Lectures on the Geometry of Manifolds pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Publishing Company

作者:LIVIU I NICOLAESCU

出品人:

页数:608

译者:

出版时间:2007-9-27

价格:USD 180.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9789812708533

丛书系列:

图书标签:

• 流形几何
• 数学
• Topology
• Differential_Geometry
• 微分几何
• 流形
• 拓扑学
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 学术著作
• 研究生教材
• 数学分析
• 代数拓扑

《流形几何讲义》 本书旨在为读者深入浅出地呈现流形这一抽象而优美的数学对象。我们将从最基础的概念出发，循序渐进地构建起理解流形几何所需的理论框架。 第一部分：基础概念与拓扑 在开始流形几何的探索之前，我们必须对集合论、拓扑空间以及度量空间有扎实的理解。本部分将回顾这些基础知识，并特别强调与流形紧密相关的概念，如开集、闭集、紧集、连通性以及同胚。我们将详细阐述作为流形“局部”特征的拓扑性质，为后续的“光滑”结构打下基础。 第二部分：流形及其局部结构 流形的核心思想是“局部欧几里得性”。本书将严谨地定义光滑流形，并深入探讨与之相关的概念，例如： 坐标卡与切空间： 我们将介绍如何用局部坐标来描述流形，以及切空间作为流形在某一点的“线性逼近”的重要性。切空间的代数结构和几何意义将是本书后续讨论的基石。 光滑函数与向量场： 定义在流形上的光滑函数以及光滑向量场是研究流形几何的重要工具。我们将讨论向量场的积分曲线，并引入李导数等核心概念，用于衡量向量场对其他对象的“作用”。 张量场： 张量场是流形上更为一般化的对象，它们携带着关于多重线性关系的信息。我们将从向量场和余向量场出发，逐步构造高阶张量场，并解释其在微分几何中的作用。 第三部分：微分几何的核心工具 本部分将聚焦于微分几何中至关重要的几种构造： 联络与协变导数： 为了在流形上进行“比较”向量，我们需要引入联络的概念。协变导数允许我们在流形上进行微分运算，而无需依赖特定的坐标系。我们将深入研究度量联络、挠率以及曲率张量，这些是度量流形内在几何性质的关键。 曲率： 曲率是流形几何中最富有洞察力的概念之一。本书将详细阐述黎曼曲率张量的定义及其几何解释，例如曲率如何描述空间在某一点的“弯曲”程度。我们将探讨截面曲率、里奇曲率以及数量曲率，并介绍它们在刻画流形几何性质中的作用。 测地线： 测地线是流形上“最短路径”的推广。我们将分析测地线的存在性、唯一性以及它们与流形整体结构的关系。 第四部分：流形的整体性质 在掌握了局部工具之后，我们将转向流形更为宏观的整体性质。 黎曼流形： 我们将引入黎曼度量，它赋予流形一个内积结构，从而能够测量长度、角度和体积。黎曼流形是本书研究的主要对象，我们将在其框架下讨论所有后续概念。 子流形： 研究流形内部嵌入的低维流形（子流形）是理解复杂流形结构的有效途径。我们将介绍高斯公式和魏滕加滕公式，它们将子流形内部的几何性质与其在高维空间中的几何性质联系起来。 同胚与微分同胚： 我们将区分拓扑等价（同胚）和光滑等价（微分同胚），并讨论如何利用微分几何的工具来判断两个流形是否是微分同胚的。 第五部分：进阶主题与应用（根据读者基础可能选择性涵盖） 根据读者的背景和兴趣，本书可能会选择性地介绍一些更高级的主题，例如： 李群与李代数： 研究具有光滑群结构的流形，以及与之相关的李代数，它们在几何和物理学中扮演着重要角色。 微分形式与积分： 引入微分形式，它们是对向量场和张量的自然推广，并讨论在流形上进行积分的斯托克斯定理，这是物理学中很多基本定理的推广。 布线几何： 探讨非度量联络下的流形几何，例如芬斯勒流形。 本书的编写风格力求清晰、严谨，并辅以大量的例子和练习，以帮助读者掌握抽象的概念。我们相信，通过对流形几何的深入学习，读者将能够更好地理解现代数学和物理学中的许多基本问题。

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读完这本书，我感觉自己对“平坦”和“弯曲”这两个看似简单的概念有了全新的认识。作者处理空间弯曲性的方法，不仅仅是停留在高斯曲率的二维讨论上，而是巧妙地将焦点转移到了切空间和法空间之间的关系上，这对于理解更高维度的曲率张量至关重要。这本书的叙事风格非常内敛，很少出现那种激昂的、鼓动人心的语言，一切都以数学的精确性为准绳。这种风格的优点是，它为你提供了清晰的逻辑路径，让你自己去发现美感；缺点可能是，对于初学者来说，缺乏必要的“导航员”来指引方向。我个人认为，这本书的真正价值体现在其对基础概念——例如切丛、切向量场的流以及李导数的清晰定义上。这些基础概念的稳固性，是后续学习所有现代几何分支的基石，而这本书在这方面的贡献是无可替代的。

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如果说市面上很多流形几何的书籍侧重于代数结构或物理应用，那么这本书则坚定地站在了纯粹几何直觉的立场上。它没有试图用过多的线性代数来掩盖几何的本质，而是通过精妙的图示（尽管文字描述居多，但其文字本身就具有极强的可视化效果）和对坐标无关性的不懈强调，引导读者去“看”几何对象本身。我特别喜欢其中对测地线方程的讨论，它不仅给出了求解的微分方程形式，更重要的是解释了为什么在弯曲空间中，测地线是“最直”的路径，这涉及到对测地线作为极值的深刻理解。这本书的难度曲线是陡峭的，它要求读者具备一定的数学成熟度，但对于那些已经准备好迎接挑战的读者而言，它提供的回报是巨大的——它教会你如何用几何语言思考，这比记住任何一个公式都重要得多。

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这部书的内容简直让人醍醐灌顶，尤其是在处理那些高维空间中的拓扑结构时，作者的讲解深入浅出，仿佛为我们打开了一扇通往更深层次数学世界的大门。我记得有一次，我在试图理解黎曼曲率张量在奇点附近的行为时陷入了困境，但读到这本书中关于微分形式和外导数的经典处理方式后，豁然开朗。它没有过度依赖那些花哨的代数工具，而是将几何直觉放在了首位，这一点非常宝贵。书中的例子选取得极其巧妙，既涵盖了经典的球面、环面，也触及了现代几何中一些更前沿的结构，比如规范场论中的纤维丛概念，虽然没有深入到物理应用的细节，但其数学基础的构建非常扎实。阅读过程中，我常常需要停下来，对照着教科书上的基础知识重新梳理一遍，但这种“慢读”的过程是值得的，因为它强迫我去真正消化那些复杂的定义和定理，而不是仅仅停留在符号的层面。对于任何想要真正掌握流形几何精髓的人来说，这本书提供了一个近乎完美的路线图。

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这本书的深度和广度令人印象深刻，它没有回避那些最棘手的技术细节，反而将其视为展示几何力量的绝佳机会。我发现书中关于微分形式外积在流形上的运算规则的讨论，提供了一个比传统微积分更强大、更简洁的框架。尤其是涉及到德拉姆上同调的引入部分，虽然篇幅不算多，但其构建的严密性足以让一个有志于深入代数拓扑和微分几何交叉领域的读者感到满足。作者似乎对“统一性”有着强烈的追求，致力于展示看似分离的几何概念——比如曲率、连通性和积分——如何在一个统一的微分框架下自然地结合起来。这种宏大的视角让阅读体验从单纯的计算练习升华为一次哲学性的探索。读完后，你会发现许多过去模糊不清的数学直觉，都找到了精确的语言来描述它们。

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我对这本书的整体印象是——它是一部需要“磨合”的经典，初看起来可能会觉得有些枯燥和传统，因为它似乎更侧重于严谨的逻辑推导和完备的理论框架搭建，而不是迎合现代读者对“快速上手”的偏好。然而，一旦你沉下心来，你会发现其内部蕴含着一种强大的内在美感。作者在构建微分几何的基本语言时所展现出的耐心和精确性是令人敬佩的。特别是关于常微分方程组在流形上的推广，以及如何利用李群来描述对称性这一点，处理得极其细致。我尤其欣赏它在引入向量场和测地线概念时，所花费的大量篇幅来澄清这些概念的内在几何含义，而不是简单地给出坐标表示。这本书的排版和符号系统保持了一致性，这在处理涉及大量下标和指标的张量运算时，极大地减少了阅读中的困扰。它更像是一本供研究者案头常备、随时翻阅的工具书，而非快速通关的教材。

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每个公式背后都有一个图，揭示它，这个就是做数学的一个乐趣所在.流形上每个点上的切空间是接近这个点的一阶近似。庞加莱对偶标志了流形区别于其他拓扑空间的。

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每个公式背后都有一个图，揭示它，这个就是做数学的一个乐趣所在.流形上每个点上的切空间是接近这个点的一阶近似。庞加莱对偶标志了流形区别于其他拓扑空间的。

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每个公式背后都有一个图，揭示它，这个就是做数学的一个乐趣所在.流形上每个点上的切空间是接近这个点的一阶近似。庞加莱对偶标志了流形区别于其他拓扑空间的。

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Nicolaescu写讲义是一把好手，还看过他index theorem和signature theorem的讲义，也是非常不错的。

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Nicolaescu写讲义是一把好手，还看过他index theorem和signature theorem的讲义，也是非常不错的。