A Computational Introduction to Number Theory and Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Victor Shoup

出品人:

页数:534

译者:

出版时间:2005-06-06

价格:USD 60.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521851541

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探索数字与结构：数学的奇妙旅程 这本书将带您踏上一段引人入胜的数学探索之旅，深入理解构成我们世界基石的两个核心领域：数论与代数。我们将从最基本的计数单位——数字——出发，逐步揭示其隐藏的奥秘与规律，同时展现抽象的代数结构如何赋予这些数字更深层次的意义与力量。 数论：数字的内在规律与美感 数论，被誉为“数学中的皇后”，研究的是整数的性质。虽然整数看似简单，但其内部却蕴藏着无数令人惊叹的模式和联系。本书将从最基础的数论概念入手，为您构建坚实的知识体系。 整除性与素数： 我们将深入探讨整除性这一核心概念，了解因数、倍数的定义，以及如何进行素因数分解。素数，那些只能被1和自身整除的神奇数字，它们是构建所有整数的基石。我们将学习识别素数的方法，了解素数分布的规律，以及它们在密码学等现代科技中的关键作用。例如，我们将接触到欧几里得的伟大的素数无穷性证明，体会数学推理的严谨与优雅。 同余与模运算： 同余是数论中一个极其重要的概念，它让我们能够将整数的世界“折叠”起来，关注数字在特定模数下的行为。我们将学习同余的性质，以及模运算在时钟计算、日历推算等生活实例中的应用。中国剩余定理将是我们的重要学习内容，它展示了如何解决一系列同余方程组，展现了数学解决复杂问题的能力。 数论函数： 欧拉 $phi$ 函数、莫比乌斯函数等数论函数，它们为我们研究数字的各种性质提供了有力的工具。我们将了解这些函数的定义、性质以及它们在数论问题中的应用，例如欧拉定理的证明，以及它们如何与素数分布建立联系。 二次剩余与平方和： 我们将探索数字的平方性质，学习如何判断一个数是否为二次剩余，以及哪些整数可以表示为两个平方数的和。这部分内容将涉及高斯整数等更抽象的概念，为我们理解数域的结构打下基础。 代数：抽象的结构与变换的力量 代数，是研究数学对象的结构、性质以及它们之间运算关系的学科。它通过抽象的符号和规则，为我们提供了描述和解决复杂问题的强大框架。 群论基础： 群是代数中最基本的结构之一。我们将学习群的定义、性质，以及各种常见的群，如对称群、置换群等。我们将理解群的子群、陪集、正规子群等概念，并学习同态和同构如何揭示不同群之间的深刻联系。群论在物理学、化学、计算机科学等众多领域有着广泛的应用，例如对称性分析和加密算法的设计。 环与域： 在群的基础上，我们将进一步学习环和域。环是具有加法和乘法运算的代数结构，而域则在此基础上进一步强化了乘法运算的性质。我们将研究多项式环、整数环等重要的代数结构，并理解域的性质，例如有限域在密码学和编码理论中的关键作用。 线性代数导论： 向量空间是代数中的另一重要概念，它为我们提供了研究线性关系和变换的框架。我们将学习向量、线性组合、线性无关、基等基本概念，并理解线性方程组的解法以及矩阵的性质。矩阵在计算机图形学、数据分析、机器学习等领域有着不可替代的地位。 域扩张与伽罗瓦理论的初步接触： 本书还将为我们打开通往更高级代数领域的大门，初步接触域扩张和伽罗瓦理论。我们将了解如何构建新的数域，以及伽罗瓦理论如何连接多项式的根与域的自同构群。这将为我们理解多项式方程的可解性以及高等几何提供深刻的见解。 融会贯通：数论与代数的交织 本书的魅力之一在于其对数论与代数之间深刻联系的展现。许多数论问题可以通过代数的工具来解决，反之亦然。例如，代数数论将代数的概念应用于数论问题，而数域的结构也对数论性质的理解至关重要。我们将看到，抽象的代数结构如何为理解数字的内在规律提供全新的视角，而数论的各种性质也为代数结构的丰富性提供了不竭的源泉。 通过学习本书，您将不仅掌握扎实的数论和代数知识，更能培养严谨的数学思维、抽象推理能力和解决复杂问题的技巧。这是一段充满挑战但也极具回报的数学旅程，它将帮助您更深刻地理解数学的逻辑之美，以及它在现代科学技术中所扮演的关键角色。无论您是数学爱好者，还是希望在相关领域深入研究的学生，本书都将为您提供一个坚实的起点和宝贵的指导。

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坦白说，在翻开《A Computational Introduction to Number Theory and Algebra》之前，我对“计算”在数论和代数中的角色是有些模糊的。我一直认为它们是纯粹的理论学科，而“计算”更多是计算机科学的事情。然而，这本书彻底颠覆了我的认知。作者以一种非常巧妙的方式，将数论和代数的抽象概念与实际的计算过程紧密地结合在一起。他没有回避那些复杂的数学思想，但总是能找到一个具体的计算例子来阐释。比如，在介绍群论的“阶”的概念时，书中不仅给出了定义，还展示了如何通过重复应用群的运算来计算一个元素的阶，并用代码演示了在有限群中，这个过程总是有限的。这种直观的展示，比单纯的文字描述要深刻得多。在代数部分，书中对向量空间和线性变换的讲解，同样充满了计算的趣味。作者展示了如何用矩阵来表示线性变换，如何计算变换的矩阵表示，以及如何利用矩阵的性质来分析变换的几何效果。特别是我对书中关于多项式环和域的介绍印象深刻，通过计算多项式的除法，寻找多项式的根，以及理解域的结构，让我看到了代数在密码学和编码理论中的应用潜力。这本书不仅教会了我数学知识，更教会了我如何用计算的思维去理解和探索数学。

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我必须说，《A Computational Introduction to Number Theory and Algebra》这本书的出现，彻底改变了我过去对数论和代数学习的认知。我一直以为这些学科是纯粹的理论学科，充满了抽象的符号和复杂的证明，而“计算”在其中似乎只是一个辅助工具。然而，这本书却以一种前所未有的方式，将计算的视角贯穿了整个学习过程，并且巧妙地将数论和代数这两个领域联系了起来。作者在讲解数论时，非常注重算法的设计和实现。例如，在介绍素性检验和因子分解时，书中不仅讲解了相关的理论，还提供了各种算法的Python实现，并分析了它们的效率。这种“理论与实践并重”的方式，让我能够更深入地理解这些概念的精髓。在代数部分，书中同样以计算为导向，讲解了线性代数、群论、环论和域论等内容。例如，作者通过矩阵运算来阐释线性变换的几何意义，通过计算来构造有限域，并展示了这些代数结构在密码学中的应用。本书的讲解风格非常独特，它既保持了数学的严谨性，又融入了编程的趣味性，让我能够在一个充满挑战和乐趣的环境中，不断提升自己的数学素养。

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这本书给我的感觉就像是一个经验丰富的向导，带领我在数论和代数的奇妙世界里进行一场令人兴奋的探索。我过去对这两个领域一直怀有敬畏之心，但又不知如何下手。《A Computational Introduction to Number Theory and Algebra》的出现，则恰好解决了我的困惑。它并没有直接抛出艰深的公理和定义，而是从一些非常实际的计算问题出发，例如如何在计算机上高效地执行模运算，如何寻找两个数的最大公约数，以及如何利用这些基础工具构建更复杂的算法。这种“由易到难，由近及远”的教学思路，让我感到非常亲切和有动力。书中对数论的讲解，将理论知识与计算方法完美地结合。例如，在讲解欧几里得算法和扩展欧几里得算法时，作者不仅给出了算法的原理，还提供了易于理解的Python代码实现，并解释了它们在模逆元计算和中国剩余定理中的应用。在代数方面，书中对线性代数和群论的介绍也同样精彩，它通过计算来阐释抽象的概念，例如矩阵的运算，向量空间的基，群的结构等等。我特别喜欢书中对有限群的介绍，通过计算来探索群的性质，让我能够直观地感受到群的对称性和规律性。这本书让我真正体会到了数学的魅力，以及它在现代科技中的重要作用。

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这本书给我最大的感受是，它成功地将“计算”这个概念贯穿了整个数论和代数学习过程。我过去对代数和数论的印象，一直是抽象的符号、公理和证明，感觉离实际应用很远。但《A Computational Introduction to Number Theory and Algebra》彻底改变了我的看法。作者通过大量的代码示例，展示了如何用计算机来解决和探索这些数学问题。比如，在学习有限群的性质时，我不再仅仅是背诵拉格朗日定理，而是可以通过编写程序来枚举一个有限群的所有元素，计算它们的阶，查找子群，甚至验证群的交换律和结合律。这种“亲手操作”的体验，让我对抽象概念的理解更加深刻和具体。在数论部分，作者深入讲解了模算术的各种应用，从简单的模幂运算到更复杂的椭圆曲线密码学。他提供的Python代码不仅可以直接运行，而且结构清晰，易于修改和扩展，这让我不仅学会了理论知识，还掌握了将理论转化为实际应用的技能。尤其是书中对多项式环的介绍，通过计算多项式的gcd，进行多项式的除法，以及探索多项式环的性质，都让我看到了代数在计算科学中的重要地位。这本书让我意识到，数学不再是高高在上的象牙塔，而是可以融入到我们日常的计算和创造中的强大工具。

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我必须承认，在开始阅读《A Computational Introduction to Number Theory and Algebra》之前，我对“计算”在数论和代数领域的真正意义并没有一个清晰的认识。我总是觉得，这些领域更侧重于抽象的证明和逻辑推理。然而，这本书彻底改变了我的看法。作者以一种非常独特的方式，将计算的视角引入到这两个数学分支中，使得那些原本可能显得晦涩难懂的概念变得生动而具体。在数论部分，书中详细介绍了如何利用算法来解决数论问题，比如如何高效地计算大素数，如何分解大整数，以及如何实现各种加密和解密算法。作者提供的Python代码示例，不仅能够运行，而且结构清晰，易于理解，让我能够亲手去实现和验证这些算法。特别是关于离散对数问题以及其在密码学中的应用，书中对其计算方法的介绍，让我对这一核心概念有了更深入的理解。在代数部分，这本书同样毫不逊色。它将抽象的群、环、域的概念，与具体的计算操作相结合，例如如何构造有限域，如何计算域中的元素，以及如何利用这些结构来设计安全的密码系统。本书的讲解方式，让我能够真正地“玩转”数学，而不仅仅是“学习”数学。

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对于我这样一个希望深入理解数学但又容易被纯理论吓倒的读者而言，《A Computational Introduction to Number Theory and Algebra》无疑是一次极其宝贵的学习经历。这本书的独到之处在于，它巧妙地将数论和代数这两个看似独立但实则紧密关联的领域，通过“计算”这一核心线索，有机地编织在一起。作者在讲解数论时，并没有止步于公理和定理的罗列，而是非常注重展示这些概念是如何在实际计算中得以应用的。例如，在介绍费马小定理和欧拉定理时，书中提供了高效计算模幂的算法，并解释了它们在加密技术中的关键作用。这些具体的计算示例，让我在理解理论的同时，也看到了数学的实际价值。转到代数部分，书中对线性代数和群论的阐述同样充满了计算的智慧。作者通过Python代码演示了矩阵的加减乘除、求逆、特征值分解等操作，并解释了这些操作背后的几何和代数意义。更让我印象深刻的是，书中还探讨了多项式环的性质，以及如何在有限域上进行计算，这为理解现代密码学和编码理论奠定了坚实的基础。本书的讲解风格非常吸引人，它既有数学的严谨性，又不失编程的趣味性，让我能够在一个轻松愉快的氛围中，不断挑战和拓展自己的知识边界。

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我必须说，这本书的编排和内容设计简直是为我量身定做的。作为一个对数字和逻辑有着浓厚兴趣，但又不太喜欢枯燥理论推导的读者，这本书简直是我的救星。它没有一开始就抛出令人头晕的公理和定理，而是从一些非常基础的计算性问题出发，比如如何高效地计算两个大数的最大公约数（GCD），如何进行模幂运算，这些都非常贴近实际应用。然后，它很自然地将这些计算与更深层次的数论概念联系起来，例如欧几里得算法如何保证了模逆元的存在，以及中国剩余定理如何解决多重模方程组。这种“由表及里”的学习方式，让我感到非常容易接受。而在代数部分，书中也没有回避线性代数中的核心概念，但同样是以计算为导向。例如，在讲解矩阵和向量时，作者通过Python代码演示了如何进行矩阵乘法、求逆、计算行列式，以及如何利用这些工具来解决线性方程组。更让我惊喜的是，书中还介绍了如何利用矩阵来表示线性变换，以及如何通过矩阵的特征值和特征向量来理解变换的几何意义。这些都是我在其他教材中难以找到如此直观且易于实践的讲解。这本书让我深刻体会到，数学的学习不仅仅是理解理论，更是要掌握运用理论解决问题的能力。

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我一直认为，学习数学最好的方式就是“动手”，而《A Computational Introduction to Number Theory and Algebra》正是这样一本鼓励你去“动手”的书。它将枯燥的理论转化为一系列可执行的代码，让我能够亲身去体验和验证那些抽象的数学概念。在数论方面，书中关于模算术的讲解，从最基础的模加、模乘，到更复杂的模幂运算，再到利用扩展欧几里得算法计算模逆元，以及最终在RSA加密算法中的应用，整个过程都伴随着清晰易懂的Python代码。我能够直接运行这些代码，修改参数，观察结果，这种互动式的学习体验，让我对这些概念的理解不再停留在表面。同样，在代数部分，书中对线性代数和群论的讲解，也是以计算为核心。例如，作者通过代码演示了如何进行向量加法、标量乘法，如何计算矩阵的秩，如何求矩阵的逆，以及如何利用这些工具来解决线性方程组。关于群的表示，书中也提供了一些示例，展示了如何用矩阵来表示群的元素，以及如何进行群的运算。这种将理论与实践紧密结合的方式，让我感到非常高效和充实。

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这本书真是意外的惊喜！我之前对数论和代数这两个领域都只有非常模糊的概念，知道它们很重要，但具体有什么关联，又该如何入门，一直是个难题。市面上相关的书籍，要么过于理论化，让我望而却步，要么过于浅显，无法深入。而这本《A Computational Introduction to Number Theory and Algebra》则完美地填补了我的认知空白。作者巧妙地将抽象的数学概念与具体的计算方法相结合，让我能够通过实践来理解理论。比如，在讲解群论的时候，书中不仅仅是罗列了定义和定理，而是通过Python代码示例，演示了如何构造不同的群，如何计算群的阶，如何判断元素的阶数，甚至是如何进行群的同态映射。这些计算过程让我对群的结构有了直观的感受，不再是冷冰冰的符号堆砌。更让我惊喜的是，书中还提到了许多数论在现代密码学中的应用，例如RSA算法的原理，以及如何利用有限域进行编码。这让我深刻体会到数学的强大力量，以及学习这些理论的实际意义。对于我这样的初学者来说，能够在一开始就接触到如此实用且有趣的知识，极大地激发了我继续深入学习的动力。书中的讲解层次分明，逻辑清晰，即使是一些非常复杂的概念，在作者的细致讲解下也变得易于理解。特别是那些代码示例，不仅能够帮助我理解概念，还能直接上手实践，让我有一种“学以致用”的满足感。我迫不及待地想继续探索书中更多的精彩内容。

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我对这本书的整体印象是：严谨又不失趣味，理论与实践并重。作为一名对数学有一定兴趣但非专业背景的读者，我一直在寻找一本能够带领我进入数论和代数世界的桥梁。这本书正是这样一本让我欣喜若狂的宝藏。它不像一些经典的“圣经”那样，一开始就抛出艰深的定义和定理，而是从一些基本的计算入手，循序渐进地引导读者进入更复杂的领域。例如，在介绍同余运算时，作者并没有仅仅停留在“a ≡ b (mod n)”这个公式上，而是通过计算最大公约数（GCD）的欧几里得算法，引出了模逆元的存在性，并最终连接到中国剩余定理。这些计算过程就像一把钥匙，打开了通往数论更深层奥秘的大门。书中的代数部分同样精彩，作者以向量空间为起点，讲解了线性变换，并巧妙地将其与矩阵运算联系起来。我尤其喜欢书中关于矩阵分解的部分，例如SVD（奇异值分解）的介绍，它不仅解释了理论基础，还提供了Python实现，让我能够直观地看到一个矩阵是如何被分解成三个更简单的矩阵，以及这些分解的意义。这种“动手能力”的培养，对于理解抽象的数学概念至关重要。此外，本书在讲解过程中，不时穿插了一些历史故事和实际应用，例如费马小定理在密码学中的作用，以及伽罗瓦理论在解方程中的地位。这些“花絮”不仅让阅读过程更加轻松有趣，也让读者能够从更广阔的视角理解数学的价值。

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看过电子版的，研究密码学必须看的经典数学书。如今看到纸质版的了。

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【电子书】Victor shoup写的，就是一本从密码学角度写的代数书，很棒。

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