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出版者:American Mathematical Society

作者:Andy R. Magid

出品人:

页数:105

译者:

出版时间:1994-11-07

价格:USD 22.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821870044

丛书系列:University Lecture Series

图书标签:

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费马大定理的几何视角：椭圆曲线与模空间的探秘 作者： [此处应填写作者姓名，例如：Jean-Pierre Serre, Andrew Wiles 等领域内知名数学家] 出版社： [此处应填写一个具有学术声望的出版社名称，例如：Princeton University Press 或 AMS] 丛书： [此处应填写一个与本书内容高度相关的数学专著丛书名称，例如：Annals of Mathematics Studies 或 Modern Surveys in Mathematics] --- 内容概述 本书深入探讨了现代数论中的核心领域——椭圆曲线的算术性质及其与代数几何、函数域理论的深刻联系。全书旨在构建一个严谨的理论框架，用以理解丢番图方程的解集结构，特别是围绕费马大定理（Fermat's Last Theorem, FLT）的背景和潜在的解决路径展开论述。 本书的叙事主线并非直接复述Wiles的最终证明，而是侧重于支撑这一证明的关键数学工具——谷山-志村猜想（Taniyama-Shimura Conjecture，现已完全证明并命名为模定理）的早期发展、椭圆曲线的模空间理论，以及法尔廷斯定理（Faltings' Theorem，即庞加莱猜想在代数簇上的推广）在解决高亏格曲线上的相关问题。 全书分为五个主要部分，层层递进，从基础概念的建立过渡到前沿理论的应用。 第一部分：椭圆曲线的代数与解析结构基础 本部分首先确立了本书的数学语言和研究对象。我们详细考察了椭圆曲线 $mathcal{E}$ 在数域 $K$ 上的定义，即Weierstrass标准型 $y^2 = x^3 + ax + b$ 上的有理点集 $mathcal{E}(K)$ 的群结构。 1.1. 模函数与复流形： 椭圆曲线在复数域 $mathbb{C}$ 上本质上是复环面 $mathbb{C}/Lambda$，其中 $Lambda$ 是一个格。我们引入了模函数（Modular Functions）的概念，特别是其在双曲上半平面 $mathbb{H}$ 上的自由作用，并探讨了模函数如何参数化同构意义下的椭圆曲线。这为后续的模形式理论奠定了基础。 1.2. 局部性质与局部L-函数： 讨论了椭圆曲线在有限域 $mathbb{F}_q$ 上的点计数问题，即Hasse-Weil上界。引入了局部L-函数 $L(s, mathcal{E}/mathbb{F}_q)$ 的定义，并探讨了其与局部 $zeta$ 函数的关系。重点分析了曲线在素数 $p$ 处的约化类型（良约化、半稳定、不稳定）及其对L-函数欧拉乘积展开的影响。 1.3. 算术结构：Mordell-Weil定理与Tate-Shafarevich群： 深入分析了Mordell-Weil定理，即 $mathcal{E}(K)$ 是一个有限生成阿贝尔群。随后，引入了Tate-Shafarevich群 (Sha(E/K)) 的概念，它衡量了局部信息无法完全决定全局信息的程度。我们通过Birkhoff-Witt方法讨论了Sha群的出现动机和其在验证BSD猜想（Bard-Swinnerton-Dyer Conjecture）中的核心地位。 第二部分：模形式与L-函数的统一性 本部分的核心是建立椭圆曲线的算术信息与模形式（Modular Forms）之间的精确对偶关系，这是连接伽罗瓦表示与自守表示的桥梁。 2.1. 模函数的深入研究： 详细考察了 $Gamma_0(N)$ 和 $Gamma_1(N)$ 等经典模群。定义了权重 $k$ 和 $Gamma_0(N)$ 上的模形式 $f$。重点分析了它们如何通过提升（Lifting）过程与椭圆曲线的Galois表示相关联。 2.2. Galois表示的构造： 对于一个定义在 $mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $mathcal{E}$，我们利用 $l$-进L-函数，构造了其二阶 连续Galois表示 $ ho_{mathcal{E}, l}: ext{Gal}(ar{mathbb{Q}}/mathbb{Q}) o ext{GL}_2(mathbb{Z}_l)$。分析了该表示的特征多项式与 $mathcal{E}$ 的局部L-因子的精确对应关系。 2.3. 谷山-志村猜想的早期陈述： 以Ribet和Frey的工作为切入点，详细阐述了谷山-志村猜想的核心断言：每一个定义在 $mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线都对应着一个模形式。特别强调了“epsilon 猜想”（即Ribet's Theorem），它表明如果一个半稳定的椭圆曲线 $mathcal{E}$ 是“非常不模化”的（即其Galois表示与所有模形式的表示不兼容），那么它将产生一个“奇怪的”Galois表示，进而可能与费马大定理的推论联系起来。 第三部分：代数几何中的高度理论与Faltings定理 本部分转向更广泛的代数几何背景，探讨了在更高亏格曲线上的有理点限制问题，为理解曲线在数域上的有限性提供了几何工具。 3.1. 雅可比多样体与Arakelov理论的萌芽： 简要回顾了曲线的雅可比多样体 $J(mathcal{E})$ 的性质，并引入了Arakelov几何学的基本思想——在算术簇上定义“高度”的概念。 3.2. 线性等价与Néron-Severi群： 考察了在代数簇上的线性等价关系，以及Néron-Severi群（衡量了代数向量丛的稳定性）的作用。 3.3. Faltings定理的精髓： 详尽地讲解了Faltings关于高亏格曲线的定理。该定理断言，任何亏格 $g ge 2$ 的光滑射影曲线，在任何数域 $K$ 上的有理点个数 $mathcal{C}(K)$ 必定是有限的。本书侧重于Faltings证明的核心技巧：利用重化（re-normalization）和上同调理论来构造一个适用于有理点的“高度函数”，并证明了其上界的存在性。 第四部分：Lifting the Exponent 与 Deformations of Galois Representations 本部分专注于Galois表示的形变理论，这是连接模空间与Galois群结构的关键技术。 4.1. 局部结构与局部表示： 深入分析了模空间 $mathcal{M}_1(N)$ 在素数 $p$ 处的局部结构，特别是其具有奇异点的区域。这对应于椭圆曲线在 $p$ 处的非良约化情况。 4.2. Galois表示的形变理论： 引入了Mazur的形变理论（Deformation Theory）框架。形变空间 $R$（或 $T$）参数化了在 $p$ 处满足特定局部条件的Galois表示的“微小扰动”。利用 $p$-进上同调和$K_2$群，我们计算了形变空间的维数和局部结构。 4.3. 模空间的刚性与“Serre的开区间”： 阐述了Mazur关于模空间具有“刚性”（Rigidity）的著名结果。如果一个Galois表示 $ ho$ 足够“自由”（即它的形变空间 $ ext{Def}( ho)$ 的维数与 $ ext{Galois group}$ 的自由度相匹配），那么它必须来自一个模形式——这就是“Lifting the Exponent”或“Serre的开区间”的几何体现。 第五部分：费马大定理的终局与理论的展望 最后一部分将所有工具汇集起来，分析它们如何共同指向FLT的解决。 5.1. Frey曲线的构建与Ribet定理的应用： 假设费马方程 $a^n + b^n = c^n$ 存在非平凡整数解 $(a, b, c)$ 且 $n ge 3$。我们构造出相关的Frey曲线 $mathcal{E}_{a, b, c}: y^2 = x(x-a^n)(x+b^n)$。Ribet的定理证明了该曲线是极度不模化的。 5.2. 模定理与矛盾： 根据谷山-志村猜想（模定理），Frey曲线必须对应于某个模形式。然而，其Galois表示的局部性质（特别是在素数 $p$ 处）经过Ribet的检验，与任何模形式所对应的表示都不相容。这形成了严格的数学矛盾：不存在这样的费马解。 5.3. 展望：BSD 猜想与算术的未来： 本书以对BSD猜想的深入讨论作结。我们探讨了如何将L-函数的阶数与椭圆曲线的秩（即 $mathcal{E}(mathbb{Q})$ 的自由部分的维数）联系起来，展望了未来数论研究中L-函数、算术几何和表示论的交叉领域。 --- 本书特色： 本书侧重于理论结构的内在逻辑和相互关联性，尤其强调了模形式与Galois表示之间的几何化过程。它避免了对Wiles证明细节的直接复述，而是聚焦于其背后的宏大统一思想——代数几何工具如何被用来限制数论方程的解空间。本书是献给深入研究代数数论、算术几何及自守表示论的进阶研究生和研究人员的必备参考。阅读本书要求对代数拓扑、代数几何基础和初等表示论有扎实的背景知识。

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看到这本书的名字“Lectures on Differential Galois Theory”，我的心中立刻充满了期待。我一直认为，在学习一些复杂的数学理论时，一个好的“讲座”式引导至关重要，它能够帮助我们理清思路，建立起完整的知识体系。我希望这本书能够为我提供这样一个系统性的学习体验，让我能够循序渐进地掌握微分伽罗瓦理论的核心内容。我尤其想深入理解“微分域”的概念，以及它与传统域理论的联系和区别。我非常好奇，在微分域上定义的“微分同构”究竟是什么，以及它如何成为构建“微分伽罗瓦群”的基础。更让我着迷的是，“微分伽罗瓦群”究竟能告诉我们关于微分方程的哪些秘密？我希望书中能够详细解释，这个群的结构如何反映了微分方程解的某种“对称性”或“不变性”。我也非常期待书中能够包含一些具体的例子，比如如何利用微分伽罗瓦理论来分析某些著名的微分方程，例如高阶线性微分方程的解的根式可解性，或者一些非线性微分方程的可积性问题。如果书中能提供一些历史背景的介绍，让我了解这个理论的演变过程，那就更好了。

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我一拿到这本书，就被它厚重且充满学术气息的质感所吸引。书名“Lectures on Differential Galois Theory”传递了一种系统性、条理清晰的教学意图，这对于渴望深入理解微分伽罗瓦理论的我来说，无疑具有极大的吸引力。我非常看重一本书的讲解方式，希望它能够从基础概念出发，逐步深入，带领读者领略这个领域的魅力。我期待书中能够清晰地阐述微分伽罗瓦理论的核心思想，特别是如何将代数伽罗瓦理论的抽象概念成功地迁移到微分方程的语境中。我希望能够了解“微分域”的概念是如何被引入的，以及“微分同构”在其中扮演的角色。更重要的是，我迫切想知道“微分伽罗瓦群”是如何被构造出来的，以及它与微分方程的解之间存在着怎样的深刻关系。我希望书中能够提供一些著名的例子，例如如何应用微分伽罗瓦理论来分析某些特殊的微分方程，比如线性微分方程的解的结构，或者非线性微分方程的遍历性。如果书中还能涉及一些现代研究方向，例如与李群、代数簇的联系，那将是极大的惊喜。

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收到这本书的那一刻，我就被它那严谨而又富有吸引力的书名所深深吸引——“Lectures on Differential Galois Theory”。在我看来，“Lectures”这个词代表着一种系统性、有条理的讲解方式，不同于零散的论文或者技术手册。我尤其希望这本书能够为我这个对微分伽罗瓦理论尚处于初步了解阶段的读者，构建一个清晰而完整的知识体系。我希望能够从最基础的概念开始，例如什么是微分域、什么是微分同构，以及微分伽罗瓦群的构造。我非常期待作者能够详细地讲解如何通过微分方程的系数域来定义其对应的伽罗瓦群，以及这个群的性质与方程的解之间存在怎样的深刻联系。更令我着迷的是，我一直很好奇，微分伽罗瓦理论是否能提供一种全新的视角来分析微分方程的可积性问题？书中是否会介绍一些著名的例子，比如椭圆函数、超几何函数等，是如何在微分伽罗瓦理论的框架下被理解和研究的？我对书中是否包含一些关于“李”的理论与微分伽罗瓦理论的交叉之处也充满期待，毕竟“李”在数学和物理学中都有着举足轻重的地位。

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这本书的封面设计就透着一股浓郁的学术气息，那种沉稳的蓝色和经典的排版，一看就知道是精心打磨过的。我是在一次偶然的机会，在一位前辈的书架上瞥见的，当时就被它厚重的分量和“微分伽罗瓦理论”这个引人入胜的词汇吸引了。我本身对代数和几何领域有着浓厚的兴趣，而微分伽罗瓦理论这个方向，在我看来，是连接这两个古老而又充满活力的数学分支的绝佳桥梁。我一直渴望能够系统地学习这方面的知识，但市面上真正能够深入浅出、既严谨又不失趣味的教材却不多。这本书的名字“Lectures on Differential Galois Theory”给我一种踏实的感觉，它不像某些论文集那样零散，而是承诺了一套完整的“讲座”，这意味着它应该有清晰的逻辑脉络和由浅入深的讲解。我对书中是否能很好地介绍微分伽罗瓦理论的动机、核心概念以及它在其他数学分支中的应用充满了期待。特别是，我非常好奇作者是如何处理伽罗瓦群的概念在微分方程领域的延展，以及它与传统的代数伽罗瓦理论之间的联系和区别。如果书中能提供一些历史背景的介绍，让我了解这个理论的起源和发展，那就更好了。总而言之，这本书在我心中已经占据了一个重要的位置，我迫不及待地想翻开它，沉浸在微分伽罗瓦理论的奇妙世界里。

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这本书的出版，对于我这样一直在努力理解抽象数学概念的读者来说，无疑是一份珍贵的礼物。我尤其被“Lectures on Differential Galois Theory”这个书名所吸引，它承诺了一种循序渐进、条理清晰的学习路径。我希望这本书能为我揭示微分伽罗瓦理论的内在逻辑和思想精髓。我迫切地想了解，为什么伽罗瓦理论，最初用于解决代数方程的根式可解性问题，会被自然地拓展到微分方程领域？书中是否会详细解释，微分方程的“对称性”是如何通过其系数域上的自同构群来刻画的？我特别关注书中对于“微分域”这一基本概念的定义和性质的讲解，以及如何从中构造出“微分伽罗瓦群”。我希望能够理解，这个“微分伽罗瓦群”究竟代表了什么，它与方程的解又有什么样的对应关系？我期盼书中能够涵盖一些具体的例子，比如如何应用微分伽罗瓦理论来分析某些特殊函数的性质，或者如何用它来判断微分方程的“可积性”。如果书中还能触及一些与代数几何、复分析等领域的联系，那将是锦上添花。

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这本书的封面设计非常简洁大气，给人一种专业、严谨的感觉。而“Lectures on Differential Galois Theory”这个书名，则精准地传达了其内容的核心——微分伽罗瓦理论，并且是以“讲座”的形式呈现。这让我对这本书的内容充满了期待。我一直对代数与几何的交汇之处非常着迷，而微分伽罗瓦理论恰恰是连接了代数方程的根式可解性与微分方程的解结构之间的桥梁。我非常希望这本书能够系统地介绍微分伽罗瓦理论的起源和发展，让读者了解它是如何从伽罗瓦理论中汲取灵感而诞生的。我特别想知道，书中是如何定义和刻画“微分域”以及“微分同构”，以及如何在此基础上构建“微分伽罗瓦群”。我期待书中能够深入探讨微分伽罗瓦群的性质，以及它与微分方程的解之间存在的深刻联系。例如，书中是否会涉及某些著名的微分方程，如Painlevé方程等，以及它们的微分伽罗瓦群的结构？如果书中能提供一些关于该理论在具体应用上的例子，比如在特殊函数理论、代数几何中的应用，那就更具参考价值了。

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这本书的装帧质量给我留下了深刻的印象，其厚重感和纸张的触感都传递着一种严谨的学术态度。我尤其被“Lectures on Differential Galois Theory”这个书名所吸引，“Lectures”一词预示着一种系统性、有条理的教学方式，这正是我在学习微分伽罗瓦理论时所急需的。我一直对代数与分析的交叉领域非常感兴趣，而微分伽罗瓦理论正是连接这两者的重要桥梁。我非常期待这本书能够清晰地阐述微分伽罗瓦理论的基本概念，例如“微分域”的定义、性质以及“微分同构”的作用。更重要的是，我希望能够理解“微分伽罗瓦群”是如何被构造出来的，以及它如何反映微分方程解的“对称性”。我迫切想知道，这个理论是否能够帮助我们理解某些微分方程为何具有代数解，或者其解的结构有哪些特殊的性质。书中是否会包含一些著名的例子，如一些特殊函数（如Gamma函数、Bessel函数等）对应的微分方程，以及如何应用微分伽罗瓦理论来分析它们的性质？我对书中是否会提及该理论在物理学或工程学中的潜在应用也抱有浓厚的兴趣。

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这本书的封面设计简洁而有力，一看就是学术著作的典范。而“Lectures on Differential Galois Theory”这个书名，更是精准地传达了其核心内容——微分伽罗瓦理论，并且以“讲座”的形式呈现，这对于我这种希望系统学习的读者来说，具有极大的吸引力。我非常看重一本书的讲解深度和广度。我希望这本书能够为我打下坚实的理论基础，让我能够理解微分伽罗瓦理论的起源，特别是它与代数伽罗瓦理论的联系。我非常想知道，书中是如何定义“微分域”以及“微分同构”，以及如何在这个框架下构造出“微分伽罗瓦群”。我特别期待能够理解，这个“微分伽罗瓦群”究竟是如何刻画微分方程的“对称性”的，以及它与方程解的某些重要性质，比如是否可被根式表示，或者解的结构特征之间，存在着怎样的深刻关联。我也对书中是否会包含一些经典的例子，如某些特殊函数的微分方程，或者一些重要的非线性微分方程（如Painlevé方程），以及如何应用微分伽罗瓦理论来分析它们，充满好奇。如果书中还能提及一些该理论在现代数学研究中的前沿进展，那我将感到非常欣喜。

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当我第一眼看到这本书的名字——“Lectures on Differential Galois Theory”，我就被它所吸引了。我一直认为，数学理论的学习，尤其是一些较为抽象的领域，最有效的方式就是通过“讲座”的形式，它意味着有逻辑的组织、有重点的讲解，以及由浅入深的引导。我希望这本书能够为我开启一扇通往微分伽罗瓦理论的大门，让我能够系统地了解这个理论的根基。我特别期待书中能够清晰地介绍“微分域”的概念，以及如何在微分域上定义“微分同构”和“微分伽罗瓦群”。我希望能够理解，这个“微分伽罗瓦群”究竟是如何反映微分方程的对称性的，以及它与方程解的某些性质，比如解的代数结构、可积性等，有着怎样的内在联系。我也对书中是否会介绍一些具体的、经典的微分方程，以及如何运用微分伽罗瓦理论来分析它们，感到非常好奇。例如，是否会讨论一些具有特殊函数解的微分方程，以及它们的伽罗瓦群呈现出怎样的特征？如果书中还能触及一些与复几何、代数几何等相关领域的研究，那将为我提供更广阔的视野。

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这本书的装帧质量给我留下了非常深刻的印象，纸张的触感和页面的韧度都恰到好处，翻阅起来有一种令人愉悦的质感。作为一名对数学史和理论发展脉络很感兴趣的读者，我非常关注一本书的“成书背景”以及它在整个学术领域中所扮演的角色。我对“Lectures on Differential Galois Theory”这个书名本身就充满了好奇。它暗示着这本书不仅仅是内容的堆砌，更可能是一种教学思想的体现，一种引导读者逐步理解复杂概念的“授课”过程。我特别期待书中能够清晰地阐述微分伽罗瓦理论是如何从解决代数方程的伽罗瓦理论中汲取灵感，并进一步发展出适用于微分方程的理论框架的。我想要了解，微分方程的“解”在伽罗瓦理论的视角下，会呈现出怎样的结构和对称性？书中是否会深入探讨哪些具体的微分方程类，例如线性微分方程，在微分伽罗瓦理论的框架下，其解群具有怎样的代数性质？此外，我还希望书中能够涵盖一些现代的进展，比如与李群、代数群的联系，以及它在其他前沿数学领域，如代数几何、复几何甚至物理学中的潜在应用。如果这本书能提供一些引导性的练习题或者思考题，帮助我巩固理解，那就更加完美了。

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