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出版者:北京师范大学出版社

作者:(苏)Ю.А.德洛兹德

出品人:

页数:275

译者:刘绍学

出版时间:1984

价格:1.20

装帧:19cm

isbn号码:9781123144154

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 其余代数7
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• 代数结构
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• 向量空间
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• 表示论
• 同调代数

好的，这是一本关于有限维代数的书籍的简介，内容详实，不含任何关于该书本身的直接信息，力求详尽： --- 《群论基础：结构、对称性与应用》 导言：探索抽象结构的基石 本书旨在为读者提供一个深入且严谨的关于群论（Group Theory）的全面导览。群论作为现代数学的基石之一，深刻地揭示了抽象结构中隐藏的对称性和不变性。它不仅是代数几何、拓扑学、密码学和物理学等诸多前沿领域不可或缺的工具，也是训练逻辑思维和抽象推理能力的绝佳路径。 本书的叙事结构力求循序渐进，从最基础的群的定义出发，逐步攀登至更复杂的结构和深层的定理。我们坚信，对基本概念的清晰理解是掌握高级理论的前提。因此，本书在开篇部分投入了大量篇幅，细致剖析了群的四个公理、子群、陪集以及同态等核心概念，并通过大量详实、精心挑选的例子，帮助读者建立起对抽象结构的直观感受。 第一部分：群的构建与基本性质 第一章：群的公理体系与初步实例 本章首先界定了群的严格数学定义，强调了封闭性、结合律、单位元和逆元这四个不可或缺的属性。我们不会满足于教科书式的罗列，而是通过探讨非平凡的数学对象——例如整数加法群、非零有理数乘法群，乃至矩阵群——来具体展示这些公理如何在不同的代数背景下得到实现。特别地，我们详细讨论了交换群（Abelian Groups）的特性，并对比了非交换群（如置换群）带来的结构复杂性。 第二章：子群、陪集与拉格朗日定理 子群是研究一个大群内部结构的基本单元。本章聚焦于子群的判定方法和性质。随后，我们将引入“陪集”（Cosets）的概念，这是通往商群结构的关键桥梁。拉格朗日定理，作为有限群论中最古老且最重要的定理之一，将被给予充分的证明和几何解释。我们将展示如何利用这个定理来限制一个有限群中可能存在的子群的阶数，以及它在判断群同构方面的威力。 第三章：循环群与生成元 循环群是所有群中最简单、结构最清晰的一类。本章专门用于分析由单个元素生成的群。我们将深入探讨生成元、群的阶以及循环群的唯一子群结构。通过理解循环群，读者可以更好地把握更一般群的生成元和生成子集的概念，为后续理解自由群（Free Groups）打下基础。 第四章：正规子群与商群的构造 正规子群（Normal Subgroups）是群论中的“完美”子结构，它们使得我们能够构造出商群（Quotient Groups）。本章详细阐述了正规子群的等价判定条件，并解释了为什么只有正规子群才能作为商群的“模”来进行除法运算。商群的构造，即“对剩余类的群化”，是抽象代数中最具创造性的步骤之一，我们将通过具体的例子（如整数模n的加法群）来阐明这一过程的深刻意义。 第二部分：群的同态、同构与结构定理 第五章：群的同态与同构 同态（Homomorphisms）是研究群之间结构保持映射的工具，而同构（Isomorphisms）则表明两个群在结构上是等价的。本章详述了同态的基本性质，特别是核（Kernel）和像（Image）的定义及其重要性。核作为同态的特殊部分，天然地具备正规子群的性质，这为群结构分析提供了强大的代数工具。 第六章：第一同构定理及其推广 第一同构定理（First Isomorphism Theorem）是连接群、子群、商群与同态的中心定理。我们将给出其严谨的证明，并阐述它在简化群结构分析中的核心作用。随后，我们将简要介绍第二和第三同构定理，展示它们如何在不同子群和商群之间建立起清晰的对应关系，形成一个完整的结构关系网。 第七章：直积与半直积 当两个群可以“组合”成一个更大的群时，我们使用直积（Direct Product）或半直积（Semidirect Product）。本章清晰地区分了这两种组合方式的数学差异。直积是一种更强的组合形式，要求结构之间完全独立；而半直积则允许一种非对称的“作用”，这在描述如二面体群（Dihedral Groups）这类非交换群的结构时尤为关键。 第三部分：有限群的高级结构分析 第八章：Sylow定理：有限群结构的终极工具 Sylow定理是有限群论中最强大且最具威力的工具集。它们精确地描述了一个有限群中具有特定素数幂阶的子群（Sylow p-subgroups）的存在性、数量和共轭关系。本章将投入大量精力，详细阐述Sylow第一、第二和第三定理的证明，并展示如何运用这些定理来确定一个给定阶数的群是否为素数阶的幂或是否为可解群。 第九章：可解群与单群 可解群（Solvable Groups）是那些可以通过一系列商群操作最终简化为平凡群的群。本章引入了换位子子群（Commutator Subgroups）和导群（Derived Series）的概念，用以系统地判定一个群是否可解。作为对比，我们引入了单群（Simple Groups）的概念——那些除了平凡群和自身之外没有其他正规子群的群。这为理解群的“不可再分”的基本构件奠定了基础，并引出了著名的有限单群分类问题的历史背景。 结语：从理论到应用 本书的最后一章将引导读者将所学知识应用于实际的数学分支。我们将探讨群论在几何变换中的应用（如刚体运动的描述），在晶体学和化学中的对称性分析，以及在初等数论（如原根的求解）中的体现。 本书的编写风格力求清晰、精确，避免不必要的术语堆砌，旨在培养读者独立思考和证明问题的能力。每一个新概念的引入都伴随着一个或多个具体的例子，以期架设起抽象概念与具体实例之间的桥梁。通过对这些基础结构的深入探索，读者将为进一步学习更复杂的代数结构——如环论、域论或表示论——打下坚实而稳固的理论基础。

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我必须说，这本书对于我理解代数表示理论起到了至关重要的作用。在接触这本书之前，我对“表示”这个概念的理解还比较模糊，只知道它与群论和向量空间有关，但具体如何联系，以及它在代数结构中扮演的角色，我一直没有一个清晰的认识。这本书以一种非常系统和深入的方式，从最基础的群表示开始，逐步引申到更一般的代数结构（如李代数、环）的表示。作者在讲解过程中，巧妙地运用了一些非常直观的例子，比如通过矩阵来表示群的元素，这样就把抽象的群论概念具象化了，让我能够更容易地把握。它详细解释了“不可约表示”和“完全可约表示”的概念，并给出了判断它们的标准和方法。这些内容在我的脑海中形成了一个清晰的框架，让我能够区分不同类型的表示，并理解它们之间的关系。此外，书中对“特征标”理论的阐述也非常精彩，作者不仅仅是给出了定义，更重要的是解释了特征标的性质，以及它如何能够帮助我们理解表示的结构。他通过大量的例子，展示了特征标在分类和识别表示方面的强大功能。我尤其喜欢它在介绍一个新概念时，会先给出一个直观的解释，然后再给出严谨的数学定义和证明，这种先“感性”后“理性”的教学方式，非常符合我的学习习惯。读这本书的过程中，我感觉自己不仅仅是在学习理论知识，更是在学习一种严谨的数学思维方式。

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这本书的语言风格非常独特，它不像一些传统的数学教材那样枯燥乏味，而是充满了活力和思考。作者在写作过程中，似乎非常注重与读者的互动，他会时不时地提出一些问题，引导读者思考，甚至会在一些关键概念的引入处，用一种略带调侃的语气来描述，这使得阅读过程变得轻松而有趣。我特别喜欢它在讲解一些比较抽象的数学概念时，会引用一些哲学或者历史上的观点，这让我在学习数学的同时，也能接触到一些跨学科的知识，拓宽了我的视野。例如，在讨论数学证明的严谨性时，它会引用古希腊数学家的逻辑思想，又或者在谈论代数的公理化体系时，会提及数学基础的哲学争论。这种多元化的视角，让我对数学的理解不再仅仅停留在符号和公式层面，而是上升到了对数学本质的思考。它也包含了一些关于数学家生平的小故事，这些故事的穿插，不仅让教材变得更加生动，也让我对这些伟大的数学家产生了更深的敬意，也理解了他们研究的动机和面临的困难。我常常会因为书中某个观点而产生新的思考，然后花很长时间去消化和吸收。这本书不仅仅是一本知识的传递者，更像是一位启迪者，它激发了我对数学更深层次的探索欲望。

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这本书的章节设置非常有条理，而且内容覆盖面很广，我觉得它不仅仅局限于某个狭窄的代数分支，而是将有限维代数置于一个更广阔的数学背景下进行讨论。我非常欣赏作者在引入“代数”这个概念时，不仅仅是从线性空间出发，还提到了更一般的代数结构，比如结合代数、非结合代数等，这让我认识到代数研究的丰富性。它详细介绍了各种重要的有限维代数，例如李代数、凯莱代数、四元数代数等，并对其性质进行了深入的探讨。我印象特别深刻的是它对李代数结构的分类，以及与李群之间的对应关系。作者用了大量的篇幅来阐述这个过程，并且给出了很多具体的例子，让我能够理解抽象的李代数是如何反映李群的局部性质的。另外，书中对“同调代数”的一些基础概念也进行了介绍，虽然只是点到为止，但已经足够让我对这个领域产生浓厚的兴趣。它解释了链复形、同调群等基本概念，以及它们在研究代数结构中的作用。这种对相关领域的触及，使得这本书的内容更加丰富和立体，让我能够在一个更宏大的视野下理解有限维代数。它也讨论了一些代数在几何、拓扑等领域的应用，比如用代数方法研究几何对象的性质，或者利用几何直观来理解代数结构。这种跨领域的联系，让数学的魅力更加凸显。

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这本书对于理解代数结构中的“同构”和“同态”概念，提供了非常清晰的阐释。在我看来，这两个概念是连接不同代数结构的关键，但往往容易被初学者混淆。作者在这方面做得非常出色，他不仅仅给出了这两个概念的严谨定义，更重要的是通过大量的例子来展示它们的区别和联系。例如，他会用矩阵的乘法和函数的复合来类比，解释同态如何保持运算的结构，而同构则是在保持运算结构的同时，又具有一一对应的关系。我印象特别深刻的是，书中将这些概念应用于不同的代数结构，比如群、环、域，甚至更复杂的代数结构，展示了它们在不同情境下的应用。这让我深刻理解到，即使是看似不同的数学对象，也可能拥有相同的内在结构。它还探讨了“理想”的概念，并解释了如何通过商代数来构造新的代数结构，以及如何利用同构和同态来研究这些结构之间的关系。这些内容对于我理解抽象代数的研究方法至关重要。这本书不仅仅是教授我知识，更重要的是教会我如何思考，如何去发现数学对象之间的深层联系。它让我对代数世界的“美”有了更深的体会，那种隐藏在复杂符号背后的简洁和统一。

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这本书的内容具有相当的前沿性，它不仅仅停留在经典的代数理论，还涉及了一些现代代数研究中比较活跃的领域。我之前对“表示论”的了解仅限于群的表示，而这本书则将表示论的视角拓展到了更一般的代数结构，比如结合代数、李代数、霍普夫代数等。它详细介绍了这些代数的表示，以及表示的分类和性质。我特别感兴趣的是它对“霍普夫代数”的介绍，作者用一种非常清晰的方式解释了霍普夫代数是一种既有代数结构又有余代数结构，并且两者相互兼容的代数。他通过例子展示了霍普夫代数在量子群、量子几何等现代数学分支中的重要作用。虽然这些内容对我来说具有一定的挑战性，但我能够感受到作者在其中付出的努力，他试图将这些相对前沿的理论以一种尽可能易懂的方式呈现给读者。这本书让我看到了代数研究的活力和发展方向，也激发了我对这些新兴领域的兴趣。它不仅是一本知识的宝库，更是一扇通往未来数学研究的大门，让我窥见了那些正在被探索的未知领域。

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这本书的深度和广度确实令人惊叹。我拿到这本书时，正是对抽象代数产生了浓厚兴趣的时期，而这本书恰好满足了我对于系统性学习的渴望。它并非一本浅尝辄止的科普读物，而是深入到有限维代数的核心概念，并且从多个角度对其进行了剖析。我印象最深刻的是它对“模”的讲解，作者花了相当大的篇幅去阐述模的定义、性质以及它们与向量空间之间的联系。在这里，作者似乎有意地将传统的线性代数知识与更抽象的代数结构相结合，这对我来说是一个全新的视角。他没有回避那些看似复杂的证明过程，而是通过详细的步骤分解，并且在关键步骤处进行必要的解释和铺垫，使得我能够循序渐进地理解。而且，这本书的一个突出优点是，它非常注重概念之间的联系和递进关系。在一个章节中提出的概念，往往会在后续的章节中得到进一步的深化和应用，这种结构设计让我的学习过程更加流畅，也让我能够更清晰地构建起对整个理论体系的认知。它还包含了很多经典的定理和例子，并且对这些定理的证明都进行了详尽的阐述，这对于我这样希望深入理解数学证明的人来说，是极其宝贵的。我在阅读过程中，经常会停下来，反复咀嚼作者的论述，试图去理解每一个符号、每一个推导背后的逻辑。有时候，我会花上很长时间去理解一个看似简单的定义，因为我知道，这个定义可能是我理解后续更复杂内容的基础。这本书让我体会到，数学学习不仅仅是记忆和应用，更是对逻辑推理和抽象思维能力的锻炼。

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这本书的排版和设计也值得称赞，它不仅仅是内容上的深度，在视觉呈现上也力求完美。字体选择清晰易读，字号大小适中，而且行间距也设置得非常舒适，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。更重要的是，书中穿插了大量的数学公式和符号，但这些符号的排版都非常规范和整齐，让人一眼就能辨认。它在引入重要公式或定理时，会将其单独列出，并且配以醒目的编号，方便引用和查阅。书中还包含了一些高质量的插图和图表，这些图示不仅仅是为了美观，更是为了辅助理解抽象的数学概念。例如，在解释向量空间中的线性变换时，作者会用几何图形来直观地展示变换的效果；在讨论代数结构时，会用图示来表示元素之间的关系。这些图示的运用，有效地弥补了纯文字叙述可能带来的抽象性，让学习过程更加生动和直观。我还会经常翻阅那些包含图示的章节，它们总能给我带来新的启发。这本书的整体设计，充分体现了作者对读者的关怀，以及对知识传递的认真态度，让阅读体验本身就成为一种享受。

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这本书的叙述方式非常有逻辑性，并且环环相扣，让我能够在一个清晰的思维脉络中学习。作者在引入每一个新的概念时，都会先回顾相关的旧知识，然后在此基础上进行延伸和拓展，这种循序渐进的方式，有效地避免了知识的断裂感。我非常欣赏它在推导定理时，所展现出的严谨性和系统性。作者不仅仅是给出推导的步骤，更重要的是解释了每一步推导的依据和逻辑，以及这些步骤是如何共同作用最终达到定理结论的。它也包含了一些反例，用来帮助读者更深刻地理解某个定理的条件，以及在何种情况下定理可能不成立。这让我能够更全面地认识数学概念的边界和适用范围。我还会经常回顾书中那些精炼的定义和重要的定理，它们往往是用最简洁的语言概括了最核心的思想。这本书不仅仅是让我掌握了知识，更重要的是培养了我对数学逻辑的敏感度，以及一种严谨的分析问题的能力。它教会我如何去构建一个清晰的论证，如何去审视每一个前提和结论。

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这本书的例题和习题设计得非常恰当，而且难度适中，能够很好地巩固我所学的知识。在每一章节的结尾，作者都精心设计了一系列的习题，这些习题的类型非常多样，有的是对基本概念的考察，有的是对定理证明的推演，还有的则是一些开放性的问题，需要我运用所学知识去探索。我尤其喜欢书中那些“挑战性”的习题，它们可能需要我结合多个章节的知识，或者需要一些创造性的思考才能解决。虽然有些题目确实很有挑战性，但我并没有感到气馁，反而从中获得了极大的满足感。每当我成功解决一个难题时，都会有一种成就感油然而生。而且，这本书的答案解析部分也做得非常到位，它不仅仅给出了最终的答案，还会对解题思路进行详细的讲解，甚至会提示一些可能遇到的陷阱或者需要注意的地方。这对于我这样自学的人来说，无疑是巨大的帮助。我曾尝试过其他一些代数书籍，但往往因为习题难度过大或者解析不全，而无法有效地进行练习和巩固。这本书在这方面做得非常出色，它能够引导我逐步提升自己的解题能力。我也经常会回顾书中的例题，它们往往比习题更能直观地展示某个概念或定理的应用，并且通常伴随着详细的推导过程，让我能够从中学习到更有效的解题技巧。

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这本书的封面设计就足够吸引人，那种深邃的蓝色背景，上面点缀着抽象的、交织的线条，仿佛在预示着某种复杂的数学结构，但同时又带着一种艺术的美感。我拿到这本书的时候，第一感觉就是它不是一本枯燥的教材，而更像是一扇通往全新数学世界的窗口。虽然我个人在代数领域并非专业人士，但这本书的导论部分就用一种非常平易近人的方式，解释了“有限维代数”这个概念的意义和它在整个数学体系中的位置。它没有上来就抛出大量符号和定义，而是通过一些历史故事和直观的比喻，让我这个初学者也能大致理解它所探讨的核心思想。例如，它用一种非常生动的方式比较了无限维和有限维代数的区别，就像是在描述一个在有限空间内精准运行的精密机械，和在一个无垠宇宙中自由膨胀的星云。这种对比让我对“有限”这个概念在数学上的重要性有了更深刻的认识。这本书的排版也非常舒服，字号适中，留白恰到好处，阅读起来丝毫不会感到疲劳。而且，它在引入重要概念时，会用醒目的颜色或者粗体字标出，并且会配有非常清晰的图示。我特别喜欢它在解释一些抽象概念时，会引用一些实际的应用场景，比如在物理学中的量子力学，或者在计算机科学中的编码理论，这让我觉得数学并非是脱离现实的象牙塔，而是与我们的生活息息相关的。这本书的语言风格也十分有趣，作者似乎很善于运用一些幽默的比喻，让原本可能晦涩难懂的内容变得生动起来，读起来就像在听一位博学而风趣的长者在娓娓道来，而不是在被动地接受知识灌输。即使我暂时无法完全理解其中的某些数学推导，但光是这种引导式的阅读体验，就足以让我对这本书心生敬意。

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