Partial Differential Equations for Probabilists pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Stroock, Daniel W.

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:2008-4

价格:$ 79.10

装帧:

isbn号码:9780521886512

丛书系列:

图书标签:

偏微分方程
概率论
随机过程
斯托卡斯蒂克分析
金融数学
数学物理
泛函分析
PDE
概率模型
数值方法

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具体描述

This book deals with equations that have played a central role in the interplay between partial differential equations and probability theory. Most of this material has been treated elsewhere, but it is rarely presented in a manner that makes it readily accessible to people whose background is probability theory. Many results are given new proofs designed for readers with limited expertise in analysis. The author covers the theory of linear, second order, partial differential equations of parabolic and elliptic types. Many of the techniques have antecedents in probability theory, although the book also covers a few purely analytic techniques. In particular, a chapter is devoted to the De Giorgi-Moser-Nash estimates, and the concluding chapter gives an introduction to the theory of pseudodifferential operators and their application to hypoellipticity, including the famous theorem of Lars Hormander.

随机过程与分析：概率论者的数学工具箱本书导言本书旨在为那些对概率论、随机过程及其在现代科学和工程中的应用有深入兴趣的读者提供一套严谨而实用的数学基础。它专注于构建一个清晰的框架，连接概率论的核心概念与现代分析学的前沿成果，特别是侧重于测度论、泛函分析以及随机分析的基石。我们深知，对于概率论研究者而言，对连续随机现象进行精确建模和分析的能力至关重要，而这离不开坚实的分析基础。第一部分：测度论与概率测度的严格建立概率论的现代基石在于测度论。本书首先会细致地构建$sigma$-代数、可测空间以及勒贝格测度的基本框架。我们将超越直观的几何概念，深入探究测度的外延性、单调类定理以及波雷尔集上的构造。在此基础上，我们引入概率空间的概念，将概率视为一种特殊的有限、总质量为一的测度。重点讨论马尔可夫系统、条件期望的测度论定义（区别于传统的条件概率的直觉理解）。条件期望在 $L^p$ 空间中的性质，特别是其投影特性，将被详尽分析。这一部分为理解随机变量的乘积空间以及鞅论奠定了不可或缺的分析基础。我们还将探讨随机变量序列的收敛性——依概率收敛、几乎处处收敛以及 $L^p$ 收敛之间的复杂关系，并着重讲解依测度收敛的意义。第二部分：积分理论与$L^p$ 空间随机变量的期望是概率论的核心操作，其严格定义依赖于勒贝格积分。本书将系统地阐述勒贝格积分的构建过程，包括简单函数的积分、非负函数的积分，以及一般可测函数的积分。法图定理（Fatou's Lemma）、占支配收敛定理（Dominated Convergence Theorem）以及单调收敛定理是贯穿始终的核心工具，它们在分析随机过程的极限行为时发挥着决定性作用。随后，我们将转入函数空间的研究，特别是 $L^p(Omega, mathcal{F}, P)$ 空间。我们将证明这些空间是巴拿赫空间，并深入讨论其拓扑结构。在 $p=2$ 的特殊情况下，希尔伯特空间 $L^2$ 的结构——内积的存在性及其完备性——将被详细解析，这对于傅立叶分析和正交展开至关重要。我们还将探讨拉东-尼科迪姆定理（Radon-Nikodym Theorem），它为随机测度之间的关系提供了精确的数学描述，是处理密度函数和转移概率的关键工具。第三部分：鞅论基础与不动点理论鞅论是研究序列随机变量在给定信息流下演变的强大理论框架。本书将从信息流（$sigma$-代数流 $mathcal{F}_t$）的严格定义开始，定义适应过程（Adapted Process）和鞅（Martingale）。我们将详尽分析鞅论的三大支柱： 1. 鞅收敛定理（Martingale Convergence Theorems）：包括上鞅的 $L^1$ 收敛定理和几乎处处收敛定理。我们将展示如何利用这些定理来证明强大且非平凡的概率论结论。 2. 停时定理（Optional Stopping Theorems）：停时（Optional Times）的概念及其在鞅上的应用。我们将讨论何时可以安全地“停止”一个鞅而不破坏其期望值，涉及 Doob's Optional Sampling Theorem 的应用条件。 3. Doob-Meyer 分解：这是将任意可测过程分解为鞅、可加过程（Predictable Process）和补偿项（Compensator）的强大工具。该分解对于分析跳过程和更复杂的随机演化至关重要。本书还将引入随机积分（Stochastic Integrals）的基础概念，特别是针对有界变差过程的积分，为后续引入布朗运动的随机积分做铺垫，但侧重于分析上的可构造性，而非随机微分方程的解的唯一性。第四部分：函数空间上的泛函分析视角概率论研究往往需要处理无限维空间上的算子和变换。本书将简要回顾必要的泛函分析工具，特别关注有界线性算子的性质，以及强收敛和弱收敛在概率空间上的表现。我们将探索平移不变性和对称性在概率测度上的体现，并讨论遍历理论（Ergodic Theory）的分析视角，特别是庞加莱回归定理和平均遍历定理在稳定随机系统中的意义。这部分内容强调如何使用算子理论来理解随机系统的长期行为和平衡态。结语本书的构建旨在确保读者能够从分析的视角深刻理解概率论的深度。它不侧重于随机微分方程的直接解法或金融应用的建模，而是致力于提供分析工具箱，使读者能够独立地构造严谨的随机模型，并在面对新兴的概率挑战时，能够利用测度论、积分理论和泛函分析的视角进行深入的、可验证的研究。完成本书的学习，读者将掌握研究随机现象所需的最高标准的数学语言和分析技巧。