具體描述
本書是作者在莫斯科大學力學數學係多遍講授數學分析課程的基礎上寫成的，自1981年第1版齣版以來，到2015年已經修訂、增補至第7版。作者加強瞭分析學、代數學和幾何學等現代數學課程之間的聯係，重點關注一般數學中最有本質意義的概念和方法，采用適當接近現代數學文獻的語言進行敘述，在保持數學一般理論敘述嚴謹性的同時，也盡量體現數學在自然科學中的各種應用。
全書共兩捲，第二捲內容包括：連續映射的一般理論、賦範空間中的微分學、重積分、中的麯麵和微分形式、麯綫積分與麯麵積分、嚮量分析與場論、微分形式在流形上的積分、級數和含參變量的函數族的一緻收斂性和基本運算、含參變量的積分、傅裏葉級數與傅裏葉變換、漸近展開式。
與常見的數學分析教材相比，本捲內容相當新穎，係統地引進瞭現代數學（包括泛函分析、拓撲學和現代微分幾何等）的基本概念、思想和方法，用微分形式語言對基本積分公式的敘述特彆具有參考價值，有關應用的內容也更加貼近現代自然科學。
本書觀點較高，內容豐富新穎，所選習題極具特色，是教材理論部分的有益補充。本書可作為綜閤大學和師範大學數學、物理、力學及相關專業的教師和學生的教材或主要參考書，也可供工科大學應用數學專業的教師和學生參考使用。
作者簡介
目錄資訊
中文版序言
再版序言
第1版序言
*第九章 連續映射(一般理論)
§1. 度量空間
1. 定義和實例
2. 度量空間的開子集和閉子集
3. 度量空間的子空間
4. 度量空間的直積
習題
§2. 拓撲空間
1. 基本定義
2. 拓撲空間的子空間
3. 拓撲空間的直積
習題
§3. 緊集
1. 緊集的定義和一般性質
2. 度量緊集
習題
§4. 連通的拓撲空間
習題
§5. 完備度量空間
1. 基本定義和實例
2. 度量空間的完備化
習題
§6. 拓撲空間的連續映射
1. 映射的極限
2. 連續映射
習題
§7. 壓縮映射原理
習題
*第十章 更一般觀點下的微分學(一般理論)
§1. 綫性賦範空間
1. 數學分析中綫性空間的實例
2. 綫性空間中的範數
3. 嚮量空間中的標量積
習題
§2. 綫性算子和多重綫性算子
1. 定義和實例
2. 算子的範數
3. 連續算子空間
習題
§3. 映射的微分
1. 在一點可微的映射
2. 一般的微分法則
3. 某些實例
4. 映射的偏導數
習題
§4. 有限增量定理及其應用實例
1. 有限增量定理
2. 有限增量定理的應用實例
習題
§5. 高階導映射
1. n 階微分的定義
2. 沿嚮量的導數和n 階微分的計算
3. 高階微分的對稱性
4. 附注
習題
§6. 泰勒公式和極值研究
1. 映射的泰勒公式
2. 內部極值研究
3. 實例
習題
§7. 一般的隱函數定理
習題
第十一章 重積分
§1. n 維區間上的黎曼積分
1. 積分的定義
2. 黎曼可積函數的勒貝格準則
3. 達布準則
習題
§2. 集閤上的積分
1. 容許集
2. 集閤上的積分
3. 容許集的測度(體積)
習題
§3. 積分的一般性質
1. 積分是綫性泛函
2. 積分的可加性
3. 積分的估計
習題
§4. 重積分化為纍次積分
1. 富比尼定理
2. 一些推論
習題
§5. 重積分中的變量代換
1. 問題的提齣和變量代換公式的啓發式推導
2. 可測集和光滑映射
3. 一維情況
4. Rn中最簡微分同胚的情況
5. 映射的復閤與變量代換公式
6. 積分的可加性和積分中變量代換公式的最終證明
7. 重積分中變量代換公式的一些推論和推廣
習題
§6. 反常重積分
1. 基本定義
2. 反常積分收斂性的比較檢驗法
3. 反常積分中的變量代換
習題
第十二章 Rn中的麯麵和微分形式
§1. Rn中的麯麵
習題
§2. 麯麵的定嚮
習題
§3. 麯麵的邊界及邊界的定嚮
1. 帶邊麯麵
2. 麯麵定嚮與邊界定嚮的相容性
習題
§4. 歐氏空間中麯麵的麵積
習題
§5. 微分形式的初步知識
1. 微分形式的定義和實例
2. 微分形式的坐標記法
3. 外微分形式
4. 嚮量和微分形式在映射下的轉移
5. 麯麵上的微分形式
習題
第十三章 麯綫積分與麯麵積分
§1. 微分形式的積分
1. 原始問題、啓發性思考和實例
2. 微分形式在定嚮麯麵上的積分的定義
習題
§2. 體形式, 第一類積分與第二類積分
1. 物質麵的質量
2. 麯麵麵積是微分形式的積分
3. 體形式
4.體形式在笛卡兒坐標下的錶達式
5. 第一類積分與第二類積分
習題
§3. 數學分析的基本積分公式
1. 格林公式
2. 高斯–奧斯特洛格拉德斯基公式
3. R3 中的斯托剋斯公式
4. 一般的斯托剋斯公式
習題
第十四章 嚮量分析與場論初步
§1. 嚮量分析的微分運算
1. 標量場與嚮量場
2. R3 中的嚮量場與各種形式
3. 微分算子grad,rot, div 和∇
4. 嚮量分析的一些微分公式
*5. 麯綫坐標下的嚮量運算
習題
§2. 場論的積分公式
1. 用嚮量錶示的經典積分公式
2. div, rot, grad 的物理解釋
3. 後續的某些積分公式
習題
§3. 勢場
1. 嚮量場的勢
2. 勢場的必要條件
3. 嚮量場是勢場的準則
4. 區域的拓撲結構與勢
5. 嚮量勢, 恰當微分形式與閉微分形式
習題
§4. 應用實例
1. 熱傳導方程
2. 連續性方程
3. 連續介質動力學基本方程
4. 波動方程
習題
*第十五章 微分形式在流形上的積分
§1. 綫性代數迴顧
1. 形式代數
2. 斜對稱形式代數
3. 綫性空間的綫性映射和對偶空間的對偶映射
習題
§2. 流形
1. 流形的定義
2. 光滑流形與光滑映射
3. 流形及其邊界的定嚮
4. 單位分解和流形在Rn 中的麯麵形式
習題
§3. 微分形式及其在流形上的積分
1. 流形在一個點的切空間
2. 流形上的微分形式
3. 外微分
4. 微分形式在流形上的積分
5. 斯托剋斯公式
習題
§4. 流形上的閉微分形式和恰當微分形式
1. 龐加萊定理
2. 同調與上同調
習題
第十六章 一緻收斂性、函數項級數與函數族的基本運算
§1. 逐點收斂性與一緻收斂性
1. 逐點收斂性
2. 基本問題的提法
3. 依賴於參數的函數族的收斂性和一緻收斂性
4. 一緻收斂性的柯西準則
習題
§2. 函數項級數的一緻收斂性
1. 級數一緻收斂性的基本定義和判彆準則
2. 級數一緻收斂性的魏爾斯特拉斯檢驗法
3. 阿貝爾–狄利剋雷檢驗法
習題
§3. 極限函數的函數性質
1. 問題的具體提法
2. 兩個極限運算可交換的條件
3. 連續性與極限運算
4. 積分運算與極限運算
5. 微分運算與極限運算
習題
*§4. 連續函數空間的緊子集和稠密子集
1. 阿爾澤拉–阿斯柯利定理
2. 度量空間C(K,Y )
3. 斯通定理
習題
第十七章 含參變量的積分
§1. 含參變量的常義積分
1. 含參變量的積分的概念
2. 含參變量的積分的連續性
3. 含參變量的積分的微分運算
4. 含參變量的積分的積分運算
習題
§2. 含參變量的反常積分
1. 反常積分對參變量的一緻收斂性
2. 反常積分中的極限運算與含參變量的反常積分的連續性
3. 含參變量的反常積分的微分運算
4. 含參變量的反常積分的積分運算
習題
§3. 歐拉積分
1. β函數
2. Γ函數
3. β函數與Γ函數之間的聯係
4. 實例
習題
§4. 函數的捲積和廣義函數的初步知識
1. 物理問題中的捲積(啓發式討論)
2. 捲積的一些一般性質
3. δ 型函數族與魏爾斯特拉斯逼近定理
*4. 分布的初步概念
習題
§5. 含參變量的重積分
1. 含參變量的常義重積分
2. 含參變量的反常重積分
3. 具有變奇異性的反常積分
*4. 高維情形下的捲積、廣義函數和基本解
習題
第十八章 傅裏葉級數與傅裏葉變換
§1. 與傅裏葉級數有關的一些主要的一般概念
1. 正交函數係
2. 傅裏葉係數和傅裏葉級數
*3. 數學分析中的正交函數係的一個重要來源
習題
§2. 傅裏葉三角級數
1. 經典傅裏葉級數收斂性的基本形式
2. 傅裏葉三角級數逐點收斂性的研究
3. 函數的光滑性和傅裏葉係數的下降速度
4. 三角函數係的完備性
習題
§3. 傅裏葉變換
1. 函數的傅裏葉積分錶達式
2. 函數的微分性質和漸近性質與它的傅裏葉變換之間的相互關係
3. 傅裏葉變換的最重要的運算性質
4. 應用實例
習題
第十九章 漸近展開式
§1. 漸近公式和漸近級數
1. 基本定義
2. 漸近級數的一般知識
3. 漸近冪級數
習題
§2. 積分的漸近法(拉普拉斯方法)
1. 拉普拉斯方法的思路
2. 拉普拉斯積分的局部化原理
3. 一些典型積分和它們的漸近式
4. 拉普拉斯積分的漸近式主項
*5. 拉普拉斯積分的漸近展開式
習題
單元測試題
考試大綱
期末考試試題
期中測試題
附錄一初論級數工具
附錄二多重積分中的變量代換(公式推導和初步討論)
附錄三高維幾何學與自變量極多的函數(測度聚集與大數定律)
附錄四多元函數與微分形式及其熱力學解釋
附錄五麯綫坐標係中的場論算子
附錄六現代牛頓{萊布尼茨公式與數學的統一(總結)
參考文獻
基本符號
名詞索引
人名譯名對照錶
譯後記
· · · · · · (收起)
讀後感
評分
評分
評分
評分
用戶評價
這本經典的分析教材，在我看來，其價值在於提供瞭一種“數學傢視角”下的分析學構建體係。它不像一些應用導嚮的教材那樣，早早地將重點放在數值計算或工程應用上，而是堅定地紮根於實數係統、度量空間以及函數空間的最基本公理。這種堅守使得讀者在麵對後續更高級的數學分支（比如拓撲學、調和分析）時，能夠擁有一個無比牢固的基礎平颱。我尤其欣賞作者在處理拓撲結構和度量空間這一部分時的處理方式，概念的引入並非突兀，而是自然地從歐幾裏得空間中的極限概念泛化而來，使得抽象的定義有瞭清晰的“前身”。書中對完備性、緊緻性的探討非常深入，這些性質在分析學中扮演著核心角色，而這本書將這些概念的內涵和外延解釋得非常到位。對我個人而言，它幫助我完成瞭從“會做題”到“理解數學結構”的飛躍。閱讀這本書的過程，與其說是學習知識，不如說是參與瞭一場嚴密的智力構建活動，充滿瞭挑戰，但也帶來瞭極大的心智上的滿足感。
评分這本書最大的魅力在於其優雅的敘事結構和對數學美學的展現。分析學本身就是數學中最富有“美感”的分支之一，而作者似乎深諳此道，他不僅在證明定理，更是在闡述一種看待世界的方式。書中對級數理論的闡述，特彆是對冪級數和函數項級數一緻收斂性的討論，處理得極其精細，避免瞭在常規微積分教材中經常齣現的，將“可交換性”武斷地應用於無限和的陷阱。作者在每一個環節都強調瞭基礎假設的重要性，教會讀者在何時可以使用交換求和/積分的技巧。此外，書中對反常積分的講解，也擺脫瞭高中階段的直觀理解，轉而從廣義積分（如狄利剋雷積分的推廣）的角度進行係統性的考察，使得分析的疆域得到瞭極大的拓展。對於我這樣對純數學抱有濃厚興趣的讀者來說，這本書提供瞭一種超越解題本身的體驗——它讓你體會到數學語言的精確和理論體係的和諧統一。
评分說實話，這本《數學分析（第二捲）》的閱讀體驗，**極其需要**耐心和毅力，它絕非那種可以輕鬆“翻閱”的書籍。如果你是期望快速掌握幾個公式就能上戰場的讀者，這本書可能會讓你感到挫敗。但如果你是真心想在數學分析領域深耕，那麼它提供的深度是其他很多教材無法比擬的。書中的行文風格是高度凝練的，每一個句子都可能承載著重要的數學信息，需要反復咀嚼纔能完全消化。我個人習慣的做法是，在閱讀每一個新的章節之前，都會迴顧一下前一章的結論，因為作者非常善於利用已有的結構來構建新的理論大廈。例如，書中對傅裏葉級數展開的討論，並非簡單地停留在級數收斂性的判定上，而是深入探討瞭其在不同函數空間下的最佳逼近性質，這已經觸及到泛函分析的門檻瞭。這種由淺入深、步步為營的深度挖掘，確保瞭讀者構建的知識網絡是立體而非平麵的。這本書更像是一份需要“啃”的硬骨頭，但一旦啃下來，其帶來的學術營養是無與倫比的。
评分這本書簡直是高等數學學習者的“武功秘籍”！我記得大三那會兒，初次接觸實數分析的嚴密證明時，腦袋裏一團漿糊。以前高中學的那些計算技巧，在這裏完全不夠用，感覺就像突然從練氣期飛升到瞭化神期，功法完全變瞭。這本書的敘述方式非常清晰，它不是那種冷冰冰的公式堆砌，而是像一位經驗豐富的老教授，帶著你一步步拆解那些看似玄奧的概念。比如講到一緻收斂性時，作者沒有直接拋齣 $epsilon-delta$ 語言的復雜定義，而是先用直觀的例子解釋瞭“為什麼需要一緻收斂”，以及它和點態收斂的區彆，這種循序漸進的引導，極大地降低瞭理解難度。我印象特彆深刻的是關於勒貝格積分那幾章，內容非常深入，但講解的邏輯鏈條卻異常穩固，即便是初次接觸測度論的讀者，也能沿著作者的思路構建起完整的知識框架。這本書的習題設計也極其巧妙，難度梯度控製得非常好，前半部分的例題能鞏固基礎概念，後半部分的挑戰性習題則能真正鍛煉思維的靈活性和對理論的深刻把握。可以說，這本書陪伴我度過瞭最艱難的理論學習階段，讓原本枯燥的數學理論變得有瞭“人情味”。
评分讀完這套書的第二捲，我最大的感受是，它徹底重塑瞭我對“嚴謹”二字的理解。在很多教材中，對某些關鍵定理的證明往往會采取一種“跳躍式”的處理方式，讀者需要自行腦補中間的邏輯斷層。然而，這本《數學分析（第二捲）》完全不同，它對每一個定理的證明都力求詳盡無遺，每一個步驟的推導都建立在前一個結論之上，邏輯上的無懈可擊讓人不得不佩服作者在組織內容上的匠心。特彆是涉及到泛函分析的邊緣概念時，作者沒有迴避復雜性，而是通過引入閤適的背景知識和輔助引理，將復雜的分析工具係統地鋪展開來。舉個例子，在處理黎曼-斯蒂爾切斯積分到勒貝格積分的過渡時，那種精妙的構造和論證過程，讓人感覺仿佛在欣賞一件完美的數學藝術品。我過去經常遇到那種“看懂瞭定義，但寫不齣證明”的尷尬境地，但自從開始使用這本書進行係統學習後，我發現自己看問題的角度都變瞭——不再滿足於“知道是什麼”，而是追問“為什麼是這樣，還能怎樣發展”。這本書的價值，遠超於一本考試參考書，它更像是一份紮實的學術素養的培養手冊。
评分例子十分豐富，或許不是那麼適閤當教材，但當參考書是絕對閤適的
评分隻能說還好俺當初不是A班。
评分讀過卓裏奇《數學分析》的第二捲，纔恍然有種修仙築基成功的感覺。度量空間、微分形式、嚮量分析、δ函數族、Weierstrass逼近、函數係，從這些更高的角度，終於有瞭一些關於這個分支究竟在做什麼的體悟。
评分物理應用非常豐富，包含瞭流形上的微積分的內容，但是缺少勒貝格積分的內容，仍然值5分！
评分物理應用非常豐富，包含瞭流形上的微積分的內容，但是缺少勒貝格積分的內容，仍然值5分！
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