Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026
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具体描述
In the last 60 years, the use of the notion of category has led to a remarkable unification and simplification of mathematics. Conceptual Mathematics, Second Edition, introduces the concept of ’category’ for the learning, development, and use of mathematics, to both beginning students and general readers, and to practicing mathematical scientists. The treatment does not presuppose knowledge of specific fields, but rather develops, from basic definitions, such elementary categories as discrete dynamical systems and directed graphs; the fundamental ideas are then illuminated by examples in these categories.
作者简介
F. William Lawvere, State University of New York, Buffalo
F. William Lawvere is a Professor Emeritus of Mathematics at the State University of New York. He has previously held positions at Reed College, the University of Chicago and the City University of New York, as well as visiting Professorships at other institutions worldwide. At the 1970 International Congress of Mathematicians in Nice, Prof. Lawvere delivered an invited lecture in which he introduced an algebraic version of topos theory which united several previously 'unrelated' areas in geometry and in set theory; over a dozen books, several dozen international meetings, and hundreds of research papers have since appeared, continuing to develop the consequences of that unification.
Stephen H. Schanuel, State University of New York, Buffalo
Stephen H. Schanuel is a Professor of Mathematics at the State University of New York at Buffalo. He has previously held positions at Johns Hopkins University, Institute for Advanced Study and Cornell University, as well as lecturing at institutions in Denmark, Switzerland, Germany, Italy, Colombia, Canada, Ireland, and Australia. Best known for Schanuel's Lemma in homological algebra (and related work with Bass on the beginning of algebraic K–theory), and for Schanuel's Conjecture on algebraic independence and the exponential function, his research thus wanders from algebra to number theory to analysis to geometry and topology.
目录信息
Note to the reader
Preview
Part I. The Category of Sets:
1. Sets, maps, composition
Part II. The Algebra of Composition:
2. Isomorphisms
Part III. Categories of Structured Sets:
3. Examples of categories
Part IV. Elementary Universal Mapping Properties:
4. Universal mapping properties
Part V. Higher Universal Mapping Properties:
5. Map objects
6. The contravariant parts functor
7. The components functor
Appendix 1. Geometry of figures and algebra of functions
Appendix 2. Adjoint functors
Appendix 3. The emergence of category theory within mathematics
Appendix 4. Annotated bibliography.
· · · · · · (收起)
读后感
范畴论入门，据说是高中生就能看明白，我看到第三部分不小心就迷糊了，要多看几遍，练习要一道一道的来才行，否则就看着看着觉得自己还是懂的，然后就不懂了。 总体不简单，略陡峭，里面还有一些范畴在物理上应用的介绍。
评分范畴论入门，据说是高中生就能看明白，我看到第三部分不小心就迷糊了，要多看几遍，练习要一道一道的来才行，否则就看着看着觉得自己还是懂的，然后就不懂了。 总体不简单，略陡峭，里面还有一些范畴在物理上应用的介绍。
评分范畴论入门，据说是高中生就能看明白，我看到第三部分不小心就迷糊了，要多看几遍，练习要一道一道的来才行，否则就看着看着觉得自己还是懂的，然后就不懂了。 总体不简单，略陡峭，里面还有一些范畴在物理上应用的介绍。
评分范畴论入门，据说是高中生就能看明白，我看到第三部分不小心就迷糊了，要多看几遍，练习要一道一道的来才行，否则就看着看着觉得自己还是懂的，然后就不懂了。 总体不简单，略陡峭，里面还有一些范畴在物理上应用的介绍。
评分范畴论入门，据说是高中生就能看明白，我看到第三部分不小心就迷糊了，要多看几遍，练习要一道一道的来才行，否则就看着看着觉得自己还是懂的，然后就不懂了。 总体不简单，略陡峭，里面还有一些范畴在物理上应用的介绍。
用户评价
这本书的封面设计给我留下了深刻的第一印象，那种简洁而富有哲学意味的插图，似乎在暗示着它所要探讨的数学世界的深邃与抽象。拿到书的那一刻，我并没有立刻沉浸在阅读中，而是花了相当长的时间去感受它的质感，翻阅它的目录，试图从中窥探作者想要构建的知识体系。我尤其被“范畴”这个词所吸引，它听起来既陌生又充满可能性，仿佛是打开新世界的一把钥匙。我一直对那些能够统一不同数学分支的宏大理论感到好奇，而范畴论正是其中一颗璀璨的明珠。尽管我并非数学专业的学生，但对概念性数学的兴趣由来已久，总觉得数学的本质在于其思想的深刻性，而非仅仅是枯燥的计算与证明。这本书的副标题“A First Introduction to Categories”更是让我看到了希望，它暗示着这本书是为初学者设计的，不会一开始就将读者置于深不可测的理论海洋中。我设想，它会以一种循序渐进的方式，引领我慢慢理解范畴的基本概念，例如对象、态射、恒等态射、复合态射，以及那些构成范畴结构的关键要素。我期待作者能够用清晰的语言和生动的例子，将这些抽象的概念具象化，让我能够感受到范畴论的魅力所在，并初步领略到它在代数、拓扑、逻辑等领域所展现出的强大统一性。这本书对我来说，不单单是一本教材，更像是一次探索数学思想边界的旅程，我渴望在其中发现那些隐藏在表面之下的深刻联系，并开启我对更广阔数学世界的理解。
评分我被这本书所传递出的数学哲学所深深吸引。作者在书中不止一次地强调，范畴论关注的不是对象“内部”的结构，而是对象之间的“关系”。这是一种非常颠覆性的视角，它挑战了我长期以来以对象为中心的数学学习习惯。例如，在介绍函子时，我体会到它不仅仅是“转换”对象，更重要的是“保持”对象之间的关系。这种对关系的强调，让我看到了数学世界更加动态和互联的一面。书中对“自然变换”的解释，更是让我感受到了一种数学上的“和谐”与“对称”。它描述了不同函子之间的“等价性”，如同在不同的数学语言之间找到了一种共同的“翻译”规则。我开始思考，在很多数学证明中，我们所追求的“简洁”和“优雅”，是否也与这种数学上的和谐性有关？这本书并没有提供大量的习题，更多的是通过概念的阐述和例子的展示来引导读者思考。我发现，我经常会在阅读完某一个章节后，停下来反复咀嚼，试图将书中的思想与我已有的数学知识融会贯通。我感觉自己正在学习一种更深层次的数学思维方式，一种能够超越具体数学分支，去理解数学本质的方法。
评分这本书在某些章节的深度上，让我感受到了作者深厚的功力。虽然整体上是一本入门读物，但在介绍某些核心概念时，例如“积范畴”、“余积范畴”以及“伴随函子”的构造，作者展现出了极高的数学造诣。他能够用清晰的逻辑，将这些复杂的数学对象进行分解和阐释，并且在讨论它们的性质时，也十分严谨。我特别欣赏作者在引入“伴随函子”时所做的铺垫，他通过分析一些具体的例子，例如集合范畴中的笛卡尔积和指数对象之间的关系，让我能够逐步理解为什么需要伴随函子这样的概念，以及它所解决的核心问题。我虽然不能说完全掌握了所有细节，但至少能够领略到其思想的精妙之处。这本书并不回避一些稍显“硬核”的数学内容，但它总是能够以一种合理的方式将其融入到整体的叙事中，让读者在感受到挑战的同时，也能获得成就感。我感觉自己正在被一位经验丰富的向导带领，穿越数学的迷宫，一点点地接近核心的奥秘。
评分这本书在语言风格上，给我留下了非常独特的印象。作者的文笔非常考究，既有严谨的数学逻辑，又不乏文学性的优雅。他似乎非常善于运用类比和譬喻，将那些极其抽象的概念，描绘得生动而形象。我记得在介绍“极限”概念时，作者用了一个非常贴切的比喻，将它比作“数学上的最大公约数”或者“最小公倍数”，这让我瞬间抓住了其核心思想。同时，书中也穿插了一些作者个人的思考和体会，这些“旁白”般的文字，让我在阅读过程中感受到一种亲切感，仿佛在与一位经验丰富的数学家进行对话。我尤其喜欢作者在引入一些重要概念时所表现出的“循循善诱”，他不会急于给出结论，而是引导读者一步步地去思考，去发现。这种教学方式，让我觉得非常有效，因为它能够激发我的主动学习能力，而不是被动地接受知识。这本书并没有使用大量的行话和术语，即使是引入新的概念，作者也会花时间去解释它的来源和意义。这种对细节的关注，让我感到非常安心，也让我能够更专注于对数学思想本身的理解。
评分这本书在逻辑结构的安排上，可谓是匠心独运。作者并非按照传统的数学教材那样，一层层堆砌定义和定理，而是更侧重于思想的流动和概念的生长。在介绍完基本的范畴和函子概念后，它并没有急于深入到更复杂的范畴论主题，而是花了不少篇幅来讨论范畴之间的“关系”，例如积、余积、极限、余极限等。我特别喜欢作者对这些概念的引入，他并没有直接给出它们的定义，而是通过解决一些具体的问题来引出它们的必要性。例如，当我们需要讨论“共同的部分”或“共同的粘合点”时，自然而然地就引出了积和余积的概念。这种“问题驱动”的学习方式，让我觉得非常有代入感，我仿佛不仅仅是在阅读一本数学书，而是在参与一场数学的发现之旅。书中穿插的许多例子，都极具代表性，它们涵盖了不同数学领域的范畴，从简单的集合范畴到更抽象的代数结构范畴。这些例子就像是为我打开了一扇扇窗户，让我能够窥见到范畴论在不同领域所展现出的统一性和普遍性。我开始理解，为什么有人说范畴论是一种“数学的语言”，因为它提供了一种通用的框架，来描述和连接各种数学对象和结构。
评分在阅读这本书的过程中，我最深刻的感受之一就是它所带来的“统一性”。作者通过范畴论的视角，将看似风马牛不相及的数学概念串联了起来。我发现，在不同的数学领域中，存在着许多相似的结构和关系，而范畴论正是揭示这些相似性的强大工具。例如，书中对“范畴胚”（Cartesian category）和“余范畴胚”（Cocompact category）的介绍，让我看到了与逻辑中的“与”（AND）和“或”（OR）运算之间的深刻联系。这种跨领域的联结，极大地拓展了我对数学的认知边界。我开始意识到，很多数学概念的本质，可能就隐藏在它们所处的“关系网”中，而不是仅仅在于它们自身的属性。这本书并没有试图去“教会”我多少具体的计算技巧，而是着重于培养我“理解”数学结构的能力。我发现，当我从范畴论的角度去审视一些熟悉的数学概念时，它们突然变得更加清晰和有条理，仿佛原本杂乱无章的线索，突然被一股无形的力量梳理整齐。我越发觉得，范畴论是一种非常“高级”的数学工具，它能够帮助我们从更高的维度去理解数学的整体图景。
评分最让我印象深刻的是，这本书的作者并没有试图用一套固定的模式来“包装”所有的数学内容。他似乎更倾向于展示数学的“多样性”和“灵活性”。在介绍不同范畴的例子时，他会强调它们各自的独特性，以及它们在不同领域的应用。我记得在讨论“预层范畴”（presheaf category）时，作者用了一个非常生动的例子来解释它的含义，这让我对这个复杂的概念有了直观的理解。这本书的价值在于，它不仅仅是教我“是什么”，更是教我“为什么”。它让我明白，为什么范畴论如此重要，以及它在数学发展中所扮演的角色。我开始意识到，数学并非是一堆孤立的定理和公式，而是一个 interconnected 的、动态的知识体系。范畴论就像是连接这个体系的“粘合剂”，它揭示了数学世界背后统一的逻辑和规律。我感觉自己正在被引导去“看见”数学的骨架，去理解数学的本质。
评分这本书的阅读体验，可以说是一种“渐入佳境”的过程。起初，我对于“范畴”这个概念感到有些陌生和不确定，但随着阅读的深入，我逐渐被作者构建的数学世界所吸引。书中对“函子”和“自然变换”的介绍，就像是为我打开了通往更深层次理解的大门。我发现，范畴论不仅仅是在描述静态的数学结构，更是在揭示数学结构之间的“动态”联系和“转换”关系。我开始思考，在很多数学证明中，我们所做的“构造性”证明，是否也蕴含着范畴论的思想？这本书并没有给出大量的“如何做”的指导，而是更多地在引导我“如何想”。我发现，当我尝试用范畴论的语言去描述一些数学问题时，它们往往会变得更加清晰和简洁。这种用“关系”来理解数学的视角，对我来说是一种全新的体验，也让我对数学的理解进入了一个新的层次。我感觉自己正在学习一种“通用的数学语言”，一种能够跨越不同数学分支的通用语言。
评分在我阅读这本书的过程中，我发现作者在介绍范畴的基本概念时，并没有直接抛出冰冷的定义，而是巧妙地从一些熟悉的数学结构入手，例如集合论中的集合与函数，或者群论中的群与群同态。这种“由已知到未知”的引导方式，极大地降低了理解的门槛，让我能够更容易地将新学的范畴论概念与已有的数学知识联系起来。我尤其欣赏作者对于“态射”这一概念的阐释，它不仅仅是简单的映射，更被赋予了一种“连接”和“变换”的意义，这使得范畴的视角更加动态和富有生命力。书中对“伴随函子”的介绍，更是让我惊叹于范畴论的精妙之处。我虽然还没有完全消化它的全部含义，但已能初步感受到它在捕捉数学结构之间的对应关系时所展现出的优雅和力量。作者用了很多生动的类比和图示，试图帮助读者理解这些抽象的概念，例如用“盒子”和“箭头”来比喻对象和态射，用“管道”来比喻函子。这些视觉化的工具，在我的脑海中构建起了一个立体的数学模型，帮助我摆脱了纯粹的符号化思维。这本书并没有刻意回避技术细节，但它始终将重点放在概念的理解上，而非繁琐的推导。我感觉自己正在学习一种全新的思考数学问题的方式，一种更加宏观和抽象的视角，这让我对数学的理解有了质的飞跃。
评分在我看来，这本书的价值远不止于介绍范畴论本身。它更像是在培养一种“数学思维”。作者通过范畴论的框架，教会我如何去审视数学结构之间的共性，如何去发现不同数学领域之间的内在联系。我开始尝试用范畴论的语言去重新审视我曾经学习过的数学知识，例如线性代数中的向量空间和线性映射，或者拓扑学中的拓扑空间和连续映射。我发现，许多原本需要复杂证明才能建立起来的联系，在范畴论的视角下，变得显而易见。这本书也让我对“抽象”有了新的认识。我曾经认为抽象是数学的“难点”，而现在我意识到，抽象更是数学的“力量”。通过抽象，我们可以剥离掉不必要的细节，抓住事物的本质，从而发现更普遍的规律。我感觉自己正在学习一种“高屋建瓴”的数学视角，一种能够跳出具体问题，去理解数学整体框架的能力。这种能力，对于任何一个对数学有兴趣的人来说，都将是受益终生的。
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评分全书叙述以学生与老师对话的形式展开，是范畴论入门的初等教材
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评分讲得特别详细 连集合之间的映射都一步步讲清楚的那种
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