具体描述
《现代数值计算方法》是作者在东南大学讲授“现代数值计算方法”的讲稿的基础上形成的。《现代数值计算方法》涵盖了经典的数值方法的大部分内容，同时也包涵了近年来发展起来的一些新方法和对一些新的应用问题的处理，如MATLAB的使用，高维积分计算的统计方法等。《现代数值计算方法》侧重算法的有效实现，给出了很多算法的FORTRAN程序或者MATLAB程序，并将它们用于处理一些具体的问题。《现代数值计算方法》共分6章，分别介绍数值计算的基本原理、矩阵分析基础、有限元方法的基本原理和应用、边界积分方程及其应用、积分计算的近代方法和快速Fourier变换和小波变换。
《现代数值计算方法》适合高等院校数学系研究生和工科相关专业研究生作为教材，也可供大学教师和科研人员阅读参考。
作者简介
目录信息
前言
第1章 数值计算的基本原理
1.1 问题的适定性和条件数
1.2 数值方法的稳定性
1.3 误差的先验和后验估计
1.4 数值模型的误差
第2章 矩阵分析基础
2.1 矩阵的若干基本概念
2.2 矩阵计算的若干标准方法
2.2.1 矩阵的LU分解和Gauss消元法
2.2.2 对称正定矩阵的Cholesky分解
2.2.3 矩阵的QR分解和最小二乘法
2.3 Krylov子空间方法
2.3.1 从最速下降法谈起
2.3.2 共轭递度法
2.3.3 广义最小误差法
2.4 矩阵特征值问题
2.5 矩阵奇异值分解和广义逆
2.5.1 奇异值分解的基本方法
2.5.2 矩阵广义逆和奇异值截断
2.5.3 有限迭代方法
第3章 有限元方法的基本原理和应用
3.1 从函数展开到变分原理
3.2 Galerkin方法及推广
3.3 带Dirichlet边界条件的一维问题
3.4 带：Dirichlet边界条件的二维问题
3.4.1 节点和局部基函数
3.4.2 有限元方程的导出
3.4.3 刚度矩阵的产生和装配
3.4.4 简单的例子
3.4.5 一般的散度型方程
3.5 带有混合边值条件的二维问题
3.5.1 新的能量泛函
3.5.2 有限元方程
3.5.3 Robin边界条件的一个应用
3.6 矩形有限元
3.7 有限元方法的数学背景
3.8 矩型域上散度型方程混合边界条件的有限元实现
3.9 二维矩形区域上：Robin边界条件的有限元程序
3.10 用MATLAB库函数求解椭圆型方程的边值问题
第4章 边界积分方程及其应用
4.1 微分方程的基本解
4.2 势函数的引进和性质
4.3 Laplace方程边值问题的求解
4.4 Helmholt方程边值问题的求解
4.5 抛物型方程初边值问题的求解
第5章 积分计算的近代方法
5.1 奇异积分的计算
5.1.1 奇异积分的有关概念
5.1.2 乘积型弱奇性积分的计算
5.1.3 非等距节点剖分计算奇性积分
5.2 振荡型函数积分的计算
5.3 高维积分的计算
5.3.1 矩形区域上的多项式插值
5.3.2 三角形区域上的多项式插值
5.3.3 三角形区域上的积分计算
5.3.4 曲面上的积分
5.4 积分计算的统计方法
5.4.1 MonteCarlo方法基础
5.4.2 随机变量的产生
5.4.3 MonteCarlo方法计算定积分
第6章 快速Fourier变换和小波变换
6.1 离散Fourier变换
6.2 快速Fourier变换FFT
6.3 FFT的应用
6.4 小波的基本概念
6.4.1 小波和小波展开系统
6.4.2 离散小波变换
6.5 小波系统多分辨率
6.5.1 缩放函数和小波函数
6.5.2 离散小波变换及直观表示
6.5.3 小波展开和Haar小波系统的例子
参考文献
《信息与计算科学丛书》已出版书目
· · · · · · (收起)
读后感
用户评价
这本《现代数值计算方法》简直是为我量身定做的，尤其是它对大规模稀疏矩阵求解的深度剖析。我之前在处理我的流体力学模拟问题时，总是被那些动辄百万维度的线性系统搞得焦头烂额，各种迭代法的收敛速度慢得让人绝望。这本书里关于Krylov子空间方法的介绍，特别是GMRES和BiCGSTAB算法的详细推导和误差分析，简直是拨云见日。我惊喜地发现，书中的理论阐述非常严谨，不仅仅停留在公式的罗列，更深入到算法背后的数学直觉。例如，作者对于预处理器的选择和设计，给出了非常实用的指导方针，我立马尝试了书中提到的代数多重网格（AMG）预处理技术，结果发现原本需要跑上几天的模拟，现在效率提升了三倍不止。更让我赞赏的是，它并没有回避那些复杂的数值稳定性问题，而是用清晰的语言解释了为什么某些方法在浮点运算环境下会失效，以及如何通过重整化或采用更高精度的算术来规避风险。这本书无疑将成为我工具箱里最锋利的那把瑞士军刀，尤其对于那些身处工程计算前沿的研究人员来说，其价值无可估量。
我是一个纯粹的数学系本科生，对数值分析这门课总是感到既兴奋又头疼，因为它似乎总是在理论的优雅与实际的粗糙之间摇摆不定。然而，翻开这本《现代数值计算方法》，我立刻感受到了一种久违的清晰感。书中关于函数逼近和插值理论的部分，写得极其细腻，从最基础的Lagrange插值到更高阶的样条插值，作者不仅展示了如何构建这些方法，更重要的是，它教会了我如何“看待”误差——即全局误差与局部误差之间的微妙平衡。特别是对Runge现象的探讨，用图示和直观的例子说明了等距节点插值在高阶时可能出现的灾难性振荡，这比我导师的讲解还要透彻。此外，本书在处理优化问题，特别是无约束优化中的牛顿法及其变种（如BFGS）时的论述，逻辑流畅得像是文学作品。它没有过度使用晦涩的符号堆砌，而是将每一步的迭代动机解释得清清楚楚。对于初学者来说，这本书提供的不仅仅是知识，更是一种严谨的、自洽的思维框架，让我对如何构建一个可靠的数值算法有了全新的认识。
从纯粹的软件工程角度来看，编写可靠的数值代码是一门艺术，涉及到对硬件架构的深刻理解。《现代数值计算方法》的后半部分，专门探讨了计算的并行化和性能优化，这部分内容让我耳目一新。书中对于矩阵分解算法（如LU、Cholesky）如何被设计成适合现代多核CPU和GPU架构的Cache友好型操作，进行了详尽的阐述。特别是关于向量化操作（SIMD指令集）对迭代算法性能的实际影响分析，非常具体，甚至引用了实际的性能基准数据。这不再是纸上谈兵的数学推导，而是关于如何榨干每一分计算资源的实用指南。例如，书中关于稀疏矩阵向量乘法（SpMV）在不同内存布局下的性能差异对比，直接指导了我重构现有代码的策略。这本书的这种“理论到实践”的无缝衔接能力，是很多纯理论书籍所不具备的。它让我明白了，在现代高性能计算时代，数值方法的选择不仅关乎数学的正确性，更关乎工程的效率与实现细节。
说实话，我对教材的期望值一直不高，它们通常要么过于陈旧，要么就是过于注重表面，缺乏对核心思想的挖掘。但《现代数值计算方法》完全打破了我的偏见。我主要关注的是偏微分方程（PDE）的数值解法，这本书在有限元方法（FEM）的介绍上达到了一个令人惊叹的高度。它没有草率地跳过泛函分析的基础（如Sobolev空间），而是用一种循序渐进的方式引入了变分原理，使得“试函数空间”的选择不再是凭空想象的步骤，而是有坚实的理论支撑。我尤其欣赏作者对于网格生成和质量的讨论，这在实际应用中往往是决定解的精度的关键因素。书中关于自适应网格细化（AMR）策略的描述，结合了最新的研究成果，并且非常注重计算效率的权衡。我对比了其他几本经典的FEM书籍，发现这本书在讲解稳定性与收敛性（如Lax Equivalence Theorem的现代应用）时，更加贴近当代软件实现的需求。对于任何想深入理解如何将复杂的物理定律转化为可靠计算机代码的研究生来说，这本书的深度和广度都是教科书级别的标杆。
我一直认为数值积分是计算科学中最容易被低估的领域，许多入门教材只是简单地罗列梯形法则和辛普森法则。然而，这本《现代数值计算方法》对高维数值积分的论述，简直是一次震撼的知识之旅。作者清晰地指出了在处理多重积分时，维度灾难是如何迅速瓦解传统方法的有效性的。随后，书中对蒙特卡洛方法的介绍，特别是准蒙特卡洛方法（QMC）的引入，展现了极高的前瞻性。书中对低差异序列（如Sobol序列和Halton序列）的生成机制及其理论优势，提供了非常详尽的对比分析，这对于我目前从事的金融衍生品定价工作至关重要。我过去依赖的那些基于高斯求积的近似方法，在处理上千个变量的积分时几乎失效，但采用书中建议的QMC方法后，收敛速度有了显著改善，误差估计也更加可靠。这本书成功地将一个看似基础的主题，提升到了研究前沿的高度，其对随机方法的深刻见解，远超我预期。
