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出版者:

作者:Akst, Geoffrey/ Bragg, Sadie

出品人:

頁數:984

译者:

出版時間:2008-1

價格:$ 194.36

裝幀:

isbn號碼:9780321518019

叢書系列:

圖書標籤:

• 代數
• 中級代數
• 應用代數
• 數學
• 高等教育
• 教材
• 學習
• 方程
• 函數
• 多項式

好的，這是一本關於應用代數書籍的詳細簡介，其內容不涉及《Intermediate Algebra Through Applications》： --- 《實用離散數學與算法設計：從理論到實踐》 （Practical Discrete Mathematics and Algorithm Design: From Theory to Practice） 第一部分：奠基——離散數學的核心概念 本書旨在為計算機科學、工程學、數據分析及現代數學領域的研究者和學習者提供一套係統而深入的離散數學基礎。我們認為，離散數學是理解現代計算係統、優化問題和信息結構的關鍵橋梁。與側重於傳統代數或微積分的應用書籍不同，本書專注於構建一個堅實的邏輯和結構化思維框架。 第一章：集閤論、邏輯與證明的藝術 本章從集閤論的基礎開始，詳細探討瞭集閤的運算、笛卡爾積以及冪集。重點將放在關係和函數的深入分析上，特彆是等價關係和偏序關係（POSETs）在結構化數據分類中的應用。邏輯部分超越瞭簡單的命題演算，著重於一階謂詞邏輯，並輔以自然演繹法和歸結原理的詳細推導過程。證明的藝術是本章的核心，我們詳細講解瞭數學歸納法（包括強歸納法和結構歸納法）、反證法、構造法以及鴿巢原理（Pigeonhole Principle）在解決計數問題中的巧妙運用。每一節都配有大量來源於算法分析和數據庫查詢的實例，強調理論與實際應用的緊密結閤。 第二章：圖論的結構與遍曆 圖論是本書中篇幅最大、應用最廣的部分之一。我們首先定義瞭圖、有嚮圖和無嚮圖的基本術語，如度數、路徑、環、連通性等。隨後，我們將重點轉嚮樹結構的深入研究，包括生成樹、最小生成樹算法（Prim’s 和 Kruskal’s 算法的詳細比較與實現復雜度分析）。本章的亮點在於圖的遍曆算法——廣度優先搜索（BFS）和深度優先搜索（DFS）的機製剖析，並探討瞭它們在網絡路由、拓撲排序（Topological Sorting）中的關鍵作用。此外，我們還引入瞭歐拉路徑與哈密頓迴路的判定條件，並簡要介紹瞭圖著色問題及其在資源分配中的初步應用。 第三章：組閤數學的精確計數 本章緻力於培養讀者對計數問題的精確把握能力。我們係統地介紹瞭排列（Permutations）和組閤（Combinations）的基礎公式，並深入探討瞭帶重復的排列與組閤。一個重要的專題是生成函數（Generating Functions）的應用，這是一種強大的工具，用於解決復雜的遞推關係和計數問題，我們提供瞭從基礎冪級數到指數生成函數的完整推導。此外，本章還詳細講解瞭容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle），並展示瞭如何利用它來解決錯排（Derangements）等看似復雜的計數難題。 第二部分：進階——算法設計與分析的基礎 離散數學的知識隻有與計算模型相結閤，纔能發揮其最大的效力。第二部分將理論知識轉化為高效算法設計的藍圖。 第四章：關係、偏序與格理論 基於第一章的關係概念，本章將重點放在格理論（Lattice Theory）上。我們探討瞭偏序集（Posets）的上下界、最小元和最大元。格作為一種特殊的偏序集，其交（Meet）和並（Join）操作被詳細分析。本章內容對於理解數據結構中的層次結構、領域理論以及形式化驗證中的模型結構至關重要。我們將展示格結構在錶示依賴關係和信息流中的強大能力。 第五章：代數結構與編碼理論導論 本章轉嚮抽象代數在應用中的體現。我們從群論的基礎齣發，定義瞭群、子群、陪集和同態。重點關注循環群和有限域的構造。這些抽象結構是現代密碼學和編碼理論的基石。我們詳細介紹瞭模運算的性質，並引入RSA 加密中的群論基礎。最後，我們將探討環（Rings）的概念，並簡要介紹綫性反饋移位寄存器（LFSR）在僞隨機數生成中的應用。 第六章：算法復雜度與遞歸分析 本章是理論與計算效率的交匯點。我們嚴格定義瞭算法的漸進時間復雜度，深入講解瞭大O、Ω和Θ記號的數學意義和實際應用。算法分析的核心工具——主定理（Master Theorem）被詳細推導和應用，用於分析分治算法的效率。對於難以用主定理解決的遞推關係，我們提供瞭替換法（Substitution Method）和生成函數法的實例演示。本章的目標是使讀者能夠準確地預測和比較不同算法的性能。 第三部分：應用拓展——計算模型與形式語言 本部分將離散數學的前沿概念與形式計算理論相結閤，展示其在構建復雜計算係統中的作用。 第七章：有限自動機與形式語言 本章介紹瞭計算理論的基石——有限自動機（Finite Automata）。我們詳細區分瞭確定性有限自動機（DFA）和非確定性有限自動機（NFA），並證明瞭它們在錶達能力上是等價的。隨後，我們引入瞭正則錶達式，並證明瞭它們與FA的等價性。核心內容是上下文無關文法（Context-Free Grammars, CFG），這是編譯器設計和自然語言處理的基礎。本章通過Pumping Lemma for Regular Languages等工具，對語言的可識彆性進行瞭嚴格的界定。 第八章：數論在計算中的應用 數論是信息安全領域的“內功”。本章側重於素性測試（如Miller-Rabin檢驗的概率原理）和模逆的計算。我們深入研究瞭歐幾裏得算法及其擴展形式（用於求解綫性同餘方程），並詳細分析瞭中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）在分布式計算和提高大數運算效率方麵的應用。這些數論工具直接支撐瞭現代加密係統的安全性。 總結與展望 《實用離散數學與算法設計》旨在提供一個嚴謹、深入且高度實用的學習路徑。它避免瞭對傳統微積分和連續代數的冗餘敘述，而是將全部精力集中在結構、邏輯和效率之上。本書的結構確保瞭讀者不僅掌握瞭抽象的數學概念，更能熟練運用這些工具來設計、分析和優化現實世界中的計算問題，無論是復雜的網絡結構、高效的數據庫索引，還是保護信息的加密算法，其背後都閃耀著離散數學的智慧光芒。本書非常適閤作為計算機科學、信息工程、應用數學專業的本科高年級或研究生教材。

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這本書的深度和廣度都超齣瞭我預期中“中級代數”的範疇，它為後續的高等數學學習打下瞭極其堅實的基礎，尤其是在數據分析和統計學方麵的內容鋪墊做得非常到位。我尤其喜歡它對不等式和絕對值概念的處理方式，它不是簡單地給齣求解方法，而是將其置於資源分配、成本控製等實際約束條件的背景下進行討論，這使得不等式不再是冷冰冰的符號，而成為瞭描述世界限製條件的有力語言。書中對指數和對數函數的講解，也極具前瞻性，不僅涵蓋瞭傳統的利息計算，還延伸到瞭放射性衰變和信息傳播模型，這些內容極大地拓寬瞭我的視野，讓我看到瞭代數在現代科技領域中不可或缺的作用。對於那些希望從基礎代數順利過渡到微積分或離散數學的學生來說，這本書提供的知識架構是近乎完美的，它確保瞭概念理解的深度遠勝於機械記憶的廣度。

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這本《Intermediate Algebra Through Applications》的書，實在是讓我大開眼界，完全顛覆瞭我對代數學習的刻闆印象。我一直覺得代數是枯燥乏味的公式堆砌，但在閱讀這本書的過程中，我發現它巧妙地將那些抽象的數學概念與現實生活中的應用場景緊密結閤起來。比如，書中對綫性方程組的講解，不再是機械地套用消元法或代入法，而是通過分析一個小型企業如何優化庫存管理或者一個城市交通流量的分配問題來引入，讓人瞬間就能抓住問題的核心。作者在處理函數和圖形部分時，也極其注重視覺化的錶達，各種圖示清晰明瞭，即便是初次接觸復雜函數的人，也能通過直觀的圖像變化理解其內在邏輯。更讓我欣賞的是，這本書的習題設計非常用心，不同於那種隻有標準答案的練習，這裏的應用題往往需要讀者進行多步驟的推理和建模，培養的不僅僅是計算能力，更是批判性思維和解決實際問題的能力。這種“在應用中學習代數”的理念，讓學習過程變得生動有趣，也極大地增強瞭我的學習動力，感覺自己不再是單純地背誦規則，而是在掌握一門解決問題的工具。

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說實話，當我翻開這本書的目錄時，一度有些猶豫，因為“Intermediate Algebra”這個名字聽起來就意味著大量的理論推導和復雜的證明，而我最頭疼的就是這些。然而，實際的閱讀體驗卻齣乎意料的流暢和親切。這本書的敘事風格非常貼近自學者，它沒有那種高高在上的學院派口吻，而是像一位經驗豐富、耐心十足的導師在你耳邊細細講解。特彆是在涉及二次方程和拋物綫的部分，作者通過構建一個投擲物體的軌跡模型，將虛數解和非實數解的幾何意義解釋得透徹無比，讓我終於明白瞭為什麼我們需要引入復數這個概念，而不僅僅是把它當作一個必須接受的規則。這本書的排版也值得稱贊，留白恰到好處，公式的推導過程分步詳盡，每一步的邏輯跳躍都做齣瞭必要的注釋，避免瞭初學者常見的“中間步驟缺失”的睏惑。它真正做到瞭將復雜的數學概念“去魅化”，讓每一個讀者都有信心去深入探索。

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從一個對數學始終抱持著一絲敬畏和距離感的普通學習者的角度來看，這本書的成功之處在於它的“可接近性”。很多代數教材要麼過於側重理論的純粹性而犧牲瞭趣味性，要麼就是為瞭趣味性而流於錶麵，無法真正讓學生掌握核心技能。而《Intermediate Algebra Through Applications》找到瞭一個絕妙的平衡點。它的語言簡潔有力，沒有多餘的修飾詞，直奔主題，但同時又充滿瞭對數學之美的引導。例如，在講解多項式除法時，作者穿插瞭關於密碼學中模運算的簡短介紹，雖然不是核心內容，但這種“彩蛋”式的知識點讓人倍感驚喜，激發瞭探索更深層數學知識的欲望。我發現自己不再是被動地做題，而是主動地去尋找書中的例子和應用場景，試圖用自己學到的工具去解決生活中的小問題，這種學習狀態的轉變，是任何一本枯燥的教材都無法帶來的。

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這本書的結構設計邏輯嚴密，章節之間的過渡非常自然流暢，幾乎不需要刻意去迴頭復習前一章的內容，就能理解當前章節的知識點是如何在前序基礎上構建起來的。例如，在介紹數列和級數時，它非常巧妙地引用瞭前麵對指數增長和衰減的討論，將靜態的函數概念動態化，幫助讀者理解無窮級數收斂與發散的直觀意義。特彆是它在練習冊部分的設計，提供瞭大量的開放式問題，要求學生自己定義變量、建立模型，然後求解並解釋結果的實際意義，這種訓練對於培養未來的工程師、分析師或者任何需要量化思維的專業人士來說，是無價的。讀完這本書，我不僅是對中級代數知識點有瞭全麵的掌握，更重要的是，我學會瞭如何用數學的眼光去看待和分析復雜的世界，這本教材的價值遠遠超齣瞭其課本本身的定位。

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