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出版者:

作者:李大明 编

出品人:

页数:347

译者:

出版时间:2010-2

价格:38.00元

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isbn号码:9787302217329

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《矩阵分析与应用》 内容概要 本书旨在为读者提供一个全面而深入的矩阵理论框架，重点关注矩阵的分解、特征值理论、矩阵函数以及在现代科学与工程领域中的实际应用。它不仅仅是一本纯粹的数学著作，更是一座连接抽象理论与实际问题的桥梁，旨在培养读者严谨的数学思维和解决复杂问题的能力。 第一部分：基础理论与矩阵分解 第一章：矩阵代数回顾与基础概念 本章首先回顾了线性代数中关于向量空间、线性变换、基和维度的基本概念，为后续更深入的分析奠定基础。我们将详细阐述矩阵的乘法、转置、迹与行列式。重点讨论矩阵的秩（Rank）的概念，以及它与线性方程组解的存在性和唯一性之间的内在联系。范数理论是本章的另一个核心，我们引入向量范数（如 $L_1, L_2, L_{infty}$ 范数）和矩阵范数（如 Frobenius 范数、诱导范数），并讨论这些范数在线性系统误差分析中的重要作用。此外，我们将引入内积空间的概念，并阐述施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，这是理解后续正交分解的关键步骤。 第二章：矩阵的线性方程组求解 本章聚焦于 $Ax=b$ 形式的线性方程组的数值求解。我们不再仅仅停留在理论解法，而是深入探讨实际计算中的挑战，如病态系统（Ill-conditioned systems）的处理。高斯消元法及其带部分选主元（Partial Pivoting）的稳定性分析是本章的起点。随后，我们将介绍 LU 分解（LU Decomposition），包括 Doolittle 和 Crout 算法，并探讨其在求解多个右端向量问题时的效率。对于对称正定系统，Cholesky 分解因其高效性和稳定性而被详细介绍。本章还会涉及矩阵的条件数（Condition Number）的计算及其意义，作为衡量系统稳定性的重要指标。 第三章：正交矩阵与最小二乘问题 正交矩阵在保持长度和角度方面的重要性使得它们在数值计算中扮演核心角色。本章深入探讨了正交矩阵的性质，特别是 QR 分解（QR Decomposition）。QR 分解通过 Householder 反射和 Givens 旋转两种主要方法实现，我们将详细比较这两种方法的计算复杂度和适用场景。QR 分解的直接应用是解决超定系统中的最小二乘问题（Least Squares Problems）。我们将推导最小二乘解的几何意义（投影原理），并使用 QR 方法求出精确解，同时分析其相较于正规方程组解法的数值稳定性优势。 第二部分：特征值理论与稳定性分析 第四章：特征值、特征向量与相似性 特征值与特征向量是理解矩阵动态行为和结构特性的核心工具。本章重新审视这些概念，并引入相似变换（Similarity Transformations）的概念，探讨如何通过相似变换将复杂矩阵转化为更易于分析的对角矩阵或拟对角矩阵。我们将详细分析特征值问题在微分方程、动力系统中的应用。对于不可对角化的矩阵，Jordan 标准型（Jordan Canonical Form）的理论结构将被清晰阐述，尽管其数值计算的困难性也会被提及。 第五章：矩阵的奇异值分解 (SVD) 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）被誉为矩阵分析中最强大的工具之一，它适用于任意矩阵（无需方阵或对称性）。本章将详细推导 SVD 的存在性，阐述奇异值与特征值的关系。我们将深入探讨 SVD 在低秩近似（Low-Rank Approximation）、数据压缩（如主成分分析 PCA 的基础）中的应用。SVD 还可以用于更稳健地求解最小二乘问题，即计算矩阵的 Moore-Penrose 伪逆（Pseudoinverse），并分析伪逆在解决欠定和超定系统中的作用。 第六章：特征值的数值计算 理论上的特征值计算往往不具有可行性，因此本章专注于迭代算法。我们将从幂法（Power Iteration）开始，讨论它如何找到最大特征值，并引出反幂法（Inverse Iteration）及其与求解特定特征值或特征向量的联系。然后，我们将介绍 QR 算法，这是目前计算特征值最可靠和广泛使用的方法。本章会区分 QR 算法的无平移（unshifted）和带平移（shifted）版本，并讨论如何通过 Hessenberg 约简来显著提高 QR 算法的效率。最后，我们将简要介绍 Lanczos 算法，特别是在处理大型稀疏矩阵时的优势。 第三部分：矩阵函数与稳定性 第七章：矩阵函数 矩阵函数（如 $e^A, sin(A), A^{-1}$）在解决常微分方程初值问题（指数映射）和概率论中至关重要。本章首先介绍矩阵函数的定义，主要通过泰勒级数展开。随后，重点讨论通过对角化矩阵来计算矩阵函数的方法。对于不可对角矩阵，我们将探索使用 Jordan 形式和 Hermite 插值多项式的方法来定义和计算矩阵函数。特别是矩阵指数的计算，我们将对比直接级数求和法、Pade 近似法以及基于 Scaling and Squaring 策略的高效算法。 第八章：矩阵的稳定性与扰动分析 在实际计算中，所有输入数据和计算过程都带有误差。本章探讨矩阵问题的数值稳定性。我们将区分病态问题（固有困难）和不适定算法（计算方法选择不当）。重点分析线性方程组解 $x$ 对微小输入扰动 $Delta b$ 的敏感性，这直接由矩阵的条件数决定。对于特征值问题，我们将引入 Bauer-Fike 定理来估计特征值对矩阵微小扰动的敏感程度，揭示某些矩阵的特征值可能非常不稳定。 第九章：迭代方法基础 对于超大型或稀疏矩阵系统，直接求解方法（如 LU 分解）的内存和时间开销往往不可接受。本章转向迭代求解方法。我们将详细介绍雅可比（Jacobi）方法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法，并分析它们的收敛条件和速率。随后，我们将引入更现代的 Krylov 子空间方法的基础，包括 Arnoldi 迭代和 Lanczos 迭代，为求解大型稀疏线性系统 $Ax=b$ 和特征值问题提供高效工具。 附录：优化理论简介 本附录简要介绍了与矩阵分解相关的优化问题，特别是基于梯度的优化思想在求解最小二乘问题中的应用，以及共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的原理，作为连接矩阵分析与优化计算的桥梁。 本书的编写风格力求清晰、严谨，结合丰富的实例和图表解释抽象概念，帮助读者不仅理解“如何计算”，更理解“为何如此计算”及其背后的数学原理和数值限制。

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我一直认为，线性代数是通往许多高级数学和计算科学领域的一把钥匙，而《数值线性代数》这本书，则是在这个基础上，为我们提供了如何高效、准确地使用这把钥匙的指南。在阅读到关于矩阵的条件数和病态问题时，我深刻地体会到了数值计算的复杂性。书中对这些概念的清晰阐述，以及如何通过选择合适的算法和预处理技术来缓解病态问题带来的影响，让我受益匪浅。例如，对于一些接近奇异的矩阵，直接使用高斯消元法可能会产生巨大的误差，而选择迭代法并结合预条件子，则能够大大提高解的精度和稳定性。我非常期待书中对各种预条件子的详细介绍，以及它们在实际应用中的选择策略。此外，书中对特征值问题的讨论，也让我认识到，求特征值不仅仅是理论上的一个计算过程，更需要考虑算法的收敛速度、精度以及对不同矩阵类型的适应性。这本书的实用性，体现在它不仅讲解了“是什么”，更教会了我们“如何做”，以及“为什么这样做”。

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作为一名对数据科学和统计建模感兴趣的学生，《数值线性代数》这本书为我打开了理解底层算法的新视角。在很多高级统计方法和机器学习算法中，线性代数的原理和数值计算方法是必不可少的。例如，在主成分分析（PCA）中，我们依赖于协方差矩阵的特征值分解来找到数据的主要变异方向。这本书对特征值问题的深入探讨，为我理解PCA的数学基础提供了坚实支撑。同时，书中对矩阵的条件数和奇异值的讲解，也帮助我理解了为什么有些模型容易过拟合，或者为什么某些数据预处理步骤（如特征缩放）是必要的。我对书中可能包含的关于“病态”矩阵处理技术的讨论充满期待，这些技术对于在实际数据分析中获得稳定可靠的结果至关重要。我也希望书中能够提供一些关于数值方法在统计推断（如最小二乘法估计）中的应用案例，这样可以更好地将理论知识与实际应用联系起来。这本书的严谨性和全面性，让我相信它将成为我在数据分析领域的一本常备工具书。

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我在翻阅《数值线性代数》的过程中，对其在高性能计算（HPC）领域的应用潜力感到尤为兴奋。现代科学研究和工程仿真往往需要处理海量数据和极其复杂的模型，而其中绝大多数都离不开大规模的矩阵运算。这本书关于并行计算和分布式计算在矩阵运算中的应用，可能是其核心价值之一。例如，如何将高斯消元法或QR分解等算法有效地映射到多核处理器或GPU上，以实现计算加速，这对于解决实际问题至关重要。我期待书中能够探讨一些关于矩阵分解的并行实现策略，以及它们在不同硬件架构下的性能表现。此外，对于大型稀疏线性系统的求解，迭代法在并行环境下的效率提升是研究的重点。书中对共轭梯度法及其变种在并行环境下的实现和优化，将为我提供宝贵的指导。理解如何平衡计算精度、通信开销和并行效率，是构建高性能数值线性代数求解器的关键。这本书的理论深度和对实际计算挑战的关注，让我相信它将成为HPC领域研究人员的有力助手。

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这本书的书名是《数值线性代数》，尽管我还没来得及完全深入研读，但从初步翻阅和对内容的整体感知来看，它无疑是一本具有深度和广度的专业著作。首先，书的装帧设计就给人一种严谨、可靠的感觉，纸张的质感不错，排版清晰，即使是面对复杂的数学公式，阅读起来也相对舒适。从目录上看，涵盖了从基础的向量、矩阵运算，到更高级的特征值问题、奇异值分解、矩阵分解方法（如QR分解、LU分解、SVD等），以及迭代法等核心内容，这让我对接下来的学习充满了期待。我尤其关注那些在实际应用中出现的“病态”问题，例如矩阵的条件数以及如何处理它们，这在科学计算和工程领域至关重要。作者在介绍这些概念时，是否能够深入浅出，提供直观的理解，并且辅以实际案例，将是这本书给我留下深刻印象的关键。线性代数作为许多科学和工程学科的基石，其数值计算方法更是现代算法的核心。这本书的出现，无疑为希望在计算数学、数据科学、机器学习等领域深造的读者提供了一份宝贵的参考。我对作者在算法的效率、稳定性和收敛性方面的讨论尤为好奇，这些是衡量数值方法好坏的关键指标。希望书中能够提供清晰的理论推导，并辅以易于理解的伪代码或实际编程实现示例，这样才能真正将理论转化为实践。

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我对《数值线性代数》这本书的期待，很大程度上源于它在数值优化和机器学习领域日益增长的重要性。在处理大数据和复杂模型时，线性代数中的矩阵运算往往成为计算瓶颈。这本书的价值在于它提供了解决这些问题的有效工具和深刻的理论基础。我特别关注书中对大规模矩阵运算优化的讨论，例如如何利用矩阵的稀疏性、低秩性或者特定的结构来设计更高效的算法。书中关于矩阵填充（Matrix Completion）和低秩近似的章节，对我来说具有极大的吸引力，因为这些技术是解决许多现实世界问题（如推荐系统中的用户评分预测）的关键。此外，作者对不同数值算法的误差分析和稳定性讨论，也让我对算法的可靠性有了更深的认识。理解算法的误差来源，如截断误差、舍曲误差，以及如何通过算法设计来控制和减小这些误差，是成为一名合格的计算科学家必备的技能。这本书显然在这方面下了很大功夫，提供了详细的理论证明和直观的解释，帮助读者构建起对数值稳定性的全面认知。

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我最近开始阅读《数值线性代数》，虽然才刚起步，但已经能感受到这本书的扎实功底和作者的匠心独运。从前几章的内容来看，作者在讲解线性系统的求解方面，着重阐述了直接法（如高斯消元法、LU分解）和迭代法（如雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代）的原理、优缺点以及适用场景。这部分内容的详尽程度让我印象深刻，不仅仅是公式的堆砌，而是对每种方法的计算复杂度、数值稳定性以及对不同类型矩阵的敏感性都有细致的分析。例如，在讨论高斯消元法的过程中，作者特别强调了“主元法”的重要性，这对于避免在计算过程中出现除以零或除以非常小的数而导致结果不准确的情况至关重要。此外，书中对矩阵的条件数以及它如何影响解的精度，也进行了深入的探讨，这对于理解数值计算中的“病态”问题非常有帮助。我一直对如何高效且准确地求解大规模线性系统抱有浓厚的兴趣，尤其是在处理稀疏矩阵时，迭代法往往比直接法更具优势。因此，我非常期待书中后续关于共轭梯度法、广义最小残量法（GMRES）等高级迭代方法的介绍，希望能够了解它们在实际应用中的性能表现和理论基础。这本书的理论严谨性和实践指导性并存，是我在数值线性代数领域寻找的理想读物。

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《数值线性代数》这本书所涵盖的内容，对于理解现代信号处理和图像识别技术至关重要。我尤其关注书中关于矩阵分解技术在这些领域中的应用，例如，如何利用SVD进行数据降维，去除冗余信息，以及在图像去噪和压缩中发挥作用。书中对SVD的几何解释，即将其看作是对数据进行旋转、缩放和再旋转的过程，为我提供了直观的理解。此外，我也对书中可能包含的关于矩阵近似和插值方法的讨论很感兴趣，这些技术在信号恢复和图像修复等问题中非常关键。例如，如何从部分观测数据中重建完整的信号或图像，这往往需要求解一个不适定问题，而数值线性代数的工具是解决这类问题的核心。我对书中关于算法的稳定性分析和误差传播的讨论也寄予厚望，这些知识能够帮助我在实际应用中更好地评估算法的可靠性，并选择最适合特定任务的数值方法。这本书的理论深度和实践指导性相结合，为我学习和应用这些先进技术提供了坚实的基础。

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《数值线性代数》这本书给我留下的第一印象是其内容的系统性和深度。在初步浏览了关于矩阵分解的部分后，我对其在数据压缩和降噪方面的应用产生了浓厚的兴趣。特别是奇异值分解（SVD）在近似低秩矩阵方面的能力，这对于从含有噪声的数据中提取关键信息非常有帮助。书中对SVD的详细推导和解释，包括其与矩阵的几何意义的联系，让我对其理解更加透彻。我一直对如何从高维数据中找到低维的表示感兴趣，而SVD无疑是实现这一目标的重要工具。此外，书中对QR分解和Cholesky分解的讨论，也让我认识到不同分解方法在数值稳定性和计算效率上的差异，以及它们各自适用的应用场景。例如，QR分解在最小二乘问题求解中的应用，以及Cholesky分解在求解对称正定线性系统中的效率。这本书不仅仅是列出算法，而是深入分析了算法背后的数学原理和实际效果，这种“知其然，更知其所以然”的讲解方式，对于提升读者的理解能力非常有益。

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《数值线性代数》这本书的章节安排非常合理，它循序渐进地引导读者进入这个既重要又有些抽象的领域。我在阅读关于特征值和特征向量的章节时，被作者的讲解方式深深吸引。不仅仅是罗列了幂法、反幂法、QR算法等经典方法，更重要的是，它深入剖析了这些算法背后的数学原理，以及它们如何处理不同类型的特征值问题。例如，QR算法的稳定性以及它如何通过迭代收敛到上Hessenberg矩阵，进而求得特征值，这个过程的梳理清晰明了。同时，我也非常欣赏作者对奇异值分解（SVD）的讲解。SVD作为一种强大的矩阵分解技术，在降维、推荐系统、图像处理等众多领域都有着广泛的应用。书中对SVD的定义、计算方法（通常通过A^TA或AA^T的特征值求解）以及其几何意义的阐释，都让我豁然开朗。它不仅揭示了SVD如何揭示矩阵的内在结构，还解释了它在处理“病态”问题和近似低秩矩阵时的强大能力。我一直认为，理解一个数学概念，关键在于理解它的“为什么”和“怎么做”，这本书在这方面做得相当出色，让我不仅学会了方法，更理解了方法背后的思想。

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这本书名《数值线性代数》本身就预示着它将深入探讨如何在计算机上有效地执行线性代数运算。我阅读的初期，对书中关于求解线性方程组的方法进行了初步了解。作者在介绍高斯消元法时，不仅给出了算法的步骤，还深入分析了其计算复杂度和对数值精度的影响。特别是在讨论主元选择时，我领略到了为了避免数值不稳定而进行的精妙设计。随后，在阅读到矩阵分解（如LU分解、QR分解）部分时，我更是被这些方法的强大和优雅所折服。它们不仅是求解线性系统的有效手段，更是理解和分析矩阵性质的强大工具。我一直对这些分解方法在各种优化问题和统计建模中的应用感到好奇，例如，QR分解在最小二乘回归中的应用，以及LU分解在求解大规模稀疏系统中的优势。这本书的价值在于，它能够将抽象的数学概念与实际的计算挑战联系起来，并通过严谨的推导和清晰的讲解，帮助读者建立起对数值线性代数原理的深刻理解，为后续更复杂的计算和建模打下坚实的基础。

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