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出版者:高等教育出版社

作者:[日]黑川信重

出品人:

页数:494

译者:印林生

出版时间:2009-6-1

价格:29.00元

装帧:平装

isbn号码:9787040263619

丛书系列:现代数学基础

图书标签:

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《数论II》 本书是一本深入探讨数论核心概念的学术专著，旨在为读者提供一个全面而严谨的数论理论框架。全书共分为十二章，逻辑清晰，循序渐进，从基础理论出发，逐步深入到现代数论的前沿领域。 第一章：整除性与同余 本章首先回顾了整数的基本性质，包括素数、合数、最大公约数和最小公倍数等概念，并引入了欧几里得算法及其应用。随后，重点阐述了同余关系，包括模运算的性质、剩余类、完系和简化系。此外，还介绍了中国剩余定理及其在密码学和组合学中的初步应用。 第二章：费马小定理与欧拉定理 本章深入探讨了费马小定理和欧拉定理，揭示了整数在模运算下的周期性。详细证明了这两个定理，并分析了它们的普适性和局限性。通过一系列例子，展示了如何利用这些定理解决同余方程和判断整除性问题。 第三章：算术函数 本章系统介绍了各类重要的算术函数，如莫比乌斯函数、欧拉函数、除数函数和加法函数。详细讨论了它们的性质、公式和乘法性。通过对这些函数的深入研究，为理解数论的深层结构奠定了基础。 第四章：素数分布 本章聚焦于素数分布的理论，介绍了素数定理的陈述及其重要意义。探讨了素数分布的统计规律，如素数间隔和素数定理的多种表述。同时，也提及了黎曼猜想的背景和研究方向。 第五章：二次剩余与二次互反律 本章引入了二次剩余的概念，并详细讨论了勒让德符号和雅可比符号。重点阐述了二次互反律及其推广，这是数论中一个至关重要的定理，为解决二次同余方程提供了强有力的工具。 第六章：丢番图方程 本章主要研究丢番图方程，即系数和变量均为整数的方程。重点分析了几类重要的丢番图方程，如线性丢番图方程、毕达哥拉斯方程和费马大定理的初步介绍。展示了求解这些方程的常用方法和技巧。 第七章：代数数论入门 本章为读者开启了代数数论的大门。介绍了代数数、代数整数、数域的概念，并深入讨论了理想理论、因子分解和类群等代数数论的核心内容。本章旨在为后续更复杂的代数数论理论打下坚实基础。 第八章：平方和问题 本章专注于整数表示为平方和的问题，包括费马关于两平方和定理的证明，以及拉格朗日四平方和定理。深入分析了平方和定理的证明思路和相关的数论技巧。 第九章：循环群与原根 本章探讨了模n的乘法群，介绍了循环群的概念和性质。重点讲解了原根的存在性判别及其在数论中的应用。 第十章：指数和离散对数 本章引入了模n的指数和离散对数的概念，并讨论了它们在密码学，特别是公钥密码系统中的关键作用。 第十一章：解析数论初步 本章简要介绍了解析数论的基本思想和方法，包括借助复变函数论和概率论来研究数论问题。 第十二章：数论在密码学中的应用 本章将前面章节的理论知识与现代密码学相结合，详细阐述了 RSA 算法、迪菲-赫尔曼密钥交换算法等经典密码学算法的数学原理，以及数论在信息安全领域的广泛应用。 本书的写作风格严谨，论证清晰，理论与实践并重。书中包含大量的例题和习题，旨在帮助读者巩固所学知识，提升分析问题和解决问题的能力。本书适合数学、计算机科学、密码学等相关专业的本科生、研究生以及对数论有浓厚兴趣的研究人员和从业者阅读。通过对本书的学习，读者将能够深刻理解数论的精妙之处，并掌握解决实际问题的有力工具。

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这是一本让我又爱又恨的书。爱它是因为它所展现出的数论世界的宏大与精妙，恨它则是因为它的难度确实不低。我花了不少时间在处理书中的“同余理论”和“丢番图方程”部分。一开始，我对“模n的剩余类”这些概念有些模糊，觉得它们像是凭空产生的。但随着阅读的深入，我才逐渐理解，这些概念是如何与整数的性质紧密联系在一起的。书中对“中国剩余定理”的讲解，我觉得非常清晰，并通过大量的例子来巩固我的理解。丢番图方程的部分，更是让我看到了数论在实际应用中的可能性，虽然书中给出的例子都比较抽象，但我能感受到背后蕴含的强大计算和分析能力。我特别喜欢书中对某些难题的“多角度”分析。比如，对于同一个丢番图方程，作者会从不同的角度去寻找解，有时是利用代数的技巧，有时是结合数论的性质，有时甚至是借助几何的直观。这种多样的解题思路，极大地拓展了我的视野。虽然我承认，这本书的阅读门槛确实很高，我需要反复查阅资料，才能勉强跟上作者的思路。但我仍然觉得，这是一本非常值得认真对待的书，它能让你真正领略到数论的魅力。

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这本书简直是一本“挑战之书”。它不像市面上很多数学书那样，会把知识点掰开了、揉碎了喂给你，而是更多地引导你去独立思考，去探索。我从这本书里获得的，不仅仅是知识，更是一种解决问题的能力和独立思考的习惯。一开始，我被书中关于“素数分布”的章节深深吸引。作者用了非常详细的篇幅，从最基本的定义出发，逐步引入了梅林公式、黎曼猜想的一些背景知识，虽然黎曼猜想本身并未深入讨论，但其背后的思想和它与素数分布的联系，我已经能初步领略了。我尝试着去推导书中的一些小引理，虽然不是每个都能完美完成，但这个过程本身就极大地锻炼了我的逻辑思维能力。书中对“二次互反律”的证明，更是让我大开眼界。我以前就知道这个定理很美，但一直不理解它的证明有多么精妙。看了这本书的讲解，才真正体会到其中的数学智慧。作者不仅给出了几种不同的证明思路，还对每种方法的优劣做了比较，这让我对数学证明的“美”有了更深刻的认识。我印象最深的是，书中并没有回避那些难度较高的部分，而是选择了直面它们，并用一种相对系统的方式呈现出来。这要求读者具备一定的基础，并且愿意投入时间和精力去钻研。

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我可以说，《数论II》是我近期阅读过的最“硬核”的数学书籍之一了。它并没有刻意去降低门槛，而是直接将读者带入了数论的深水区。我花了很长时间来理解“狄利克雷卷积”和“莫比乌斯反演”这两个概念。一开始，我看到那些公式就头晕，觉得它们像是从天而降的神谕。但作者并没有直接给出结论，而是从一些基本的数论函数出发，逐步引入这些概念的构造过程。我尝试着去计算一些简单的例子，比如计算前几个数的莫比乌斯函数值，然后去理解它们是如何在反演公式中发挥作用的。这个过程让我深刻体会到，数学概念的形成是有一个逻辑链条的，只要你愿意去追溯，就能找到它的源头。书中对“算术函数”的分类和性质的讨论，也让我对数论函数有了更系统的认识。我印象特别深的是，作者在介绍完一些理论后，会立即给出一个与之相关的习题，虽然有些习题我目前还无法完全解答，但这些题目就像是指引我进一步探索的方向。这本书需要极大的耐心和毅力，它不像一本故事书，读完就可以放下。它更像是一场需要反复思考和实践的数学冒险。

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《数论II》这本书，就像一位经验丰富的老者，娓娓道来数论的奥秘。它没有刻意迎合读者，而是以一种循序渐进、层层递进的方式，将你引入数论的殿堂。我花了相当多的时间在“代数数论”的部分，尤其是关于“伽罗瓦理论”的应用。一开始，我看到那些群论的符号和概念，就觉得有点头疼。但作者通过将伽罗瓦群与域的扩张联系起来，以及它在判断方程根性质中的作用，让我逐渐理解了它的重要性。我尝试着去理解“代数整数环的因子分解”问题，以及它与理想理论的联系。书中关于“二次域”的深入探讨，让我看到了数论在解决一些经典数学问题中的强大力量。我特别欣赏作者的叙事风格，虽然内容本身很抽象，但他总能用一种相对清晰的语言来阐释，并辅以大量的例子。我尝试着去理解“分圆域”的概念，以及它与单位根之间的关系。虽然离完全掌握还有距离，但我已经能感受到其中的精妙之处。这本书需要你付出时间和精力去反复钻研，它不是一本可以一蹴而就的书，但它绝对能让你在不知不觉中提升自己的数学功底。

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这是一本需要“慢读”的书，绝对不能囫囵吞枣。我花了很长的时间在理解“代数几何”与数论的交叉领域。书中关于“簇”和“理想”的概念，虽然在代数领域接触过，但在这里与数论的结合，赋予了它们新的意义。我尝试着去理解“希尔伯特零点定理”在数论中的应用，以及它如何帮助我们解决一些代数方程组的问题。书中对“椭圆曲线”的详细介绍，让我看到了数论在密码学等领域的巨大潜力。我尝试着去理解椭圆曲线上的加法运算，以及它与射影几何之间的联系。虽然这些内容对我来说是全新的领域，但我能感受到其中蕴含的深刻数学思想。我特别欣赏作者的严谨性，每一个定义和定理都经过了精确的表述，并且证明过程都十分详尽。这本书需要你投入大量的思考和时间，它不是一本容易读完的书，但它绝对能让你在不知不觉中提升自己的数学理解能力。

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《数论II》是一本让人在挑战中成长的书。它不会给你轻松的答案，而是引导你去思考，去探索。我花费了相当多的时间来消化书中的“p进数”理论。一开始，我看到p进数的定义，觉得它有点反直觉。但作者通过一系列的例子，尤其是p进整数的展开式，让我逐渐理解了它的构造和性质。我尝试着去计算一些p进数的加法和乘法，虽然过程有些繁琐，但让我对p进数的运算有了直观的认识。书中关于p进数与丢番图方程的联系，更是让我看到了数论在解决代数问题上的强大威力。我特别欣赏作者的叙事方式，虽然内容本身很抽象，但他总是能用相对清晰的语言来解释，并辅以大量的例子。我尝试着去理解“海塞尔函数的概念”，以及它与p进数之间的关系。虽然离完全掌握还有距离，但我已经能感受到其中的精妙之处。这本书需要你付出时间和精力去反复钻研，它不是一本可以一蹴而就的书，但它绝对能让你在不知不觉中提升自己的数学功底。

评分☆☆☆☆☆

读《数论II》的过程，就像是在攀登一座数学的山峰。山脚下还有些平缓的路段，但越往上，山势越陡峭，需要的体力也越多。我自认为在高等代数方面有一些基础，但书中的“理想理论”和“代数数域”部分，依然让我觉得颇具挑战。我花了很长的时间来理解“唯一因子分解整环”和“主理想整环”之间的关系，以及它们在代数数论中的重要性。书中对“域扩张”和“伽罗瓦群”的介绍，虽然篇幅不算太长，但概念非常密集，我需要反复阅读才能有所体会。我特别佩服作者的逻辑性，每一个定理的引入，都建立在前一个概念的基础之上，形成了一个严密的体系。虽然有些证明过程非常复杂，但我能感受到作者在其中巧妙的安排和设计。我尝试着去理解书中关于“类数”的概念，以及它与代数数域的结构之间的联系。这让我觉得，数论不仅仅是关于数字的性质，更是关于代数结构的深刻洞察。这本书更适合那些已经具备一定数学基础，并且对数论有浓厚兴趣的读者。它不是一本速成手册，而是一本需要你付出努力去“征服”的书。

评分☆☆☆☆☆

我可以毫不夸张地说，《数论II》是一本“硬核”到极致的书。它所涵盖的内容，绝对不是三天两头能啃下来的。我花了大量时间在理解“模形式”的部分。一开始，我看到那些复杂的级数和变换，简直不知所云。但作者非常耐心地从“椭圆曲线”和“傅里叶级数”等基础概念开始讲解，逐步构建起模形式的理论框架。我尝试着去计算一些低阶模形式的性质，比如它的傅里叶系数。这个过程让我看到了数论和分析的完美结合。书中关于“模形式与L函数”的联系，更是让我惊叹于数学的统一性。虽然我离完全理解这些深层联系还有很远的距离，但我已经能感受到其中的奥秘。我尤其欣赏书中对一些历史发展脉络的梳理，这让我明白，这些看似高深的理论，都是经过一代代数学家的探索和积累才形成的。这本书需要极大的耐心和毅力，它不是一本轻松的读物，但如果你真的愿意投入其中，你一定会收获匪浅。

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这本书，我断断续续地读了快三个月了，中间穿插着其他几本闲书，但每次翻开它，都能在里面找到些新奇的东西。我一直对数学里那种严谨而又充满创造力的美感着迷，而《数论II》恰恰将这种美感展现得淋漓尽致。书的开篇就给了我一个下马威，初等数论我还可以勉强应付，但到了代数数论的部分，一开始真的有点懵。那些抽象的群、环、域的概念，还有什么理想、因子等，听起来就很高深。我花了相当长的时间才慢慢理解它们在数论中的具体含义和应用。特别是关于代数整数的性质，书中给出的证明思路非常巧妙，不是那种硬搬定义、一步步推导的枯燥过程，而是充满了洞察力。我反复阅读了关于二次域和理想理论的章节，感觉自己像是踏入了一个全新的数学世界，以前那些看似棘手的问题，在这些抽象工具的帮助下，变得豁然开朗。当然，我也承认，有些地方的证明我还是没有完全吃透，需要借助更多的参考资料。但即便如此，每一次的思考和钻研，都让我对数论的理解更深一层，也让我更加享受这种智力上的挑战。我特别喜欢书中引入的一些历史典故和数学家的小故事，这让枯燥的定理和证明变得生动有趣，也让我感受到了数学发展的脉络和人类智慧的光辉。这本书更像是一次漫长的、充满探索的旅程，而不是一本简单的教科书。

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坦白说，拿到《数论II》的时候，我心里是有点打鼓的。我自认在数学方面不算太差，但数论这个领域，我总觉得它有一种神秘感，就像一个深邃的迷宫，稍不留神就会迷失方向。然而，这本书的编辑和作者似乎很有心，虽然内容本身绝对是硬核的，但他们的叙述方式却努力地将读者引入门。比如，在讲解一些比较复杂的定理之前，作者会先用一些浅显的例子来铺垫，或者给出一些直观的几何解释，虽然这些解释可能并不完全严谨，但却为理解抽象概念提供了很好的入口。我尤其欣赏的是书中对一些重要概念的反复强调和不同角度的阐释。有时候，同一个定理，作者会在不同的章节用不同的方法或侧重点来介绍，直到我彻底理解为止。这对于我这种学习效率不算太高的人来说，简直是福音。当然，这本书绝非易读，其中涉及到的一些群论、伽罗瓦理论的知识，对我来说是全新的领域，需要花费大量的时间去消化。有好几次，我看着密密麻麻的符号和证明，感觉自己脑袋都要炸了，差点想要放弃。但每当我看到作者在后面巧妙地将这些理论应用到解决一些具体的数论问题上时，那种豁然开朗的感觉又会重新燃起我的斗志。这本书的深度毋庸置疑，它绝对不是那种看一遍就能“学会”的书，它需要反复的咀嚼、思考和练习。

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男神 kurihara&saito

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男神 kurihara&saito

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关于费马大定理的证明骨架

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但没读完。没有时间了。自守形式很有意思

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总体上还可以