The Isomorphism Problem in Coxeter Groups pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Bahls, Patrick

出品人:

页数:176

译者:

出版时间:2005-3

价格:$ 89.00

装帧:HRD

isbn号码:9781860945540

丛书系列:

图书标签:

Coxeter groups
Isomorphism problem
Group theory
Algebraic combinatorics
Geometric group theory
Representation theory
Mathematical monographs
Abstract algebra
Combinatorial group theory
Group presentations

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具体描述

The book is the first to give a comprehensive overview of the techniques and tools currently being used in the study of combinatorial problems in Coxeter groups. It is self-contained, and accessible even to advanced undergraduate students of mathematics. The primary purpose of the book is to highlight approximations to the difficult isomorphism problem in Coxeter groups. A number of theorems relating to this problem are stated and proven. Most of the results addressed here concern conditions which can be seen as varying degrees of uniqueness of representations of Coxeter groups. Throughout the investigation, the readers are introduced to a large number of tools in the theory of Coxeter groups, drawn from dozens of recent articles by prominent researchers in geometric and combinatorial group theory, among other fields. As the central problem of the book may in fact be solved soon, the book aims to go further, providing the readers with many techniques that can be used to answer more general questions. The readers are challenged to practice those techniques by solving exercises, a list of which concludes each chapter.

几何、对称与代数结构的交汇：深入探讨布尔代数与有限群论图书简介：本书旨在为读者提供一个关于布尔代数、有限群论及其在离散数学与计算机科学中应用的全面而深入的探讨。不同于侧重于特定几何结构或李群理论的经典著作，本书将聚焦于这些代数结构在信息处理、逻辑推理以及组合优化问题中的核心地位。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在帮助读者建立起对这些基本数学工具的深刻理解，并掌握其在解决实际问题中的应用能力。本书的叙事线索围绕着两个核心支柱展开：布尔代数（Boolean Algebra）作为形式逻辑与集合操作的基石，以及有限群论（Finite Group Theory）作为对称性与结构转换的代数框架。我们力求在介绍理论概念的同时，充分展现其在现代科学中的现实意义。第一部分：布尔代数的逻辑与代数基础第一部分将系统地回顾和深化读者对布尔代数的理解。我们从布尔代数的公理化定义出发，详细阐述了其与集合论中代数运算（并、交、补）的同构性。重点将放在Stone表示定理的直观阐释及其在拓扑空间构建中的作用，而非仅仅停留在抽象的代数定义上。我们将深入探讨最小化和化简逻辑表达式的方法。这部分内容不仅包括经典的卡诺图（Karnaugh Maps）和Quine-McCluskey算法，还将引入基于格论（Lattice Theory）视角下的代数方法，探讨如何从结构上保证所得表达式的最小性。读者将学习到，布尔代数不仅是数字电路设计的基础，也是理解关系数据库查询优化和形式验证过程的关键。此外，本书专门开辟一章讨论布尔函数的可计算性与复杂度。我们将分析布尔可满足性问题（SAT）的本质，介绍 NP-完全性在布尔逻辑中的体现，并讨论如何利用布尔公式来建模和解决优化问题，例如利用2-SAT的线性时间可解性来识别特定约束集的可行性。第二部分：有限群论的核心概念与结构第二部分转向代数的核心——有限群论。我们不会过分纠缠于无限群的复杂性，而是专注于在有限设置下，对称性如何被精确地捕捉和分析。本书从群的基本定义——封闭性、结合律、单位元和逆元——开始，迅速过渡到子群、陪集与拉格朗日定理的证明及其应用。拉格朗日定理的推论，如元素阶的性质，将被详细剖析，作为后续分析的跳板。一个关键的章节将集中于正规子群、商群的构造，以及同态与同构定理。我们侧重于理解商群如何通过“磨平”或“收缩”正规子群来揭示群结构的深层信息。这些定理被视为代数系统分解和重组的通用工具，其重要性不亚于微积分中的基本定理。第三部分：有限群的分类与表示在掌握了基本结构后，本书进入到对有限群进行分类和具体分析的阶段。 Sylow定理的证明及其在识别特定阶的子群存在性方面的强大能力，是本部分的核心内容。我们将使用不同的证明技巧（例如，利用群作用在集合上的不动点分析）来展示这些定理的精妙之处，并立即展示它们在判断群是否为幂零群（Nilpotent Groups）或可解群（Solvable Groups）中的作用。关于有限生成阿贝尔群的分类定理将被给予特殊的关注。我们将证明任何有限阿贝尔群都可以唯一地分解为其初等因子群的直积，即其结构可以被完全由其最大阶素数幂子群来确定。这为理解更一般的有限群结构提供了清晰的蓝图。为连接代数与更广阔的应用领域，本书的最后一部分将引入群的表示论（Representation Theory）的基础。我们侧重于有限群在线性空间的线性变换上的作用。虽然不会深入到特征标理论的复杂细节，但会详尽阐述不可约表示的概念，并展示如何利用这些表示来简化对群结构的分析，特别是其中心和换位子子群的性质。我们将强调表示论在晶体学、分子对称性以及现代编码理论中的初步应用。第四部分：布尔代数与群论的交汇点本书的独特之处在于其对布尔代数与有限群论交叉领域的探讨。我们考察群作用下集合的轨道与稳定子，并利用Burnside引理来解决计数问题，特别是那些涉及对称计数的计数问题（如对一个立方体进行涂色计数）。在这里，群的结构（通过其作用）直接转化为对集合划分的洞察力。此外，我们将探讨对称群（Permutation Groups） $S_n$作为有限群的典范例子。我们将分析其子群结构，特别是交错群 $A_n$ 的性质，并讨论有限简单群的意义，尽管不对其完整的分类定理进行详细描述，但会明确其在理解所有有限群的“原子”结构中的基础性作用。本书的最终目标是培养读者一种能力：能够将现实世界中观察到的对称性或逻辑约束，精确地映射到布尔代数或有限群的框架中，并运用这些工具进行有效的代数推理和结构分析。本书适合于高年级本科生、研究生以及希望系统性巩固代数基础的工程师和研究人员。全书配有大量的例题和习题，旨在巩固理论理解并激发对离散数学美感的欣赏。