Geometries and Groups (Universitext) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Viacheslav V. Nikulin

出品人:

页数:268

译者:

出版时间:2002-06-21

价格:USD 99.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540152811

丛书系列:universitext

图书标签:

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• 2002
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好的，这是一本关于拓扑学基础的教材简介，内容侧重于清晰的几何直观和严格的代数结构引入，旨在为初学者构建坚实的数学基础。 --- 拓扑结构与连续形变：几何直观与代数严谨的桥梁 作者： [此处可填入虚构作者名，例如：A. R. Sinclair, J. M. Holloway] 出版社： [此处可填入虚构出版社名，例如：Mathematical Horizons Press] 页数： 约 600 页 目标读者： 高年级本科生、研究生初期学生，以及希望系统学习拓扑学基础的数学爱好者。 内容提要： 《拓扑结构与连续形变：几何直观与代数严谨的桥梁》（Topological Structures and Continuous Deformations: A Bridge Between Geometric Intuition and Algebraic Rigor）是一部为深入理解拓扑学核心概念而精心设计的教材。本书摒弃了传统教材中过于抽象或过于依赖特定领域（如代数拓扑的特定分支）的叙述方式，而是致力于在点集拓扑（或称一般拓扑）和代数结构的引入之间架设一座坚实的桥梁。 本书的哲学是：拓扑学研究的是在连续形变下保持不变的性质。要掌握这一思想，读者必须同时培养出敏锐的几何直觉和精确的代数工具箱。因此，本书的组织结构旨在确保每一个抽象定义都紧密关联到其背后的空间直观，而每一个直观结论都最终被提升到严谨的数学证明层面。 第一部分：空间与距离的重新定义 (The Reimagining of Space and Distance) 本部分为读者打下坚实的基础，从熟悉的欧几里得空间出发，逐步抽象化“邻近性”和“收敛性”的概念。 第 1 章：超越度量——拓扑空间的引入 我们从度量空间（Metric Spaces）开始，回顾完备性、开闭球的概念。随后，本书引入拓扑学的核心概念——拓扑结构。我们将拓扑定义为一组满足特定公理的开集族，并详细探讨了开集、闭集、闭包、内部、边界的定义及其相互关系。本章强调了基（Basis）和子基（Subbasis）的概念，展示了如何使用较少的集合来生成整个拓扑结构，这对于后续构造特定的拓扑空间至关重要。 第 2 章：连续性与同胚的语言 拓扑学的核心是连续函数。本章利用开集定义连续性，并将其与微积分中的 $epsilon-delta$ 定义进行对比，阐明拓扑连续性的普适性。随后，我们引入同胚（Homeomorphism），即“拓扑等价”的概念。通过大量二维和三维空间的例子（如咖啡杯与甜甜圈的类比），读者将学习如何证明两个空间在拓扑上是等价的或不可区分的。 第 3 章：收敛、紧致性与分离性 本章深入探讨拓扑空间中的极限理论。我们讨论网（Nets）和过滤器（Filters）作为序列推广的概念，它们是处理非度量空间中收敛性的关键工具。核心概念紧致性（Compactness）被细致分析，首先从有限开复盖的角度引入，随后利用 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）提供直观锚点。本章还详细讨论了分离公理（如 $T_1, T_2$（豪斯多夫）、正则性 $T_3$ 和正规性 $T_4$），说明了这些性质如何限制了空间的“行为”——例如，在豪斯多夫空间中，极限是唯一的。 第二部分：构造性拓扑与空间操作 (Constructive Topology and Space Manipulation) 本部分关注如何从已知的拓扑空间构造出新的、更复杂的空间，这是几何对象组合的数学基础。 第 4 章：子空间、商空间与乘积空间 我们系统研究三种基本的构造方法： 1. 子空间拓扑 (Subspace Topology)：从父空间继承结构。 2. 商空间拓扑 (Quotient Topology)：通过等价关系“粘合”空间的不同部分。本节通过识别正方形的边来构造圆环和球面，这是理解代数拓扑中商空间应用的关键一步。 3. 乘积空间拓扑 (Product Topology)：组合多个空间的独立结构，例如 $mathbb{R}^2$ 的构造。 第 5 章：连通性与路径连通性 (Connectedness and Path Connectedness) 本章探讨空间的“整体性”。连通性的定义及其与开集、闭集的深刻关系被详细阐述。更重要的是，我们引入了路径连通性，并通过证明路径连通性蕴含连通性（在 $mathbb{R}^n$ 中）来巩固几何直觉。对于非路径连通空间（如 Cantor 集），本书提供了具体的构造和分析。 第三部分：初步代数结构与不变量 (Preliminary Algebraic Structures and Invariants) 虽然本书的主体是点集拓扑，但为了预备代数拓扑，本部分引入了必要的代数工具，并首次探讨了拓扑不变量的萌芽。 第 6 章：基本群（$pi_1$）的几何前奏 本章作为通往代数拓扑的阶梯，引入了路径（Paths）和同伦（Homotopy）的概念。读者将学习如何定义路径的乘法和逆元，并理解同伦如何定义了一种更精细的等价关系——同伦等价。虽然本书不会深入讨论群论的复杂细节，但它会详细展示如何将路径群（即 $pi_1$）的非平凡性作为区分拓扑空间（如圆盘与圆环）的强有力工具，特别是通过考察其在 $mathbb{R}^3$ 中的可视化表现。 第 7 章：构造性的拓扑不变量 本章总结了前几章中发现的拓扑性质，将它们正式归类为不变量（即在同胚下保持不变的性质）： 分离性和紧致性（空间结构的内在属性）。 维度（通过局部性质的讨论）。 连通性（整体结构的保持）。 本书特色 1. 几何驱动的定义： 每个抽象概念（如开集、紧致性）都伴随着详细的图形示例和直观的类比，帮助读者建立“感觉”。 2. 严格的证明体系： 证明清晰、逻辑严密，符合现代数学的要求，为读者顺利过渡到更高级的代数拓扑或微分拓扑打下坚实基础。 3. 丰富的练习集： 每章末尾设有分级练习，包括计算题、概念验证题和具有挑战性的构造性证明题，鼓励读者主动运用所学知识。 通过阅读本书，读者将不再仅仅将拓扑学视为一套抽象的公理系统，而是将其视为研究空间本质属性、理解连续性极限的强大、统一的数学语言。

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拿到这本厚厚的书，我最大的感受就是它的“硬核”。它完全没有迎合现代教材那种为了取悦读者而做的花哨排版或者大量的彩色插图，一切都以内容为王，墨守成规地展示着最纯粹的数学推导。这本书的章节组织逻辑清晰到近乎冷酷，每一步都建立在前一步的坚实基础上，没有丝毫的冗余。我特别欣赏它在处理代数拓扑和李群理论时的那种不妥协的态度。很多其他教材在这里会选择简化或跳过关键的证明细节，但这本“Universitext”系列的书籍似乎秉持着一种“如果你想知道，那就必须看完整证明”的原则。这对于那些有志于继续深造，或者对理论细节有强迫症的读者来说，简直是福音。我花了整整一个下午，试图理解其中关于纤维丛的一个定理的推导，那过程简直是一场智力的拉锯战，需要不断地回顾前面关于向量场的章节。读完后，虽然头脑发胀，但那种对数学严谨性的敬畏感油然而生，感觉自己真正接触到了数学大厦的钢筋骨架，而不是表面光鲜的装饰。

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这本书的学术气息非常浓厚，能明显感觉到是为那些已经具备扎实分析和线性代数基础的读者量身定做的。它的语言风格非常“欧洲化”，精准、克制，且极度依赖于上下文的逻辑衔接。我发现，一旦错过了某一个定义或者对某个引理的理解不够透彻，接下来的好几页内容都会变成一堆难以辨认的文字符号。特别是涉及到代数几何和拓扑的交叉领域时，本书的严密性达到了令人发指的程度。例如，在讨论流形上的张量和联络时，作者几乎没有提供任何直觉上的解释，全是定义、引理、定理和证明的序列。这对于我这种更偏向于应用和直觉理解的读者来说，无疑是一场漫长的“受苦”过程。但反过来说，这本书也因此成为了一份可靠的参考资料，因为它不会因为追求易读性而牺牲任何一个数学细节。当你需要一个完全没有歧义的、纯粹的数学表述时，翻开它，你总能找到最严谨的答案，尽管这个答案往往需要花费你数倍的精力去解码。

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坦白讲，我最初买这本书是冲着它的名字——《Geometries and Groups》。我期待着看到清晰的图示如何连接起弯曲空间和对称群之间的美妙关系。然而，这本书给我的感觉更像是“关于几何和群的严谨数学论述”，而不是一本“展示几何与群之联系”的视觉导览手册。前半部分关于基础代数结构的铺陈，显得异常扎实，但对于初学者来说，可能会觉得节奏过于缓慢和抽象。很多时候，我需要借助其他更具启发性的辅助材料，才能将书中的符号和概念与我脑海中模糊的几何图像对应起来。比如，当讨论到庞加莱群的表示理论时，书中的处理方式是完全基于特征标和表示空间的代数操作，对于习惯于通过坐标变换来理解几何变换的我来说，这无疑是一次思维模式的彻底重构。这本书的价值在于它的深度和广度，但它要求读者自己去建立桥梁，它不会主动递给你一座现成的、铺着红地毯的步行道。它是一把钥匙，但打开哪扇门，取决于你如何去转动它。

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这本《Geometries and Groups (Universitext)》的书，老实说，我读得磕磕绊绊，但最终的收获是实实在在的。它不是那种轻轻松松就能翻完的入门读物，更像是一场精心设计的数学探险。一开始，面对那些抽象的定义和复杂的定理，我差点就想把它束之高阁。特别是关于群论的部分，那些对称性的讨论，初看之下觉得和我们日常经验相去甚远，完全是建立在纯粹的逻辑推理之上。但是，作者的叙述方式，虽然严谨，却又带着一种古典的数学美感，让人忍不住想去深究背后的联系。那种感觉，就像是透过一层薄雾，逐渐看清了隐藏在数字和符号背后的精妙结构。书中的几何部分，从欧几里得的直观世界过渡到更抽象的拓扑和微分几何的边缘时，那种思维的跨越感尤其强烈，需要读者投入极大的专注力去消化每一个论证步骤。如果只是想了解一下名词解释，这本书绝对会让你感到挫败，但如果你真的想在代数和几何的交汇点上建立起坚实的理解框架，那么这份挑战绝对值得接受。它迫使你重新审视你对“空间”和“变换”的固有认知，最终构建起一个更宏大、更统一的数学视野。

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如果要用一个词来形容阅读《Geometries and Groups (Universitext)》的体验，那一定是“淬炼”。它不是一本旨在让你轻松掌握知识的书，更像是一个筛选器，只有那些真正热爱并愿意投入大量时间与抽象结构搏斗的人才能从中获益良多。它的价值不在于提供了多少新颖的观点，而在于它如何系统、完整地梳理了二十世纪数学中几个核心领域的基础逻辑结构。我尤其欣赏它对范畴论在几何和群论中应用的早期引入，这为理解后来的现代数学框架打下了坚实的基础。这本书的篇幅很可观，但每一页似乎都承载着重量级的数学信息，没有一句闲话，没有一个不必要的例子。对于一个已经学过基础微积分和线性代数，希望向更高阶纯数学进军的研究生来说，这本书提供了一种近乎百科全书式的、自洽的知识体系。读完它，你可能不会立刻能解决任何实际问题，但你的数学思维会变得更加坚韧和精确，这才是其最大的馈赠。

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