具体描述
本书是作者在莫斯科大学力学数学系多遍讲授数学分析课程的基础上写成的，自1981年第1版出版以来，到2015年已经修订、增补至第7版。作者加强了分析学、代数学和几何学等现代数学课程之间的联系，重点关注一般数学中最有本质意义的概念和方法，采用适当接近现代数学文献的语言进行叙述，在保持数学一般理论叙述严谨性的同时，也尽量体现数学在自然科学中的各种应用。
全书共两卷，第二卷内容包括：连续映射的一般理论、赋范空间中的微分学、重积分、中的曲面和微分形式、曲线积分与曲面积分、向量分析与场论、微分形式在流形上的积分、级数和含参变量的函数族的一致收敛性和基本运算、含参变量的积分、傅里叶级数与傅里叶变换、渐近展开式。
与常见的数学分析教材相比，本卷内容相当新颖，系统地引进了现代数学（包括泛函分析、拓扑学和现代微分几何等）的基本概念、思想和方法，用微分形式语言对基本积分公式的叙述特别具有参考价值，有关应用的内容也更加贴近现代自然科学。
本书观点较高，内容丰富新颖，所选习题极具特色，是教材理论部分的有益补充。本书可作为综合大学和师范大学数学、物理、力学及相关专业的教师和学生的教材或主要参考书，也可供工科大学应用数学专业的教师和学生参考使用。
作者简介
目录信息
中文版序言
再版序言
第1版序言
*第九章 连续映射(一般理论)
§1. 度量空间
1. 定义和实例
2. 度量空间的开子集和闭子集
3. 度量空间的子空间
4. 度量空间的直积
习题
§2. 拓扑空间
1. 基本定义
2. 拓扑空间的子空间
3. 拓扑空间的直积
习题
§3. 紧集
1. 紧集的定义和一般性质
2. 度量紧集
习题
§4. 连通的拓扑空间
习题
§5. 完备度量空间
1. 基本定义和实例
2. 度量空间的完备化
习题
§6. 拓扑空间的连续映射
1. 映射的极限
2. 连续映射
习题
§7. 压缩映射原理
习题
*第十章 更一般观点下的微分学(一般理论)
§1. 线性赋范空间
1. 数学分析中线性空间的实例
2. 线性空间中的范数
3. 向量空间中的标量积
习题
§2. 线性算子和多重线性算子
1. 定义和实例
2. 算子的范数
3. 连续算子空间
习题
§3. 映射的微分
1. 在一点可微的映射
2. 一般的微分法则
3. 某些实例
4. 映射的偏导数
习题
§4. 有限增量定理及其应用实例
1. 有限增量定理
2. 有限增量定理的应用实例
习题
§5. 高阶导映射
1. n 阶微分的定义
2. 沿向量的导数和n 阶微分的计算
3. 高阶微分的对称性
4. 附注
习题
§6. 泰勒公式和极值研究
1. 映射的泰勒公式
2. 内部极值研究
3. 实例
习题
§7. 一般的隐函数定理
习题
第十一章 重积分
§1. n 维区间上的黎曼积分
1. 积分的定义
2. 黎曼可积函数的勒贝格准则
3. 达布准则
习题
§2. 集合上的积分
1. 容许集
2. 集合上的积分
3. 容许集的测度(体积)
习题
§3. 积分的一般性质
1. 积分是线性泛函
2. 积分的可加性
3. 积分的估计
习题
§4. 重积分化为累次积分
1. 富比尼定理
2. 一些推论
习题
§5. 重积分中的变量代换
1. 问题的提出和变量代换公式的启发式推导
2. 可测集和光滑映射
3. 一维情况
4. Rn中最简微分同胚的情况
5. 映射的复合与变量代换公式
6. 积分的可加性和积分中变量代换公式的最终证明
7. 重积分中变量代换公式的一些推论和推广
习题
§6. 反常重积分
1. 基本定义
2. 反常积分收敛性的比较检验法
3. 反常积分中的变量代换
习题
第十二章 Rn中的曲面和微分形式
§1. Rn中的曲面
习题
§2. 曲面的定向
习题
§3. 曲面的边界及边界的定向
1. 带边曲面
2. 曲面定向与边界定向的相容性
习题
§4. 欧氏空间中曲面的面积
习题
§5. 微分形式的初步知识
1. 微分形式的定义和实例
2. 微分形式的坐标记法
3. 外微分形式
4. 向量和微分形式在映射下的转移
5. 曲面上的微分形式
习题
第十三章 曲线积分与曲面积分
§1. 微分形式的积分
1. 原始问题、启发性思考和实例
2. 微分形式在定向曲面上的积分的定义
习题
§2. 体形式, 第一类积分与第二类积分
1. 物质面的质量
2. 曲面面积是微分形式的积分
3. 体形式
4.体形式在笛卡儿坐标下的表达式
5. 第一类积分与第二类积分
习题
§3. 数学分析的基本积分公式
1. 格林公式
2. 高斯–奥斯特洛格拉德斯基公式
3. R3 中的斯托克斯公式
4. 一般的斯托克斯公式
习题
第十四章 向量分析与场论初步
§1. 向量分析的微分运算
1. 标量场与向量场
2. R3 中的向量场与各种形式
3. 微分算子grad,rot, div 和∇
4. 向量分析的一些微分公式
*5. 曲线坐标下的向量运算
习题
§2. 场论的积分公式
1. 用向量表示的经典积分公式
2. div, rot, grad 的物理解释
3. 后续的某些积分公式
习题
§3. 势场
1. 向量场的势
2. 势场的必要条件
3. 向量场是势场的准则
4. 区域的拓扑结构与势
5. 向量势, 恰当微分形式与闭微分形式
习题
§4. 应用实例
1. 热传导方程
2. 连续性方程
3. 连续介质动力学基本方程
4. 波动方程
习题
*第十五章 微分形式在流形上的积分
§1. 线性代数回顾
1. 形式代数
2. 斜对称形式代数
3. 线性空间的线性映射和对偶空间的对偶映射
习题
§2. 流形
1. 流形的定义
2. 光滑流形与光滑映射
3. 流形及其边界的定向
4. 单位分解和流形在Rn 中的曲面形式
习题
§3. 微分形式及其在流形上的积分
1. 流形在一个点的切空间
2. 流形上的微分形式
3. 外微分
4. 微分形式在流形上的积分
5. 斯托克斯公式
习题
§4. 流形上的闭微分形式和恰当微分形式
1. 庞加莱定理
2. 同调与上同调
习题
第十六章 一致收敛性、函数项级数与函数族的基本运算
§1. 逐点收敛性与一致收敛性
1. 逐点收敛性
2. 基本问题的提法
3. 依赖于参数的函数族的收敛性和一致收敛性
4. 一致收敛性的柯西准则
习题
§2. 函数项级数的一致收敛性
1. 级数一致收敛性的基本定义和判别准则
2. 级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯检验法
3. 阿贝尔–狄利克雷检验法
习题
§3. 极限函数的函数性质
1. 问题的具体提法
2. 两个极限运算可交换的条件
3. 连续性与极限运算
4. 积分运算与极限运算
5. 微分运算与极限运算
习题
*§4. 连续函数空间的紧子集和稠密子集
1. 阿尔泽拉–阿斯柯利定理
2. 度量空间C(K,Y )
3. 斯通定理
习题
第十七章 含参变量的积分
§1. 含参变量的常义积分
1. 含参变量的积分的概念
2. 含参变量的积分的连续性
3. 含参变量的积分的微分运算
4. 含参变量的积分的积分运算
习题
§2. 含参变量的反常积分
1. 反常积分对参变量的一致收敛性
2. 反常积分中的极限运算与含参变量的反常积分的连续性
3. 含参变量的反常积分的微分运算
4. 含参变量的反常积分的积分运算
习题
§3. 欧拉积分
1. β函数
2. Γ函数
3. β函数与Γ函数之间的联系
4. 实例
习题
§4. 函数的卷积和广义函数的初步知识
1. 物理问题中的卷积(启发式讨论)
2. 卷积的一些一般性质
3. δ 型函数族与魏尔斯特拉斯逼近定理
*4. 分布的初步概念
习题
§5. 含参变量的重积分
1. 含参变量的常义重积分
2. 含参变量的反常重积分
3. 具有变奇异性的反常积分
*4. 高维情形下的卷积、广义函数和基本解
习题
第十八章 傅里叶级数与傅里叶变换
§1. 与傅里叶级数有关的一些主要的一般概念
1. 正交函数系
2. 傅里叶系数和傅里叶级数
*3. 数学分析中的正交函数系的一个重要来源
习题
§2. 傅里叶三角级数
1. 经典傅里叶级数收敛性的基本形式
2. 傅里叶三角级数逐点收敛性的研究
3. 函数的光滑性和傅里叶系数的下降速度
4. 三角函数系的完备性
习题
§3. 傅里叶变换
1. 函数的傅里叶积分表达式
2. 函数的微分性质和渐近性质与它的傅里叶变换之间的相互关系
3. 傅里叶变换的最重要的运算性质
4. 应用实例
习题
第十九章 渐近展开式
§1. 渐近公式和渐近级数
1. 基本定义
2. 渐近级数的一般知识
3. 渐近幂级数
习题
§2. 积分的渐近法(拉普拉斯方法)
1. 拉普拉斯方法的思路
2. 拉普拉斯积分的局部化原理
3. 一些典型积分和它们的渐近式
4. 拉普拉斯积分的渐近式主项
*5. 拉普拉斯积分的渐近展开式
习题
单元测试题
考试大纲
期末考试试题
期中测试题
附录一初论级数工具
附录二多重积分中的变量代换(公式推导和初步讨论)
附录三高维几何学与自变量极多的函数(测度聚集与大数定律)
附录四多元函数与微分形式及其热力学解释
附录五曲线坐标系中的场论算子
附录六现代牛顿{莱布尼茨公式与数学的统一(总结)
参考文献
基本符号
名词索引
人名译名对照表
译后记
· · · · · · (收起)
读后感
用户评价
这本书简直是高等数学学习者的“武功秘籍”！我记得大三那会儿，初次接触实数分析的严密证明时，脑袋里一团浆糊。以前高中学的那些计算技巧，在这里完全不够用，感觉就像突然从练气期飞升到了化神期，功法完全变了。这本书的叙述方式非常清晰，它不是那种冷冰冰的公式堆砌，而是像一位经验丰富的老教授，带着你一步步拆解那些看似玄奥的概念。比如讲到一致收敛性时，作者没有直接抛出 $epsilon-delta$ 语言的复杂定义，而是先用直观的例子解释了“为什么需要一致收敛”，以及它和点态收敛的区别，这种循序渐进的引导，极大地降低了理解难度。我印象特别深刻的是关于勒贝格积分那几章，内容非常深入，但讲解的逻辑链条却异常稳固，即便是初次接触测度论的读者，也能沿着作者的思路构建起完整的知识框架。这本书的习题设计也极其巧妙，难度梯度控制得非常好，前半部分的例题能巩固基础概念，后半部分的挑战性习题则能真正锻炼思维的灵活性和对理论的深刻把握。可以说，这本书陪伴我度过了最艰难的理论学习阶段，让原本枯燥的数学理论变得有了“人情味”。
这本经典的分析教材，在我看来，其价值在于提供了一种“数学家视角”下的分析学构建体系。它不像一些应用导向的教材那样，早早地将重点放在数值计算或工程应用上，而是坚定地扎根于实数系统、度量空间以及函数空间的最基本公理。这种坚守使得读者在面对后续更高级的数学分支（比如拓扑学、调和分析）时，能够拥有一个无比牢固的基础平台。我尤其欣赏作者在处理拓扑结构和度量空间这一部分时的处理方式，概念的引入并非突兀，而是自然地从欧几里得空间中的极限概念泛化而来，使得抽象的定义有了清晰的“前身”。书中对完备性、紧致性的探讨非常深入，这些性质在分析学中扮演着核心角色，而这本书将这些概念的内涵和外延解释得非常到位。对我个人而言，它帮助我完成了从“会做题”到“理解数学结构”的飞跃。阅读这本书的过程，与其说是学习知识，不如说是参与了一场严密的智力构建活动，充满了挑战，但也带来了极大的心智上的满足感。
读完这套书的第二卷，我最大的感受是，它彻底重塑了我对“严谨”二字的理解。在很多教材中，对某些关键定理的证明往往会采取一种“跳跃式”的处理方式，读者需要自行脑补中间的逻辑断层。然而，这本《数学分析（第二卷）》完全不同，它对每一个定理的证明都力求详尽无遗，每一个步骤的推导都建立在前一个结论之上，逻辑上的无懈可击让人不得不佩服作者在组织内容上的匠心。特别是涉及到泛函分析的边缘概念时，作者没有回避复杂性，而是通过引入合适的背景知识和辅助引理，将复杂的分析工具系统地铺展开来。举个例子，在处理黎曼-斯蒂尔切斯积分到勒贝格积分的过渡时，那种精妙的构造和论证过程，让人感觉仿佛在欣赏一件完美的数学艺术品。我过去经常遇到那种“看懂了定义，但写不出证明”的尴尬境地，但自从开始使用这本书进行系统学习后，我发现自己看问题的角度都变了——不再满足于“知道是什么”，而是追问“为什么是这样，还能怎样发展”。这本书的价值，远超于一本考试参考书，它更像是一份扎实的学术素养的培养手册。
这本书最大的魅力在于其优雅的叙事结构和对数学美学的展现。分析学本身就是数学中最富有“美感”的分支之一，而作者似乎深谙此道，他不仅在证明定理，更是在阐述一种看待世界的方式。书中对级数理论的阐述，特别是对幂级数和函数项级数一致收敛性的讨论，处理得极其精细，避免了在常规微积分教材中经常出现的，将“可交换性”武断地应用于无限和的陷阱。作者在每一个环节都强调了基础假设的重要性，教会读者在何时可以使用交换求和/积分的技巧。此外，书中对反常积分的讲解，也摆脱了高中阶段的直观理解，转而从广义积分（如狄利克雷积分的推广）的角度进行系统性的考察，使得分析的疆域得到了极大的拓展。对于我这样对纯数学抱有浓厚兴趣的读者来说，这本书提供了一种超越解题本身的体验——它让你体会到数学语言的精确和理论体系的和谐统一。
说实话，这本《数学分析（第二卷）》的阅读体验，**极其需要**耐心和毅力，它绝非那种可以轻松“翻阅”的书籍。如果你是期望快速掌握几个公式就能上战场的读者，这本书可能会让你感到挫败。但如果你是真心想在数学分析领域深耕，那么它提供的深度是其他很多教材无法比拟的。书中的行文风格是高度凝练的，每一个句子都可能承载着重要的数学信息，需要反复咀嚼才能完全消化。我个人习惯的做法是，在阅读每一个新的章节之前，都会回顾一下前一章的结论，因为作者非常善于利用已有的结构来构建新的理论大厦。例如，书中对傅里叶级数展开的讨论，并非简单地停留在级数收敛性的判定上，而是深入探讨了其在不同函数空间下的最佳逼近性质，这已经触及到泛函分析的门槛了。这种由浅入深、步步为营的深度挖掘，确保了读者构建的知识网络是立体而非平面的。这本书更像是一份需要“啃”的硬骨头，但一旦啃下来，其带来的学术营养是无与伦比的。
读过卓里奇《数学分析》的第二卷，才恍然有种修仙筑基成功的感觉。度量空间、微分形式、向量分析、δ函数族、Weierstrass逼近、函数系，从这些更高的角度，终于有了一些关于这个分支究竟在做什么的体悟。
物理应用非常丰富，包含了流形上的微积分的内容，但是缺少勒贝格积分的内容，仍然值5分！
例子十分丰富，或许不是那么适合当教材，但当参考书是绝对合适的
读过卓里奇《数学分析》的第二卷，才恍然有种修仙筑基成功的感觉。度量空间、微分形式、向量分析、δ函数族、Weierstrass逼近、函数系，从这些更高的角度，终于有了一些关于这个分支究竟在做什么的体悟。
我们在接近本质
