Schaum's Outline of Advanced Calculus pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Mcgraw-Hill

作者:Murray R. Spiegel

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1968-06-01

价格:USD 14.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780070602298

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 高等数学
• 数学分析
• 微积分教材
• Schaum's Outline
• 工程数学
• 理工科
• 数学辅导
• 经典教材
• Calculus

好的，这是一份关于一本虚构的、与高等微积分（Schaum's Outline of Advanced Calculus）主题相关，但内容完全不同的数学教材的详细简介。 --- 《拓扑学基础与黎曼几何导论》 作者： [虚构作者姓名，例如：林 德 伟，张 慧 敏] 出版社： [虚构出版社名称，例如：精研学社] 页数： 约 780 页 定价： [虚构定价] 内容简介 《拓扑学基础与黎曼几何导论》是一本面向数学系高年级本科生和初级研究生深度学习的教材，旨在系统性地介绍现代几何学的两大核心支柱：一般拓扑学和微分几何的初步概念。本书的撰写初衷是填补标准微积分和经典微分几何之间知识体系的鸿沟，为读者构建起一个严谨的、从点集结构到弯曲空间测量的过渡桥梁。 本书结构清晰，分为三大部分，层层递进，力求在保证数学严谨性的同时，兼顾概念的直观性和应用的可操作性。 --- 第一部分：一般拓扑学基础 (General Topology Foundations) 本部分全面涵盖了现代拓扑学的基本工具和概念，这是理解所有几何学和分析学高级分支的基石。我们摒弃了仅依赖于度量空间的传统叙事方式，而是从最抽象的集合结构出发，逐步引入拓扑空间的定义。 第 1 章：集合论回顾与初步概念 本章简要回顾了集合论的必要背景，重点讨论了选择公理（Axiom of Choice）及其等价命题（如良序定理、Tychonoff 定理在某些语境下的依赖性）。引入了序关系、基数（Cardinality）以及超限归纳法。 第 2 章：拓扑空间的构造与性质 详细定义了拓扑空间，并区分了通过开集族、闭集族、邻域基和点基来定义的拓扑。深入探讨了子空间拓扑、乘积拓扑和商拓扑的构造方法，并对这些构造如何保持拓扑性质进行了详细分析。 第 3 章：连续性、同胚与性质的保持 严格定义了连续函数和拓扑同胚，强调了同胚作为拓扑性质保持等价性的核心地位。引入了拓扑不变量的概念，如连通性（Connectedness）和紧致性（Compactness）。连通性部分不仅讨论了一维区间，还深入探讨了路径连通性和局部路径连通性。紧致性部分则将重点放在 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）的推广，并展示了 Tychonoff 定理的强大威力。 第 4 章：分离公理与完备性 本章是通往度量空间和函数空间的关键。详细阐述了 $T_0, T_1, T_2$ (Hausdorff), $T_3, T_4$ (Normal) 等分离公理的层级关系，并给出了它们在具体空间（如赋范向量空间）中的体现。对完备度量空间（Complete Metric Spaces）进行了深入剖析，包括 Baire 分类定理（Baire Category Theorem）及其在函数空间理论中的应用。 --- 第二部分：代数拓扑的初步接触 (Introduction to Algebraic Topology) 本部分将拓扑学的几何直观与代数结构相结合，展示如何利用代数工具来区分拓扑空间。 第 5 章：基本群 (Fundamental Group) 这是代数拓扑的起点。本章详细定义了路径、合同（Homotopy）以及基本群 $pi_1(X, x_0)$。重点分析了圆周 $S^1$ 的基本群，并引入了覆叠空间（Covering Spaces）理论作为计算基本群的强大工具。通过覆叠空间，读者将能够严谨地证明 Brouwer 不动点定理的一个简单版本。 第 6 章：同调论的萌芽 (Seeds of Homology Theory) 本章引入了链复形（Chain Complexes）的概念，为更深入的同调理论打下基础，但重点仍放在二维空间上。讨论了单纯形（Simplices）和单纯复形（Simplicial Complexes），并概述了对这些结构计算同调群的基本思想，但暂不深入涉及更复杂的奇异同调理论。 --- 第三部分：黎曼几何入门 (Introduction to Riemannian Geometry) 在掌握了抽象的拓扑结构后，第三部分将焦点转向赋予空间“度量”和“曲率”的概念，从而进入微分几何的领域。 第 7 章：微分流形基础 (Foundations of Differentiable Manifolds) 本章建立起研究光滑空间的框架。首先回顾了微分学在 $mathbb{R}^n$ 上的高阶知识，然后过渡到微分流形的概念，包括图册（Atlas）、坐标系和转移函数。重点讨论了切空间（Tangent Space）的构造，强调切向量是线性的泛函，而非简单的向量。 第 8 章：张量分析与向量场 (Tensor Analysis and Vector Fields) 严格定义了张量（Covariant and Contravariant Tensors）作为多重线性函数，而不是坐标分量的特定组合。详细讨论了向量场、1-形式（One-forms）以及外微分（Exterior Differentiation）的定义和运算规则。外导数在流形上的推广，展示了经典的微积分定理（如 Green's Theorem, Stokes' Theorem）在微分形式下的统一形式。 第 9 章：黎曼度量与联络 (Riemannian Metrics and Connections) 本章的核心是将内积结构引入光滑流形，形成黎曼流形。黎曼度量 $g$ 的定义及其诱导的长度和角度概念。在此基础上，引入了联络（Connection）的概念，特别是 Levi-Civita 联络，它是唯一能保持黎曼度量相容性的无挠联络。通过协变导数（Covariant Derivative）的概念，讨论了平行移动（Parallel Transport）。 第 10 章：测地线与曲率 (Geodesics and Curvature) 利用黎曼度量和 Levi-Civita 联络，定义了测地线——在弯曲空间中“最短”的路径。最后，本部分聚焦于曲率的计算，引入了黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。虽然本书不深入到 Ricci 曲率或标量曲率的细节，但清晰地展示了曲率张量如何量化空间在每一点上的“弯曲程度”，并提供了在 $mathbb{R}^3$ 中的曲面上的具体计算实例，以加深读者的理解。 --- 本书特色 1. 严谨性与直观性的平衡： 本书在每一步论证中都严格遵循现代数学的规范，同时配有大量的几何图示和物理背景的类比，帮助读者从直观感受过渡到抽象思维。 2. 丰富的练习与例题： 每章末尾包含大量的、难度分级的练习题，从基础概念验证到涉及多步骤证明的挑战性问题，并提供了关键问题的详细解答步骤。 3. 过渡性强： 本书被设计为连接微积分、线性代数与更深层次的微分拓扑、代数几何学习的理想桥梁，为学生进入更专业的研究领域做好充分准备。 本书适合希望构建坚实几何分析基础的数学、理论物理和工程学专业学生使用。阅读本书要求学生具备微积分（单变量和多变量）和线性代数（包括多线性代数）的扎实知识。

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