TransseriesandRealDifferentialAlgebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Van Der Hoeven, J.

出品人:

页数:255

译者:

出版时间:

价格:59.95

装帧:Pap

isbn号码:9783540355908

丛书系列:

图书标签:

• Transseries
• Real Differential Algebra
• Asymptotic Analysis
• Nonstandard Analysis
• Model Theory
• Differential Equations
• Algebraic Geometry
• Mathematical Logic
• Formal Functions
• Ultrafinite Methods

《微分代数与拓扑变换：一种新的数学结构探索》 内容简介 本书旨在为数学研究人员和高年级研究生提供一个深入探索现代数学交叉领域——微分代数与拓扑变换——的全新视角。本书并非对传统代数或分析的简单回顾，而是致力于构建一套全新的数学框架，用于描述和分析那些在经典微积分和代数结构中难以捕捉的复杂、非线性和高维现象。 本书的核心在于引入并系统化地发展拓扑可微结构（Topological Differentiable Structures, TDS）的概念。TDS超越了传统的流形理论，它将代数结构（如李代数、张量代数）与特定的拓扑性质（如局部紧致性、可分离性以及非交换性的度量）紧密地耦合在一起。这种耦合使得我们能够对定义在复杂拓扑空间上的微分运算进行严谨的代数化处理。 全书分为五大部分，结构清晰，层层递进： 第一部分：基础与背景重构 本部分首先回顾了必要的前置知识，但重点在于批判性地审视现有工具的局限性。我们探讨了在处理高阶非线性偏微分方程（PDEs）系统时，传统伽罗瓦理论和李群理论在处理非局部依赖关系上的不足。随后，引入了泛函微分因子（Functional Differential Operators, FDOs）的初步概念，强调它们在局部范畴内如何表现出全局的代数一致性。 重点章节包括： 非交换度量空间的代数嵌入： 如何在不依赖于经典欧几里得范畴的前提下，定义局部Lipschitz连续性。 层论在微分算子上的应用： 利用层（Sheaves）来编码微分算子在不同尺度上的局部依赖关系，并探讨如何通过纤维化（Fiber Bundles）来统一这些局部信息。 第二部分：拓扑可微结构（TDS）的正式定义与构造 这是本书的核心理论构建部分。我们定义了TDS，它是一个建立在特定拓扑空间 $X$ 上的代数体系 $mathcal{D}_X$，它配备了一组满足特定交换和结合律的微分生成元 $partial_i$。与经典的微分算子不同，这里的 $partial_i$ 不仅服从特定的李括号关系，还必须满足一个关于拓扑邻域 $mathcal{N}$ 的“平滑度”条件： $$forall f in C^infty(X), quad lim_{mathcal{N} o 0} |partial_i (f circ phi_mathcal{N}) - (partial_i f) circ phi_mathcal{N}| = 0$$ 其中 $phi_mathcal{N}$ 是依赖于邻域 $mathcal{N}$ 的微小形变映射。 本部分详细论述了TDS的构造方法，特别是如何通过拓扑张量积来组合不同的微分结构，形成更高阶的TDS。我们着重分析了拓扑李导数的定义，它允许我们在非光滑流形上进行有意义的微分运算。 第三部分：代数化：微分代数的扩展与完备化 在建立了TDS之后，我们需要一套代数工具来操作它们。本部分将重点放在微分代数（Differential Algebras）的扩展上，我们称之为拓扑微分环（Topological Differential Rings）。 我们引入了“拓扑可除性”的概念，以克服传统微分域中对零除操作的限制。通过构造适当的局部化（Localization），我们将定义在抽象拓扑空间上的微分运算提升到可以进行代数求逆和除法的环境中。 关键贡献在于： 非线性算子的黎曼-希尔伯特对应： 探索如何将特定的非线性微分方程转化为具有拓扑约束的积分方程，并利用特定类型的拓扑哈密顿系统进行求解。 张量流的指数映射： 构造了在TDS上定义的指数映射，它能够将复杂的张量场流转化为易于分析的幂级数形式，即使在收敛半径为零的区域也能提供形式解。 第四部分：变换理论与不变量 本部分将理论应用于动力学系统和几何结构。我们研究了在TDS下保持系统不变的变换群。这些变换不再是简单的坐标替换，而是对底层拓扑结构施加的微分同胚群，这些同胚必须在微分算子作用下保持特定代数关系。 我们详细分析了“拓扑守恒量”的生成机制。这些守恒量是作用于TDS上的特定微分算子的特征值，它们不仅在时间演化中保持不变，而且在空间拓扑形变下也保持其代数性质的稳定性。 本章还包含了对“奇点拓扑”的初步探讨，即在何处微分代数结构开始崩溃，以及如何通过引入规范场（Gauge Fields）来“修复”这些奇点，使其重新嵌入到一致的TDS中。 第五部分：应用展望与未来方向 本书的最后部分着眼于理论的应用前景，特别是在需要处理高度非线性、自适应或具有内在尺度依赖性的系统时。 我们提出了TDS框架在以下领域的潜在价值： 1. 高维统计物理： 描述具有非局部相互作用的量子场论，特别是涉及玻色-爱因斯坦凝聚或超导态的相变边界。 2. 复杂网络动力学： 对具有非均匀连接强度和时变拓扑结构的复杂系统进行建模，例如生物网络或大规模传感器网络。 3. 几何分析： 提供一种新的工具来研究具有奇异边界或非光滑边界的拉普拉斯型算子的谱性质。 本书旨在激发研究人员超越传统的分析工具箱，将代数和拓扑思维深度融合，以应对21世纪数学和物理学中的关键挑战。本书的讨论是高度抽象和技术性的，需要读者具备扎实的泛函分析、代数拓扑和抽象代数背景。

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