A Path to Combinatorics for Undergraduates pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Andreescu, Titu/ Feng, Zuming

出品人:

页数:248

译者:

出版时间:2003-11

价格:$ 62.09

装帧:Pap

isbn号码:9780817642884

丛书系列:

图书标签:

• 组合数学
• 数学
• 本科生
• 离散数学
• 计数原理
• 图论
• 数学教材
• 高等教育
• 数学分析
• 算法

深入离散结构的世界：面向初学者的组合数学导论 图书名称：离散结构的路径：为本科生量身定制的组合学入门 本书简介 本书旨在为本科阶段的数学、计算机科学、工程学以及其他相关专业的学生提供一套全面、深入且易于理解的组合数学入门教程。组合数学作为一门研究有限对象计数、构造和特性的数学分支，是现代离散数学的基石。本书侧重于建立坚实的理论基础，同时通过大量的实例和应用，展示组合学在解决实际问题中的强大能力。 我们深知，对于初次接触此领域的学习者而言，抽象的计数原理和证明技巧可能构成显著的理解障碍。因此，本书在设计上力求平衡理论的严谨性与教学的可及性。我们不只是罗列公式，而是致力于揭示这些公式背后的逻辑和思维模式。 第一部分：计数的基础与初级技术 本部分首先回顾离散数学中必不可少的预备知识，包括集合论的基本概念、函数与映射的性质，以及数学归纳法的严谨应用。随后，我们将系统地引入组合学的核心——计数原理。 1.1 基础计数法则：和、积与双射 我们将从最直观的加法原理（和的规则）和乘法原理（积的规则）开始，阐述如何将复杂问题分解为互斥或依赖的子问题。随后，引入“鸽巢原理”（Pigeonhole Principle）——一个看似简单却极其强大的工具。我们不仅会展示其基础形式，还会深入探讨其推广形式（如加权鸽巢原理），并用它来解决存在性问题。 1.2 排列与组合：有序与无序的选择 这是组合学的核心。我们将精确区分排列（Permutations）和组合（Combinations），强调顺序在计数中的关键作用。内容涵盖不重复的选择（$P(n, k)$ 和 $inom{n}{k}$）以及涉及重复元素的情况（多重集排列）。本书将花费大量篇幅在二项式系数的性质推导上，包括著名的杨辉三角（Pascal's Triangle）的构造、对称性、范德蒙德恒等式（Vandermonde's Identity）的代数和组合证明，以及上指标求和等高级恒等式。 1.3 生成函数导论：序列的代数表示 生成函数（Generating Functions）是连接组合学与代数分析的桥梁。我们将从普通生成函数（Ordinary Generating Functions, OGF）的概念入手，阐述如何利用它们来表示和求解特定类型的计数问题，例如求解线性递推关系。我们将详细推导牛顿的广义二项式定理，并将其应用于涉及负整数次幂的生成函数问题。 第二部分：图论的组合基础 组合数学与图论（Graph Theory）的交集是其最活跃的应用领域之一。本部分侧重于图论中与计数、构造和存在性相关的核心主题。 2.1 图的基本概念与表示 本书定义了图、多重图、有向图和无向图的基本术语，如顶点、边、度数、路径、回路和连通性。我们将讨论图的矩阵表示法，特别是邻接矩阵和关联矩阵，并分析这些矩阵如何反映图的结构特性。 2.2 树：无环连通图的特性 我们将专注于树（Trees）这一特殊结构。内容包括树的等价定义、最小生成树（Minimum Spanning Trees）的概念背景，以及最重要的——普吕弗序列（Prüfer Sequence）。我们将通过对普吕弗序列的深入剖析，推导出凯莱公式（Cayley's Formula），即具有$n$个标记顶点的树的数量为$n^{n-2}$，并提供详尽的组合推导过程。 2.3 图的计数与着色 我们将探讨具有特定属性的图的计数问题，例如特定阶数的完全图和循环图。图着色问题是组合学的经典难题，本书将介绍边着色和顶点着色。我们将详细讲解色多项式（Chromatic Polynomial），阐明其递归计算方法，并展示其在判断图是否为二分图等问题上的应用。 第三部分：高级计数技术与应用 本部分将引入更复杂和强大的工具，使读者能够处理那些无法通过基础排列组合直接解决的问题。 3.1 容斥原理：处理重叠的集合 容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）是处理集合并集计数问题的关键。我们将从简单形式过渡到更通用的形式，并将其应用于解决经典的“错排问题”（Derangements）——即没有元素处于其原位的排列。同时，我们将展示如何利用容斥原理证明关于素数分布的初步结果。 3.2 递推关系：序列的代际结构 递推关系是描述序列元素之间依赖性的数学语言。我们将系统地分类和求解线性齐次与非齐次递推关系。内容涵盖特征方程法、常系数线性递推关系（如斐波那契数列的推广）的精确解法，并展示如何利用生成函数来统一求解这些问题。 3.3 组合对象间的双射证明 组合数学的精髓之一在于“双射证明”（Proof by Bijection）。本书强调，理解计数问题的最佳方式是建立两个不同集合之间的一一对应关系。我们将提供一系列范例，演示如何通过巧妙地构造双射，证明两个表面上截然不同的计数公式或结构是等价的。这部分内容旨在培养读者建立清晰逻辑链条的能力。 第四部分：应用与扩展主题 本部分将组合学的理论知识与实际场景相结合，为读者未来的学习和研究打下基础。 4.1 整数划分与函数 我们将研究整数的划分（Partitions of an Integer），介绍不同的划分函数，并探讨欧拉关于不同类型划分（如奇数部分划分与不同部分划分）的著名定理，利用生成函数进行证明。 4.2 组合设计基础 本书简要介绍了组合设计的概念，特别是平衡不完全区组设计（BIBD）的初步思想，作为读者未来深入学习设计理论的入门。 教学特色 清晰的结构和详细的例证： 每项定理后都紧跟着至少两个经过细致演算的例子。 强调证明的理解： 书中不仅给出“是什么”，更侧重于“为什么”——鼓励读者理解组合推理背后的逻辑，而非死记硬背公式。 丰富的练习题： 书末包含大量的习题，难度梯度合理，从基础巩固到具有挑战性的开放式问题。 本书为有微积分和线性代数基础的本科生设计，是进入高级离散数学、算法分析、概率论以及理论计算机科学的理想跳板。它承诺为读者铺设一条清晰、坚实的路径，通往广阔而迷人的组合学世界。

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