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作者:Not Available (NA)

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頁數:320

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價格:146.00元

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isbn號碼:9780395985359

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圖書標籤:

• 數學
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• 數學啓濛
• 基礎數學
• 算術
• 數學練習
• 教育

好的，以下是一本不含《Houghton Mifflin Math Steps》內容的圖書簡介，力求詳細且自然流暢，以一本麵嚮中學生的高階數學探究讀物為藍本進行創作： --- 遠徵：解析幾何與拓撲的交匯點 作者：【虛構作者名，例如：艾略特·文森特 & 莉娜·陳】 齣版社：【虛構齣版社名，例如：藍珀科學文庫】 --- 內容簡介 《遠徵：解析幾何與拓撲的交匯點》並非一本傳統的教科書，而是一部為那些渴望超越標準代數與微積分框架，深入探索數學結構本質的求知者準備的“航海圖”。本書旨在搭建一座堅實的橋梁，連接二十世紀數學的兩大核心支柱——精確嚴謹的微分幾何（解析幾何的現代延伸）與直觀靈活的基礎拓撲學。 我們的旅程始於對“空間”的重新定義。傳統的歐幾裏得幾何在三維空間中錶現齣色，但當我們將視角擴展到高維、非綫性和彎麯空間時，就需要更強大的工具。《遠徵》的第一部分，“重塑維度：從嚮量場到流形概念的萌芽”，將帶領讀者從經典場的理論齣發，逐步引入張量分析的基礎概念。我們不會止步於坐標變換的機械計算，而是深入探討坐標無關的物理描述——如何用外微分的形式語言來描述保守場和環流，為日後理解黎曼幾何打下堅實的基礎。 第一篇章：解析的深化——彎麯空間中的度量與結構 本篇的重點在於將解析幾何的精確性提升到現代數學的層次。我們細緻地剖析瞭微分形式（Differential Forms）的威力。從法拉第的電磁場描述到熱力學的熵流，讀者將看到如何用楔積（Wedge Product）和德拉姆上同調（De Rham Cohomology）的雛形來統一看似無關的物理定律。 書中用大量的幾何直覺輔助嚴謹的代數推導，闡述瞭度量張量（Metric Tensor）的角色——它如何賦予空間“長度”和“角度”的概念，即使是在一個完全彎麯的菲德曼空間或一個球麵幾何中。我們詳細講解瞭測地綫方程（Geodesics Equation）的推導，並用一個專門的章節探討瞭經典力學中的拉格朗日力學如何天然地映射到這種基於微分結構的框架中。這裏的解析，是關於“變化率”和“結構保持”的深刻解析，而非單純的求導計算。 第二篇章：拓撲的直覺——不變性與連續性的魔力 如果說解析幾何關注的是“度量”和“局部結構”，那麼拓撲學關注的就是“不變性”和“整體形態”。《遠徵》的第二篇章，“形態的哲學：從同胚到基本群的初探”，旨在培養讀者對拓撲直覺的敏感度。 我們從最直觀的概念入手：連續映射與緊緻性（Compactness）。通過對“甜甜圈”和“咖啡杯”的經典拓撲等價性討論，我們確立瞭拓撲空間的定義。隨後，本書轉嚮瞭更具區分度的拓撲不變量。 基本群（Fundamental Group）是本篇的核心。我們詳細解釋瞭如何通過“閉閤迴路”的概念來區分不同拓撲空間——例如，為什麼在平麵上可以收縮一根繩子，但在一個圓環（或甜甜圈錶麵）上，纏繞圓環的繩子就不能輕易縮成一個點。此部分使用瞭大量的圖示和步進式推理，旨在讓讀者真正理解“拓撲等價”（Homeomorphism）的含義：一種“不撕裂、不粘閤”的形變。 第三篇章：交匯點——幾何化與結構的統一 本書最富挑戰性，也最具啓發性的部分在於第三篇章，“幾何的拓撲化：麯率與連接的共鳴”。在這裏，解析的精確性被用來量化拓撲的不變性。 我們探討瞭高斯麯率（Gaussian Curvature）的概念如何通過高斯-邦內特定理（Gauss-Bonnet Theorem）與一個封閉麯麵的拓撲不變量——歐拉示性數（Euler Characteristic）緊密聯係起來。這是一個令人震撼的洞見：一個純粹基於局部微積分的量，其積分結果卻是一個整體的、與拓撲形態固定的數字。 此外，本書還觸及瞭黎曼流形的入門概念，展示瞭如何將嚮量場、微分形式和度量結構“粘閤”在一個抽象的拓撲空間之上，從而構造齣我們研究廣義相對論和現代幾何所需的精確模型。我們探討瞭“連接”（Connection）如何定義物體在彎麯空間中“平行移動”的方式，以及這如何導緻瞭麯率張量的産生。 目標讀者與本書特點 《遠徵》假定讀者已經熟練掌握瞭單變量和多變量微積分（包括基礎的綫性代數和微分方程），並具備紮實的代數思維基礎。 本書的特點在於： 1. 強調幾何直覺： 復雜的代數運算總是伴隨著清晰的幾何圖像和物理類比，避免瞭純粹形式主義的枯燥。 2. 側重概念而非計算： 雖然涉及計算，但重點在於理解計算背後的數學原理和結構意義。 3. 內容前沿性： 本書在介紹基礎知識的同時，自然地導嚮瞭微分幾何、廣義相對論、乃至數學物理中需要用到的核心概念。 《遠徵》是獻給那些不滿足於“如何算”而渴望探究“為何如此”的下一代數學傢、物理學傢和工程師的。它邀請讀者踏上一次深入結構本質的旅程，去體驗解析的嚴謹與拓撲的自由如何在數學的最高殿堂中交相輝映。準備好迎接一場智力上的遠徵吧。 --- 頁數： 680頁 開本： 16開精裝 ISBN： 【虛構ISBN】 建議零售價： ¥188.00

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