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出版者:American Mathematical Society

作者:V. V. Prasolov

出品人:

页数:225

译者:

出版时间:1994-6-13

价格:USD 85.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821802366

丛书系列:Translations of Mathematical Monographs

图书标签:

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深度解析经典分析：以《拓扑学中的基本问题与定理》为例 图书简介 书名：《拓扑学中的基本问题与定理》 作者：[此处请填入一位虚构的、在拓扑学领域有深厚造诣的数学家姓名] 出版社：[此处请填入一家专注于高质量数学专著出版的出版社名称] --- 导言：超越维度的界限 《拓扑学中的基本问题与定理》并非对所有数学分支进行泛泛而谈的概览，而是一部深入剖析拓扑学这一核心分支的理论基石、核心概念与前沿应用的权威著作。本书旨在服务于高年级本科生、研究生以及致力于纯粹数学研究的专业人士。它摒弃了过于初级的代数或微积分预备知识的冗余叙述，而是直接切入拓扑学的精髓——研究空间在连续形变下保持不变的性质。 本书的结构设计精妙，从最基础的点集拓扑学的公理化定义出发，稳步构建起理解代数拓扑学和微分拓扑学的必要框架。我们坚信，对概念的精确把握是发现新定理的前提，而对已有定理的深刻理解则是推动研究的动力。 第一部分：点集拓扑学的严谨基础 (Foundations of Point-Set Topology) 本部分是全书的基石，内容极为扎实且注重细节的推导。我们从拓扑空间的精确定义开始，而非仅仅停留在“弹性几何”的直观描述上。 章节核心内容概述： 1. 开集、闭集与拓扑的构造： 详细探讨了不同类型的拓扑结构——例如子空间拓扑、商拓扑、积拓扑和逆积拓扑的严格定义与等价性证明。尤其对乘积拓扑的性质（如Tychonoff定理的证明思路）进行了详尽的分析，强调了其在无限维空间分析中的重要性。 2. 连续性与同胚： 连续函数被定义为原像保持开集性的映射。本书深入探究了同胚（Homeomorphism）作为拓扑空间之间结构等价性的标准，并通过大量反例说明了何种看似相似的空间实际上在拓扑上是不可区分的（例如，区分圆盘与圆环的拓扑属性）。 3. 分离公理（Separation Axioms）： 从$T_1$空间到豪斯多夫（Hausdorff）空间，再到正则性和正规性。我们用严格的逻辑推导阐明了分离公理层级结构中的每一个步骤所带来的结构性限制。一个核心篇幅被用于证明Urysohn引理和Tietze扩展定理的精确条件和重要推论，这对于函数分析与度量空间的联系至关重要。 4. 紧致性（Compactness）的深度探究： 紧致性被视为拓扑空间中最“良好”的性质之一。本书不仅给出了Heine-Borel定理的拓扑推广（即开复盖的有限子复盖），更侧重于紧生成空间（finitely generated compact spaces）的研究，并详细阐述了紧致性在乘积空间和商空间中的传递性问题。 5. 连通性与路径连通性： 区分了不同层次的连通概念。本书着重分析了路径连通性在代数拓扑（如基本群的定义）中的不可替代性。针对非路径连通空间的分析，我们引入了局部路径连通空间的性质，并探讨了这些性质如何简化后续的代数工具的应用。 第二部分：代数拓扑学的桥梁（The Bridge to Algebraic Topology） 在点集拓扑学奠定坚实基础后，第二部分开始引入代数工具来区分拓扑上不同的空间。这里的重点是如何将几何问题转化为可计算的代数不变量。 章节核心内容概述： 1. 基本群（Fundamental Group $pi_1$）： 详细介绍了路径、路径的乘法、单位元以及逆元的定义。本书着力于计算环面 $T^n$、球面 $S^n$ (n>1)以及实射影平面 $mathbb{RP}^2$的基本群。我们详细展示了Seifert–van Kampen定理的完整证明，该定理是计算复杂空间基本群的强大工具，尤其强调了其在楔形空间（wedge sums）计算中的应用。 2. 覆盖空间理论（Covering Space Theory）： 覆盖空间被视为连接 $pi_1$ 与拓扑空间几何结构的关键环节。本书深入探讨了提升定理（Path Lifting Property）和映射提升定理的证明，并给出了判定一个空间是否存在特定覆盖空间的充要条件——基于其基本群的性质。 3. 同调论的引入（Introduction to Homology Theory）： 简要引入了奇异同调（Singular Homology）的概念，重点在于理解链复形（Chain Complexes）和边界算子（Boundary Operators）的构造。本书侧重于解释欧拉示性数（Euler Characteristic）的拓扑意义，并展示了其如何通过链复形的性质（如$chi = sum (-1)^i ext{rank}(H_i)$）被精确计算出来。 第三部分：同伦与流形（Homotopy and Manifolds） 本部分将视角拓展到更高维度的不变量，并初步接触微分拓扑学的核心概念。 章节核心内容概述： 1. 同伦群（Homotopy Groups）： 继基本群之后，系统地介绍了更高阶的同伦群 $pi_n(X, x_0)$。书中详细解释了Hurewicz同态，并阐述了其将代数拓扑的理论从 $pi_1$ 推广到 $pi_n$ 的重要性。特别是针对球面 $pi_n(S^m)$ 的计算，本书提供了已知的关键结果（例如 $pi_3(S^2)$ 的非平凡性），并讨论了其在纤维丛理论中的意义。 2. 流形的概念与例子： 流形（Manifolds）被定义为具有局部欧几里得结构的拓扑空间。本书在定义上极为严谨，区分了拓扑流形、可微流形和黎曼流形。核心案例研究包括：球面 $S^n$、环面 $T^n$、射影空间 $mathbb{RP}^n$ 和复射影空间 $mathbb{CP}^n$ 的拓扑结构与其作为流形的性质。 3. 嵌入与浸没（Embedding and Immersion）： 初步探讨了拓扑空间如何在更高维空间中“嵌入”或“浸没”的问题。这部分内容自然地引向了著名的Whitney嵌入定理（仅作陈述和应用解释，深入证明留给专业微分拓扑学著作），并讨论了二维曲面分类（如Genus和Cross-Cap数）的拓扑本质。 全书特色与学术价值 本书的撰写风格严谨、逻辑清晰，每一个定理都附有详尽的证明，并辅以大量的“关键思考点”（Crucial Insight Points），旨在引导读者从“知道”定理转变为“理解”定理背后的几何直觉。 问题驱动： 每章节末尾精选了一系列极具挑战性的习题，这些习题并非简单的概念验证，而是要求读者应用多个定理进行综合分析，特别是那些与线性代数和抽象代数有交叉的拓扑问题。 视角独特： 本书特别关注于不变量的失效，即哪些性质在特定的连续形变下会丢失，这对于理解拓扑学的局限性和研究方向至关重要。 数学史观： 在讨论关键定理（如Waring-Seifert定理或Van Kampen定理）时，适当地穿插了其历史背景和发展脉络，帮助读者理解数学思想的演进过程。 《拓扑学中的基本问题与定理》不仅是一本教材，更是一部供数学研究者随时查阅和深入思考的工具书，它将引导读者在拓扑学的广阔天地中，掌握最为坚实、最富洞察力的理论工具。

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选择《Problems and Theorems in Linear Algebra》这本书，更多的是出于我对数学探索的渴望，以及对线性代数这种数学语言的深深着迷。我希望这本书能够带领我进入一个由“问题”驱动的线性代数学习世界。我设想，书中会从一个引人入胜的问题出发，然后自然而然地引出解决这个问题所必需的数学工具和理论，即“定理”。这种“从问题到理论”的学习路径，在我看来，比传统的“从理论到应用”的教学模式更能激发学习者的主动性和思考深度。我期待书中能够包含一些经典的、具有代表性的线性代数问题，例如关于线性方程组解的性质、关于矩阵可逆性的充要条件、关于线性变换的核与像空间的分析等等。同时，我更期待看到书中对这些问题的解决过程，以及在解决过程中所揭示的深刻定理。我希望作者能够以一种清晰、简洁但又不失严谨的语言来阐述这些定理，并且能够通过具体的例子来帮助我理解定理的内涵和外延。这本书对我而言，不仅仅是学习线性代数的工具，更是一次挑战自我、提升数学思维能力的旅程。

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《Problems and Theorems in Linear Algebra》这个书名，直接击中了我的“痛点”和“痒点”。作为一名对数学理论有浓厚兴趣但又常常被复杂证明所困扰的学生，我一直在寻找一本能够兼顾深度和易读性的线性代数书籍。我非常期待这本书能够提供一些独特的视角来解读线性代数的经典定理，比如那些关于向量空间基数、线性无关性、秩的那些基本但却至关重要的定理，能够有不落俗套的解释和更具启发性的例子。同时，书名中的“Problems”也让我充满了好奇，我希望这些问题不仅仅是简单的练习题，而是能够引导我深入思考，甚至可能是一些尚未完全解决的开放性问题，抑或是历史上那些里程碑式的数学难题。我希望这本书能够提供一种“带着问题去学习”的学习模式，通过主动解决问题来理解和掌握线性代数的理论。我期待作者能够用一种既严谨又富有人情味的方式来讲解，让我在学习的过程中感受到数学的魅力，而不是枯燥的符号和公式。这不仅是对线性代数知识本身的渴望，更是对数学思维方式的一种追寻。

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这本书的名字，"Problems and Theorems in Linear Algebra"，像一个磁铁一样吸引了我。我一直认为，数学的魅力恰恰在于其严谨的逻辑和解决现实问题的强大能力，而线性代数正是连接这两者的关键桥梁。我希望这本书能够提供一种独特的学习体验，它不仅仅是枯燥的公式和定理的堆砌，而是通过一系列精心设计的“问题”来引导读者深入理解线性代数的“定理”。我期待书中能够涵盖诸如向量空间、线性变换、矩阵论、特征值等核心概念，并且能够通过具有启发性的问题来巩固和拓展这些知识。我尤其好奇书中会呈现哪些经典的“问题”，它们是否能够让我对线性代数有更深刻的认识？同时，我也非常期待书中对这些问题所涉及的“定理”的阐述，我希望作者能够用一种清晰、严谨且易于理解的方式来解释这些定理的原理和应用。这不仅仅是为了通过考试，更是为了能够真正掌握这门强大的数学工具，并将其运用到我所感兴趣的科学和工程领域中。

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我选择《Problems and Theorems in Linear Algebra》这本书，是基于一种对数学探索的纯粹热情。我一直觉得，一本真正优秀的数学书籍，应该能够提供一种“发现”的乐趣，而不仅仅是“学习”的过程。这本书的标题，恰恰点明了这种探索的方向——通过“问题”去发现“定理”。我非常好奇书中会设计出哪些类型的“问题”，它们是否能够涵盖线性代数中最具挑战性和最核心的方面？我期待这些问题能够引导我去思考那些深刻的数学概念，并且在解决问题的过程中，自然而然地理解和掌握相关的“定理”。我希望书中能够对这些定理的证明过程给予充分的重视，并且在解释定理的内涵和外延时，能够做到既严谨又不失启发性。我尤其期待书中能够提供一些我从未接触过的、或者是一些能够让我眼前一亮的线性代数理论，从而拓宽我的数学视野。总而言之，我希望这本书能够成为我深入理解线性代数、提升数学思维能力的重要伙伴。

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这本书的标题，"Problems and Theorems in Linear Algebra"，立刻唤起了我对线性代数严谨性与趣味性的双重追求。我一直认为，纯粹的理论讲解容易让人感到枯燥，而只有与具体的问题相结合，那些抽象的定理才能焕发出生机。我非常希望这本书能够提供一系列精选的、能够体现线性代数核心思想的“问题”，并且通过这些问题来引出相关的“定理”。我期待看到作者如何巧妙地设计这些问题，它们是否能够涵盖从基础的向量运算，到复杂的矩阵分解，再到抽象的线性变换的各个层面。更重要的是，我希望书中能够详细阐述这些问题背后的定理，并且在阐述定理时，不仅给出证明，还能深入解释定理的意义、适用范围以及它在更广阔的数学领域中的地位。我希望通过阅读这本书，我能够不仅仅是“记住”定理，而是真正“理解”它们，并能够将这些理解运用到解决更复杂的问题中。我甚至想象这本书中可能会包含一些历史上著名的关于线性代数的未解之谜，或者一些前沿研究的引子，这将极大地满足我的求知欲。

评分☆☆☆☆☆

拿到《Problems and Theorems in Linear Algebra》这本书，我首先就被其标题所吸引。作为一个对数学理论和问题解决都充满兴趣的人，我一直在寻找一本能够将这两者完美结合的书籍。我希望这本书能够提供一系列精选的、能够代表线性代数核心思想的“问题”，这些问题应该不仅仅是简单的练习，而是能够引导读者进行深入思考，甚至需要运用到多个概念和定理来解决。同时，我也非常期待书中对于这些问题所涉及的“定理”的深入讲解。我希望作者能够以一种清晰、严谨且富有启发性的方式来阐述这些定理，并能够展示它们是如何从基本原理推导出来的，以及它们在不同数学分支中的应用。我尤其希望这本书能够帮助我建立起一种从问题出发，通过逻辑推理和理论知识来寻找解决方案的数学思维模式。我期待通过阅读这本书，我不仅能够掌握线性代数的理论知识，更能提升我分析和解决复杂数学问题的能力。

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这本书的名字听起来就很有分量，初次拿到它，我的脑海中立刻浮现出那些在数学殿堂中孜孜不倦探索的学者们的形象。它不仅仅是一本关于线性代数的教材，更像是一扇通往更深层数学理解的大门。我特别期待书中对于“问题”的呈现方式，是那种引人入胜、层层递进的挑战，还是那种颠覆认知、豁然开朗的顿悟？我希望它能涵盖从基础概念的严谨定义，到高级理论的精妙证明，并且在两者之间建立起坚实的桥梁。线性代数作为现代数学和科学的基石，其重要性不言而喻，从量子力学到机器学习，从图论到密码学，它的身影无处不在。因此，一本优秀的线性代数书籍，其价值也绝不仅仅局限于课堂之上。我希望这本书能够激发我对于数学的热情，让我能够更加深入地理解那些隐藏在数据和模型背后的数学原理。它的封面设计也颇具匠心，简洁而有力，预示着内容本身的深度和严谨。我非常好奇书中会涉及哪些经典的“问题”，它们是如何被提出，又如何被解决的？是否会有一些我从未接触过但极具启发性的新视角？我渴望能够通过这本书，将抽象的数学概念转化为实际的理解，并能将这些知识应用到我所感兴趣的领域中去。

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拿到《Problems and Theorems in Linear Algebra》这本书，我首先被它那略显古朴但又不失庄重的封面所吸引，仿佛里面蕴藏着穿越时空的数学智慧。我之所以选择这本书，是因为我对线性代数中那些深刻的定理和充满挑战性的问题一直抱有极大的兴趣。我希望这本书能够提供一种不同于我以往学习经验的视角，它可能不会像某些教材那样事无巨细地讲解每一个细节，而是更加侧重于那些能够引领读者思考、激发探索欲的“问题”和“定理”。我期望书中能够深入剖析线性代数的核心概念，例如向量空间、线性变换、特征值和特征向量等，并通过一系列精心设计的习题来巩固和拓展这些知识。我尤其关注书中关于“定理”的部分，希望能够看到那些经过时间考验、被数学家们反复论证过的真理是如何被清晰、严谨地呈现出来的。我期待能够从中学习到如何构建数学证明，如何理解定理的逻辑链条，以及如何将理论知识应用到解决实际问题中。这本书的名字本身就暗示着一种探索和发现的过程，我希望它能够引导我一步步深入线性代数的奥秘，并在这个过程中，培养我独立思考和解决问题的能力。

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《Problems and Theorems in Linear Algebra》这个书名，对我来说，简直就是一种数学的召唤。我一直在寻找一本能够真正深入地探讨线性代数核心概念的书籍，并且能够将抽象的理论与具体的、引人入胜的问题联系起来。我非常期待这本书能够提供一系列精心挑选的、能够充分体现线性代数精髓的“问题”。我希望这些问题不仅仅是简单的计算练习，而是能够引导我去思考更深层次的数学结构和原理。同时，我也非常渴望看到书中对这些问题所涉及的“定理”的深入剖析。我希望作者能够用一种清晰、严谨且具有启发性的方式来解释这些定理，并展示它们是如何被发现和证明的。我期待通过这本书，我能够不仅仅是“学习”线性代数，而是真正地“理解”它，并能够将这些知识融会贯通，运用到我自己的研究和探索中去。这本书对我而言，可能是一次重新认识线性代数，甚至重新认识数学本身的绝佳机会。

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《Problems and Theorems in Linear Algebra》这本书的标题，在我的数学学习生涯中，无疑点亮了一盏重要的灯塔。我渴望找到一本能够真正体现线性代数精髓的书籍，而这个标题恰好触及了我最感兴趣的两个方面：那些能够激发深度思考的“问题”，以及那些构成数学大厦的坚实“定理”。我希望这本书能够不仅仅是知识的传递，更是一种思维的引导。我期待书中能够包含一些具有挑战性、能够引导我主动探索解决方案的“问题”，例如那些涉及证明或者最优化的难题。同时，我更看重的是书中对“定理”的阐述，我希望能够看到那些经典定理被以一种更加清晰、更具洞察力的方式呈现出来，并且能够理解定理的证明过程和其背后蕴含的深刻数学思想。我希望通过这本书，我能够不仅掌握线性代数的理论知识，更能培养出解决复杂数学问题的能力，并能够将这些知识灵活地运用到我的学术研究和实际工作中。

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