Higher-Order Numerical Methods for Transient Wave Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Cohen, Gary

出品人:

页数:361

译者:

出版时间:2002

价格:96,95 €

装帧:

isbn号码:9783540415985

丛书系列:

图书标签:

数值方法
波动方程
偏微分方程
时域分析
高阶方法
有限差分
有限元
谱方法
数值模拟
计算物理

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具体描述

Solving efficiently the wave equations involved in modeling acoustic, elastic or electromagnetic wave propagation remains a challenge both for research and industry. To attack the problems coming from the propagative character of the solution, the author constructs higher-order numerical methods to reduce the size of the meshes, and consequently the time and space stepping, dramatically improving storage and computing times. This book surveys higher-order finite difference methods and develops various mass-lumped finite (also called spectral) element methods for the transient wave equations, and presents the most efficient methods, respecting both accuracy and stability for each sort of problem. A central role is played by the notion of the dispersion relation for analyzing the methods. The last chapter is devoted to unbounded domains which are modeled using perfectly matched layer (PML) techniques. Numerical examples are given.

高阶数值方法在瞬态波动方程中的应用：一本深入的教材与参考书图书概述本书旨在为高等数学、物理学、工程学领域的学生、研究人员以及专业工程师提供一套全面、深入的理论框架与实用工具，用以解决瞬态波动方程（Transient Wave Equations）在复杂介质与边界条件下的数值模拟问题。我们聚焦于高阶（Higher-Order）数值方法的开发、分析与实现，这些方法在保证高精度的同时，能有效处理色散和耗散现象，尤其是在涉及高频或需要精细分辨率的模拟场景中，表现出远超传统低阶方法的优越性。本书的结构设计兼顾了理论的严谨性与应用的广泛性。前半部分系统回顾了瞬态波动方程的数学基础，包括亥姆霍兹方程、声学方程、电磁波方程（Maxwell’s Equations）在时域中的形式，并深入探讨了这些方程在不规则几何体、非均匀介质中的物理意义。随后，本书的核心内容将围绕高阶方法展开，详细阐述有限差分法（Finite Difference Method, FDM）、有限元法（Finite Element Method, FEM）、谱方法（Spectral Methods）以及不连续伽辽金法（Discontinuous Galerkin Method, DG）等主流框架下的高阶离散化技术。核心内容深度解析第一部分：波动方程基础与数值挑战本部分为后续高阶方法奠定坚实的理论基础。我们从一维、二维和三维的波动方程出发，系统梳理了其在不同物理场景（如地震波传播、声纳成像、光纤传输）中的具体表达。重点分析了数值模拟面临的固有挑战： 1. 色散误差（Dispersion Error）：传统低阶方法在模拟波前传播速度时会引入显著误差，尤其当网格尺度与波长接近时。我们将量化这种误差，并引入高阶方法如何通过更精细的时间和空间导数近似来最小化此误差的理论依据。 2. 吸收边界条件（Absorbing Boundary Conditions, ABCs）：模拟无限大或半无限大空间中的波动问题，必须设计有效的边界吸收层。本书将详细介绍诸如PML（Perfectly Matched Layer，完美匹配层）的高阶实现细节，以及它们在时域稳定性和准确性方面的考量。 3. 时域稳定性分析：高阶方法通常涉及更复杂的矩阵结构。我们将使用冯·诺依曼稳定性分析（von Neumann Stability Analysis）来评估不同高阶时间积分格式（如高阶Runge-Kutta方法或更先进的隐式/半隐式格式）的稳定域。第二部分：空间离散化的精进：高阶差分与基函数本部分是全书的技术核心，专注于如何构建高阶空间离散算子。高阶有限差分（High-Order FDM）：我们将超越传统的中心差分公式，介绍基于泰勒展开优化、或使用特定滤波器设计的高阶差分模板。重点讨论如何利用这些模板在固定网格上实现至少四阶甚至更高的精度，以及如何处理非均匀网格下的高阶逼近。高阶有限元方法（Higher-Order FEM）：不仅仅停留在线性或二次插值，本书将深入探讨使用高阶形函数（如三次、四次或更高次的Lagrange多项式或有理基函数）对解进行逼近的理论。我们将详细推导高阶单元上的刚度矩阵和质量矩阵的构建过程，并分析其对局部解奇异性的鲁棒性。特别关注如何高效地集成这些高阶单元，特别是对于大规模三维问题的处理策略。谱方法与伪谱法（Spectral Methods and Pseudo-Spectral Methods）：对于解在整个计算域内解析性较好的问题，谱方法提供了指数级的收敛速度。我们将介绍傅里叶谱方法（Fourier Spectral Methods）和Chebyshev谱方法的原理，以及它们在处理周期性边界条件下的优势。同时，探讨伪谱法如何通过快速傅里叶变换（FFT）将空间导数的计算转移到频域，从而实现高效的非线性项处理。第三部分：时域推进的高级策略精确的时间推进是瞬态模拟成功的关键。本部分侧重于时间方向的高阶积分技术：高阶龙格-库塔方法（High-Order Runge-Kutta Methods）：介绍如何选择高阶RK方法（如RK45或更高级的步长自适应RK方法）来平衡精度与计算成本。我们将探讨如何将其与空间离散化耦合，确保整体系统的精度。隐式与半隐式高阶方法：针对强耦合或高频问题中可能出现的刚性（Stiffness），我们将详细分析高阶隐式方法（如高阶BDF方法或Crank-Nicolson的推广形式）的线性化、求解（通常需要迭代或矩阵求逆）过程，以及它们在保证时间稳定性的同时，如何实现高阶精度。模态分解与时间积分：对于某些线性波动问题，采用模态分析（Modal Analysis）来识别主导频率和模态，然后对不同频率成分采用最优的时间积分步长和方法，这是一种高级的混合策略，本书将展示其在提高计算效率上的潜力。第四部分：先进离散框架：不连续伽辽金法（DG）不连续伽辽金法作为近年来在计算流体力学和电磁学中迅速崛起的“高阶”方法代表，在处理复杂几何体、非均匀介质以及需要在局部使用不同阶次方法时表现出极大的灵活性。 DG法的基本原理：阐述DG方法如何基于通量（Flux）的局部定义来实现解的连续性，以及如何通过“Riemman求解器”或“数值通量”来处理单元间信息交换，从而实现高阶精度。 DG在波动方程中的应用：详细推导二维或三维声学/电磁波方程在DG框架下的弱形式，重点关注数值通量对波传播速度和衰减的影响。分析其固有的高分辨率特性和易于并行化的优点。总结与展望本书的最终目标是使用户不仅能熟练应用现有的高阶数值软件库，更能理解其背后的数学原理，并具备自行开发和验证新高阶算法的能力。通过大量的数学推导、算法流程图以及对实际算例（如冲击波、地质构造中的波传播）的数值实验结果分析，本书为读者提供了一套完整的、从理论到实践的指导手册。它适合作为研究生课程的教材，也是从事计算物理和工程数值模拟领域研究人员的必备参考书。