线性代数题型综合解析与方法指导 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:国防工业出版社（图书发行部）（新时代出版社）

作者:梁晓毅,白云霄

出品人:

页数:194

译者:

出版时间:2008-1

价格:20.00元

装帧:

isbn号码:9787118054002

丛书系列:

图书标签:

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《几何视角下的数学变换》 本书旨在带领读者以几何的直观理解，深入探索数学的核心概念。我们摒弃枯燥的符号推演，转而聚焦于那些能够被我们视觉化、空间化的数学原理。通过丰富的几何图像和生动的类比，本书将抽象的数学概念转化为鲜活的空间关系，让学习者在“看见”数学的过程中，建立起深刻的理解。 第一部分：空间中的线性之美 本部分将从二维平面和三维空间出发，深入剖析线性代数中的基本概念。 向量：空间中的“指示针” 我们将向量视为具有大小和方向的“指示针”，它能精确地描述空间中的任何位置或运动。读者将学习如何理解向量的加减运算——这如同将两个“指示针”首尾相连，得到新的指向。标量乘法则被描绘为“指示针”的伸缩，其长度或方向如何随之改变。点积（内积）被赋予了“投影”的几何意义，它揭示了两个向量在彼此方向上的“重合度”或“相似性”。叉积（外积）则在三维空间中引入了“垂直”的概念，它生成一个与原两个向量都垂直的新向量，其大小与平行四边形的面积相关。 线性组合与张成：空间的“构建积木” 线性组合被形象地比作用不同比例的“指示针”组合出新的“指示针”，而这些新“指示针”的端点则构成了由原始“指示针”所“张成”的空间。我们将在二维平面上演示如何用两个不共线的向量张成整个平面，在三维空间中，三个不共面的向量则能张成整个三维空间。读者将体会到，一个空间的“维度”与其“独立”的“构建积木”（基向量）的数量直接相关。 线性变换：空间的“魔术师” 线性变换被视为一种能够保持直线和原点不变的空间“魔术”。它能将一个空间内的点或图形“扭曲”、“拉伸”、“旋转”或“映射”到另一个空间。本书将通过旋转、缩放、剪切等几何变换，直观地展现矩阵如何作为“魔术脚本”，精确地描述这些空间操作。例如，一个旋转矩阵如何让二维平面上的所有点围绕原点旋转特定的角度，一个缩放矩阵如何让物体在不同方向上拉伸或压缩。 矩阵：变换的“操作手册” 矩阵被重新解读为描述线性变换的“操作手册”。矩阵的乘法不再是抽象的符号运算，而是“变换的复合”，即一个变换接着执行另一个变换。本书将演示如何通过矩阵乘法来理解连续的几何变换，例如先旋转再缩放，其最终效果对应于两个变换矩阵的乘积。矩阵的“行空间”和“列空间”被赋予了“变换后的输出空间”的几何意义，而矩阵的“秩”则反映了变换能够“压缩”或“保留”的空间维度。 第二部分：洞察矩阵深处的几何奥秘 本部分将深入探索矩阵的内在结构和性质，揭示其背后的几何含义。 行列式：空间的“缩放因子” 行列式被视为线性变换在空间中的“面积”或“体积”缩放因子。在一维空间中，它代表了区间的长度伸缩；在二维平面中，它表示由矩阵作用于单位正方形后形成的平行四边形的面积；在三维空间中，它则代表了单位立方体变换后形成的平行六面体的体积。行列式为零意味着变换会将空间压缩到更低的维度，例如将二维平面压缩成一条直线。 逆矩阵：撤销“魔术”的“解药” 逆矩阵被看作是能够撤销原有线性变换的“解药”。如果一个矩阵代表了将点A变换到点B，那么其逆矩阵就能将点B还原回点A。本书将通过几何上的“反向操作”，直观地理解逆矩阵的存在条件（即矩阵的行列式不为零）以及求逆矩阵的方法。 特征值与特征向量：空间的“不变轴” 特征向量被视为在线性变换中方向保持不变的“不变轴”，而对应的特征值则表示这些“不变轴”上的向量在变换过程中被拉伸或压缩的比例。本书将通过几何图像，展示如何找到这些“不变轴”，并理解它们在线性代数中的重要性。它们揭示了变换的核心“运动方向”和“运动强度”。 特征值分解（对角化）： 当一个矩阵拥有充足的线性无关的特征向量时，我们可以将其分解为一系列的“尺度变换”和“基向量旋转”，这使得理解复杂的线性变换变得异常简单。 奇异值分解（SVD）：跨越空间的“桥梁” 奇异值分解（SVD）被介绍为一种强大的工具，它能够将任何矩阵（即使是非方阵）分解成三个更简单的矩阵的乘积。从几何上看，SVD揭示了一个线性变换可以将一个空间映射到另一个空间，并且这个映射可以被分解为一次“旋转”（或镜像）、一次“尺度变换”以及另一次“旋转”（或镜像）。它揭示了矩阵压缩或扩展信息的能力，在数据分析和降维中扮演着至关重要的角色。 第三部分：线性代数在现实世界中的几何投影 本部分将引导读者将所学的几何视角下的线性代数知识，应用于解决实际问题。 计算机图形学中的几何变换： 讲解如何利用矩阵和向量来表示和操作三维模型，实现相机的移动、物体的旋转、缩放以及投影到二维屏幕上，让读者看到线性代数如何驱动我们所见的虚拟世界。 数据分析与机器学习中的几何解读： 主成分分析（PCA）： 将PCA理解为寻找数据分布中最主要的“几何方向”（特征向量），并沿这些方向“投影”数据以实现降维，保留最重要的信息。 支持向量机（SVM）： 将SVM的决策边界理解为在高维空间中寻找一个“超平面”，以最大化不同类别数据点到该平面的“几何间隔”。 物理学与工程学中的应用： 简要介绍线性代数在描述物理系统（如电路、力学系统）中的作用，将其中的变量关系理解为向量和矩阵之间的线性依赖。 通过本书的学习，读者将不再视线性代数为一堆抽象的符号和公式，而是能够将其理解为一套描述空间、变换和结构的强大几何语言。这种几何的直观性将极大地加深读者对数学本质的理解，并为其解决更广泛的数学和实际问题打下坚实的基础。

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阅读体验中的一个显著优点是其对“历史脉络”与“现代应用”的穿插叙述处理得极其自然流畅。每当引入一个重要定理或概念时，作者总会用一小段精炼的文字，简要勾勒出该理论在数学史上的地位和发展历程，比如它在欧几里得几何向解析几何过渡中的关键作用，或者它在量子力学、机器学习等现代科学中的基石地位。这种宏观的视角，使得读者在学习具体运算技巧的同时，不会迷失在纯粹的计算迷雾中，而是能时刻感受到自己所掌握的工具是如何一步步演化而来，以及它们在当代科技中扮演的“隐形引擎”角色。这种知其然，更知其所以然的教学设计，极大地提升了学习的深度和持久的兴趣，让原本可能被视为古董理论的知识焕发出新的生命力。

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从实用性角度来看，这本书对学习者友好的程度几乎达到了极致。书中对于每一个核心概念的解释都配备了至少三种不同深度的阐述：一种是面向直觉理解的形象描述，第二种是严谨的符号化定义，第三种则是针对计算和应用层面的操作指南。这种“三层递进”的讲解方式，完美地兼顾了零基础入门者、需要深入理解的进阶者以及侧重应用和考试的群体。尤其是在例题的选择上，它们不仅仅是简单的习题，而是精心挑选过的、能够体现出该知识点“精髓”的代表性案例，并且每道例题的解答步骤都详略得当，详尽到足以让自学者跟上，又不至于因为过多的赘述而拖沓。对于那些需要在有限时间内高效掌握知识体系的读者来说，这种高度凝练且极富针对性的内容组织，无疑是最高效的学习路径图。

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这本书在知识的组织结构上体现出极高的智慧，它没有采用传统的“先定义、后定理、再例题”的线性展开模式，而是构建了一个多维度的学习网络。它似乎更侧重于“问题导向”和“方法论”的构建。开篇并非直接陷入繁琐的定义堆砌，而是从几个经典的、具有实际背景的数学难题入手，反向推导出所需的基础理论和工具。这种倒置的结构迫使读者在初始阶段就带着明确的目标去学习，使得每一个定义和定理的引入都显得水到渠成，目的明确。此外，书中对于不同解题流派和思维路径的并列讨论，尤其精彩，它清晰地展示了同一问题可以有多条有效路径抵达终点，每条路径都有其独特的优势和适用场景，这对于培养灵活的数学思维和批判性选择解题策略的能力，是无价的财富。

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这本书的排版和装帧设计简直是一场视觉盛宴，拿在手里就能感受到一种沉甸甸的专业气息。扉页和目录的设计巧妙地融入了现代几何图形的元素，色彩搭配既沉稳又不失活力，让人在翻阅学习资料时也能享受到一种审美的愉悦。尤其值得称赞的是，书中对公式和定理的呈现方式，采用了多种字体和排版技巧，使得复杂的数学表达式看起来清晰明了，逻辑关系一目了然。作者在处理图示方面更是独具匠心，那些用于解释向量空间和线性变换的插图，不仅仅是简单的示意图，更像是精心绘制的艺术品，通过色彩的深浅变化和透视的运用，将抽象的概念具象化，极大地降低了初学者的理解门槛。随书附带的思维导图和知识树状图，更是将庞大的知识体系梳理得井井有条，使得复习回顾时能迅速抓住核心脉络，真正做到了将知识的“骨架”清晰地呈现出来。这不仅仅是一本工具书，更像是一件装帧精美的艺术品，让人爱不释手，也更愿意沉下心来投入学习。

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我必须得说，这本书的语言风格和叙事逻辑让人耳目一新，完全颠覆了我对传统数学教材那种刻板、枯燥的印象。作者似乎是一位拥有深厚学术功底却又不失幽默感的智者，他用一种近乎对话的口吻，引导读者探索那些深奥的线性代数概念。行文中不乏精妙的比喻，比如将矩阵乘法比作不同生产线上零件的精密装配，将特征值和特征向量的求解过程描述为系统内在“稳定模式”的挖掘，这些生动的类比立刻将我从纯粹的符号运算中拉了出来，让我开始思考背后的物理或几何意义。更棒的是，作者在关键转折点处的引导性提问非常到位，总能在读者即将感到困惑时及时给出启发性的思考方向，而不是直接丢出结论，这种亦师亦友的教学方式，极大地增强了阅读的互动性和参与感，让枯燥的理论学习过程变得富有探索的乐趣。

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写得非常详细，题目也非常典型。

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