入探讨，比如关于模的分解，以及各种挠函的性质。这些内容往往是理解整个理论框架的关键，而这本书提供的丰富习题，能够帮助我真正地去思考和探索这些问题。我期待着通过这本书的磨练，能够将那些抽象的符号和定义转化为我手中灵活的工具，并且能够自信地驾驭模和环理论的各种复杂问题，为我未来的学术研究打下坚实的基础。

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