数学竞赛研究教程（套装上、下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:上海教育出版社

作者:单墫

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2018-6-1

价格:98.00元

装帧:平装

isbn号码:9787544480109

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数理探索的阶梯：为明日之星打造的竞赛数学进阶之路（上、下册） 上册：基础夯实与核心技能锻造 本书上册，旨在为有志于在数学竞赛领域崭露头角的中学生构建坚实的地基，并系统性地训练其核心的解题技能。我们深知，数学竞赛的魅力不仅在于解出难题的成就感，更在于其背后蕴含的严谨逻辑、深刻洞察和创造性思维。因此，本教程从最基础的概念梳理开始，循序渐进地引导读者深入理解数学的本质。 第一章：逻辑推理与证明技巧的基石 本章聚焦于数学竞赛中最不可或缺的工具——逻辑推理与证明。我们将从形式逻辑的基本概念入手，如命题、联结词、量词等，帮助读者建立清晰的逻辑思维框架。随后，我们将详细讲解几种常用的证明方法，包括直接证明、反证法、数学归纳法、构造法等。通过大量的经典例题分析，读者将学会如何审题、分析条件、构建推理链条，并最终将数学语言转化为严谨的证明过程。我们特别强调证明的规范性、完备性，以及如何避免常见的逻辑谬误。此外，本章还将介绍一些常用的等价关系与不等式，为后续的学习打下基础。 第二章：代数世界：方程、函数与数列的深度探索 代数是数学竞赛的重镇。本章将对初中和高中代数的核心内容进行系统性地复习和深化。我们从一元二次方程的性质与解法开始，引申到高次方程的根的性质、韦达定理的应用，以及超越方程的求解思路。在函数部分，我们将重点讲解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及三角函数的性质、图像及其变换。函数的最值问题、单调性问题、奇偶性问题等，都将通过例题进行深入剖析。数列部分，我们将详细介绍等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，并探讨更一般的数列的递推关系与通项公式的求解方法。本章还包含均值不等式、柯西不等式等重要不等式的引入与应用，为解决不等式证明与最值问题提供强有力的武器。 第三章：几何空间：平面图形与立体图形的严谨构建 几何学以其直观性和严谨性吸引着无数探索者。本章将从欧几里得几何的公理体系出发，系统性地梳理平面几何中的基本概念，如点、线、角、三角形、四边形、圆等。我们将重点讲解相似三角形、全等三角形的判定与性质，圆的有关定理（切线性质、弦切角定理等），以及各种特殊几何图形的性质。通过对经典几何问题的分析，读者将学会如何利用辅助线、添加条件、转化图形等技巧来解决几何证明题。对于立体几何，本章将介绍空间直线、平面之间的位置关系，以及多面体、旋转体等基本立体图形的性质。我们还会涉及空间向量在立体几何中的应用，为求解距离、角度等问题提供更便捷的工具。 第四章：数论的魅力：整除、同余与数论函数的初步认知 数论是数学中最古老也最具魅力的分支之一。本章将带领读者走进数论的奇妙世界。我们将从整除的性质出发，介绍最大公约数与最小公倍数，并讲解欧几里得算法。质数与合数是数论的基础，我们将探讨其分布规律与判定方法。同余理论是数论中的核心概念，我们将详细讲解同余的性质、线性同余方程的解法，以及中国剩余定理的应用。此外，本章还将初步介绍一些重要的数论函数，如欧拉函数，并探讨其在数论问题中的作用。通过对数论经典问题的解析，读者将学会如何运用数论的工具解决整除、同余、方程等问题。 第五章：计数原理与概率统计的初步应用 计数与概率是理解和分析现实世界的重要工具。本章将介绍排列与组合的基本计数原理，包括加法原理、乘法原理、分类计数原理。我们将讲解排列、组合的定义、公式及其应用，并介绍带重复的排列与组合、隔板法等高级计数技巧。在概率部分，我们将从古典概型入手，介绍概率的定义、互斥事件与相互独立事件的概率计算。通过对一些经典的概率问题的分析，读者将学会如何分析随机事件，并计算其发生的概率。本章还包含一些简单的期望与方差的概念，为理解随机变量的统计特征打下基础。 上册的特色： 体系完整： 涵盖了数学竞赛中最核心的四大基础板块：逻辑证明、代数、几何、数论，以及计数与概率的初步应用。 循序渐进： 从基础概念出发，逐步深入，难度递增，确保读者能够稳步提升。 注重方法： 强调解题思路、技巧与方法的培养，而非死记硬背公式。 例题丰富： 精选大量经典、有代表性的例题，并进行详尽的解析，帮助读者理解抽象概念。 练习题精炼： 提供适量的练习题，供读者巩固所学知识，并检验掌握程度。 下册：进阶策略与竞赛思维的升华 承接上册所打下的坚实基础，本书下册将带领读者进入数学竞赛更深邃的殿堂。本册的重点在于拓展视野，提升思维的灵活性与创造性，学习更高级的解题技巧，并培养解决复杂问题的能力。 第一章：高等代数与函数方程的精妙技法 本章将对代数内容进行进一步的升华。我们将深入探讨多项式的性质，如根的分布、因式分解、整系数多项式的有理根定理等。复数是代数中的一个重要概念，我们将讲解复数的几何意义、代数运算、复数的极坐标表示以及复数在方程求解中的应用。函数部分，我们将重点研究函数的单调性、凸凹性、周期性，以及函数方程（如柯西函数方程）的求解思路。不等式的研究将更加深入，除了上册提到的基本不等式，我们将引入 Jensen 不等式、Minkowski 不等式等，并重点讲解构造与放缩技巧在不等式证明中的应用。 第二章：解析几何与向量的深度应用 本章将解析几何与向量方法进行深度融合，提供解决几何问题的强大工具。我们将回顾直线、圆的方程，并深入探讨二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程、几何性质及其在竞赛问题中的应用。向量部分，我们将讲解向量的线性运算、数量积、向量积（在三维空间中），以及向量在判断点线面位置关系、求解角度、距离等问题中的应用。我们将重点展示如何利用向量坐标法、向量法等解决复杂的平面几何和立体几何问题。 第三章：数论的进阶理论与应用 本章将对数论进行更深入的探讨。我们将详细讲解同余方程组的求解，包括模方程的性质以及高次同余方程的求解思路。费马小定理、欧拉定理、威尔逊定理等数论中的重要定理将被引入，并讲解其在求解整除问题、判断素数以及简化幂运算中的应用。平方剩余与二次互反律将作为更高级的数论概念进行介绍。此外，本章还将涉及数论函数（如莫比乌斯函数、狄利克雷卷积）的初步概念及其在组合数论问题中的应用。 第四章：组合数学与图论的奥秘 组合数学是解决计数问题的强大理论体系。本章将进一步拓展排列组合的技巧，如生成函数在计数问题中的应用，以及母函数法。我们将深入讲解容斥原理，以及其在解决集合计数、子集问题中的威力。本章还将引入图论的基本概念，如图的定义、度数、连通性、通路、回路等，并介绍一些基本的图论算法，如欧拉图、哈密顿图的概念，以及二分图的匹配问题。这些知识将有助于解决一些看似与代数、几何无关的抽象计数问题。 第五章：数学建模与创新思维的培养 本章的重点不在于传授特定的数学知识点，而是着重于培养解决实际问题和进行数学创新的能力。我们将介绍一些典型的数学建模方法，例如如何将现实问题抽象为数学模型，如何选择合适的数学工具进行分析，以及如何解释模型结果。我们将通过一些实际案例，引导读者思考问题背后的数学本质，并尝试从不同的角度去解决问题。本章还将强调数学思想方法的重要性，如化归思想、对称思想、构造思想、数形结合思想等，并通过一些开放性问题，鼓励读者进行发散性思考和创造性探索。 下册的特色： 思维拔高： 聚焦于数学思想方法的提炼与运用，培养深度思考能力。 技法精炼： 传授更高级、更精妙的解题技巧，应对复杂竞赛题目。 视野拓展： 引入组合数学、图论、数学建模等新的数学领域，开阔解题思路。 创新导向： 鼓励学生独立思考、探索未知，培养数学的创造力。 挑战性强： 题目难度和深度有所提升，旨在帮助读者突破瓶颈，迈向更高的层次。 套装整体价值： 《数理探索的阶梯：为明日之星打造的竞赛数学进阶之路（上、下册）》不仅仅是一本教程，更是通往数学竞赛成功之路的阶梯。上册打下坚实基础，下册引领思维升华，两者相辅相成，为广大中学生提供了一个系统、全面、深入的数学竞赛学习方案。无论你是初涉竞赛，还是希望在已有基础上更进一步，本书都将是你的得力助手，帮助你在数理的海洋中，乘风破浪，驶向胜利的彼岸。本书的编写团队由多位资深数学竞赛教练和教育专家组成，他们凭借丰富的教学经验和对竞赛趋势的深刻洞察，精心打磨了每一道例题和习题，力求为读者提供最优质的学习体验。我们相信，通过对本书的学习，读者不仅能提升数学解题能力，更能培养严谨的逻辑思维、深刻的分析能力和解决问题的自信心，这些宝贵的品质，将伴随他们一生。

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这套《数学竞赛研究教程》真是解了我燃眉之急，尤其是在准备那些高难度省赛和国赛时，感觉手头的资料总是不够系统和深入。我之前尝试过几本市面上流行的参考书，但它们往往侧重于某一个知识点，或者讲解深度不够，读完后还是感觉摸不着头脑。这套书的特点就是非常全面，从基础的数论、组合、几何，到高深的拓扑和函数方程，都有涉及，而且它的叙述方式极其清晰。特别是它不像很多教材那样冷冰冰的，而是像一个经验丰富的教练在旁边手把手地教你，每一步的逻辑推导都交代得清清楚楚，让你能真正理解“为什么”是这样，而不是死记硬背公式。我特别欣赏它在例题选择上的独到眼光，选的都是近几年各大赛事中出现过的经典或变体，这些题目本身就具有很高的研究价值。通过解这些题目，我不仅巩固了理论知识，更重要的是，学会了如何在压力下组织思路，并构建出严谨的数学证明。这本书为我构建了一个坚实的知识框架，让我对数学竞赛的理解提升到了一个新的层次，感觉终于有了一本可以陪伴我从初级到高级的“武功秘籍”。

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坦白讲，市面上的数学竞赛辅导书多如牛毛，但大部分读起来都让人昏昏欲睡，语言晦涩难懂，仿佛是直接把大学教材的某些章节截取下来拼凑而成。这套教程的语言风格则显得非常人性化，虽然内容深度很高，但作者的文字却充满了引导性。它知道初学者在哪里会感到困惑，会在关键步骤前设置“思考点”或者“提示”，仿佛知道你下一步正准备卡住。我特别喜欢它在介绍某些“黑科技”定理时，会先给出直观的几何解释或类比，然后再进行严谨的代数证明。这种“先感性认识，后理性把握”的教学顺序，极大地降低了理解难度。对于我这种需要通过多感官输入才能有效学习的人来说，这简直是福音。读这本书的过程，与其说是学习，不如说是一次愉快的智力探索之旅，每一次翻页都充满了期待，生怕错过了一个精彩的论证环节。

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对于那些已经积累了一定基础，渴望向顶尖水平迈进的选手而言，这套《数学竞赛研究教程》无疑是为我们量身打造的“进阶装备”。它最大的价值在于其对知识体系的构建和梳理能力。它不会停留在“会做题”的层面，而是引导你去思考“为什么这些知识点会以这种方式组合在一起形成一个竞赛难题”。例如，它会将数论中的同余理论与代数中的群论思想巧妙地融合起来分析模运算下的性质，这种跨领域的融会贯通是高水平竞赛制胜的关键。我发现，在我使用这本书进行系统性学习后，我对于数学的整体把握更加稳固了，不再是东一块西一块的知识碎片。当我面对一个全新的、从未见过的难题时，我不再是盲目尝试，而是能迅速地将它归类到特定的数学分支，并调用相应的工具集去攻克。这套书真正培养的是一种系统性的、可迁移的数学研究能力，它为我冲击更高一级的学术目标奠定了坚实的基础。

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拿到这本教程时，我立刻被它那种扎实的学术氛围所吸引。这不是那种浮于表面的应试技巧集锦，而是一本真正致力于提升数学思维深度的工具书。它的行文风格非常严谨，大量的定理、引理和推论被精心组织起来，展现出数学的内在美感。我尤其喜欢它在讲解复杂概念时所采用的“追本溯源”的方法。比如在处理某些高级几何问题时，它会先从欧氏几何的基础原理出发，逐步引入更抽象的向量或坐标变换思想，让读者体验到数学概念是如何从具体走向抽象，又是如何通过抽象反过来解决具体问题的。对于我这种对证明的逻辑性有较高要求的学习者来说，这套书简直是如获至宝。每次读完一个章节，我都感觉自己的逻辑链条被重新梳理和强化了一遍。虽然初读时可能需要投入较多的精力去啃，但只要坚持下来，那种思维被拓宽、视野被打开的感觉是无可替代的。它真正教会我的，是如何像一个数学家那样去思考问题，而不是仅仅作为一个解题机器。

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我是一个比较注重实战应用的学习者，所以我对那些“光说不练假把式”的书籍是相当反感的。幸运的是，这套《数学竞赛研究教程》完美地平衡了理论与实践。它不仅仅是枯燥的公式堆砌，而是大量穿插了对历年真题的深度剖析。这些剖析极其到位，它不仅给出了标准答案，更重要的是，它会展示出不同的解题路径，分析每种方法的优缺点，以及为什么出题人会选择这种设置。例如，在组合数学那一册里，对于一个看似简单的排列组合问题，书中竟然能引申出生成函数和指数型母函数等高级工具的应用，让我大开眼界。这些讲解让我明白，很多竞赛难题的背后都有着深厚的数学理论支撑，而不是简单的“技巧”就能解决的。这本书极大地提高了我的解题敏感度，我现在看到一个新问题，脑子里立刻就能浮现出多种可能的解题框架，这种“预见性”的提升，是任何短期的刷题集训都无法比拟的。

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