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出版者:Dover Publications

作者:Louis Brand

出品人:

页数:574

译者:

出版时间:2006-1

价格:USD 29.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486445489

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• Calculus
• 微积分
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• 连续性
• 微分
• 积分
• 序列与级数

《高等微积分》是一部内容详实、逻辑严谨的数学著作，它深入探讨了微积分学的核心概念与高级理论。本书旨在为读者打下坚实的数学基础，并为进一步探索数学领域的其他分支做好准备。 全书围绕几个关键主题展开，首先是实数系统的精细考察。作者从公理化角度出发，详细阐述了实数的完备性、序关系以及代数结构。这部分内容是理解后续分析概念的基石，对诸如收敛性、连续性等重要性质的严格证明提供了必要的工具。读者将在这里接触到戴德金分割、柯西序列等经典概念，并理解它们如何在数学分析的宏伟蓝图中扮演关键角色。 接着，本书将笔触伸向序列与级数的理论。从基本的收敛性判别法，如比值判别法、根值判别法，到更复杂的阿贝尔判别法、迪里赫利判别法，本书都进行了深入浅出的讲解。对于交错级数，作者还详细分析了其敛散性，并引入了单调收敛定理等重要结论。此外，幂级数及其性质，如收敛半径的确定、函数的展开式等，也占据了相当大的篇幅，为理解函数逼近和复分析奠定了基础。 函数极限与连续性是本书的另一核心部分。在严谨定义极限的基础上，本书系统地探讨了函数的各种连续性概念，包括一致连续性、一致收敛性等。借助ε-δ语言，读者将学会如何对这些概念进行严格的数学证明，并理解它们在函数性质刻画中的重要作用。例如，有界性、介值定理、极值定理等经典结论的证明，都将在此得到详尽的阐述。 微分学部分，本书在经典单变量微分的基础上，大力拓展至多元微分学。链式法则的推广，雅可比矩阵的概念，以及高阶偏导数和泰勒公式在多元函数中的应用，都将被细致地解析。此外，隐函数定理和反函数定理的证明与应用，是理解和解决复杂多元函数问题的关键，本书对此进行了充分的讲解。定向导数和梯度等概念，也在此被引入，为后续的向量微积分打下铺垫。 积分学方面，本书深入探讨了黎曼积分的定义、性质及积分的计算方法。然后，重点转向了勒贝格积分。与黎曼积分相比，勒贝格积分具有更强的理论完备性和更广泛的应用范围。本书将详细介绍可测集、可测函数、以及勒贝格测度的概念，并在此基础上构建勒贝格积分的理论体系。收敛定理，如单调收敛定理、Fatou引理、占优收敛定理等，是勒贝格积分理论的核心，本书将对它们进行详尽的证明和应用讲解，这对于深入理解现代概率论、泛函分析等领域至关重要。 向量微积分是本书的另一重要组成部分。本书介绍了曲线积分、曲面积分以及体积分的概念，并阐述了格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理等基本定理。这些定理是联系向量场在不同维度上的积分性质的关键，它们在物理学、工程学等领域有着极其广泛的应用。本书将通过丰富的例子和证明，帮助读者深刻理解这些定理的几何意义和数学内涵。 度量空间与拓扑空间的概念，也将被引入。通过对度量空间的度量、开集、闭集、完备性等基本性质的探讨，读者将初步接触到抽象的拓扑概念。本书将在此基础上，介绍拓扑空间中的连续性、连通性、紧致性等重要性质，为理解更抽象的数学结构打下基础。 傅里叶级数与傅里叶变换的引入，展现了本书在应用数学方面的前瞻性。本书将详细讲解傅里叶级数如何表示周期函数，以及傅里叶变换如何将函数从时域映射到频域。这些工具在信号处理、偏微分方程的求解等方面具有核心地位。 本书的语言风格严谨而清晰，数学符号的使用规范准确。大量的例题和习题贯穿全书，旨在帮助读者巩固所学知识，并培养解决实际数学问题的能力。本书适合于数学、物理、工程等相关专业的本科生、研究生，以及对高等数学有浓厚兴趣的自学者。通过对本书的学习，读者将能够深刻理解微积分学的精髓，并为进一步的数学探索奠定坚实的基础。

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这本书在概念组织上的逻辑跳跃性，是我阅读体验中最大的痛点。它似乎默认读者已经对相邻学科的知识点了如指掌，导致章节之间的衔接极其生硬。比如，在介绍张量分析的时候，它突然插入了一段关于拓扑空间中微分流形的讨论，而且这段讨论非常简略，完全无法支撑后续的运算。如果作者想让读者掌握这些工具，就应该花足够的篇幅进行铺垫，而不是像一个急躁的导游，拉着你跑过一个又一个著名的景点，只给你五分钟时间拍照，然后催促你前往下一个地方。这种“蜻蜓点水”式的处理，使得我对很多关键概念的理解始终停留在表层，缺乏深度挖掘的动力和基础。每次翻阅，都像是在应对一场突击检查，总有那么几个关键的定义或定理，因为没有在合适的时间点被充分强调，而导致我在后续的阅读中感到步履维艰。这本书更像是顶尖学者之间的“私语”，充满了行业内的黑话和默认知识，对于试图走进来的人来说，门槛高得有些不近人情。

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坦白说，这本书的装帧质量也配不上它所承载的内容。纸张的厚度非常感人，以至于我感觉它随时可能因为我的频繁翻阅而散架。更糟糕的是，墨水的使用似乎非常节俭，很多印刷出来的符号，尤其是那些带有上标或下标的复杂表达式，在日光灯下看起来总是有种“影印不足”的模糊感。对于一门需要精确度要求极高的学科来说，阅读体验中的任何细微干扰都会被放大成巨大的学习障碍。我甚至怀疑，如果不是内容本身足够硬核，这本书的销量可能会更惨淡。它更像是一份早期的、未经现代工艺打磨的学术手稿被匆忙出版的样子。我期待的是一本能经得起时间考验、值得我放在书架上反复翻阅的经典之作，而不是一本让我时刻担心下一页会不会撕下来的“纸糊糊”。总而言之，这本书在形式上完全没有尊重读者投入的时间和精力，它在努力地把严肃的数学内容塞进一个廉价的躯壳里，而这种不匹配感，最终极大地消耗了我的学习热情。

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这本书的排版实在是一言难尽，简直像是把一堆复杂的公式和晦涩的定理硬塞进了A5的小开本里。我拿到手的时候，就感觉自己像是要挑战一座信息量过载的珠穆朗玛峰。首先，字体选择就非常让人费解，那些希腊字母和上下标混排在一起，有时候需要眯着眼睛才能分辨出哪个是变量，哪个是函数符号。更要命的是，它的例题和习题之间的对应关系处理得极其混乱，很多时候，读完一个理论部分，紧接着的习题就跳跃到了完全不同的应用场景，中间缺少了必要的过渡和铺垫。这让我感觉作者仿佛是按照自己的思维流程来组织内容的，完全没有顾及初学者的阅读体验。特别是涉及到多变量微积分和线积分的部分，图示的缺失简直是灾难性的，很多空间上的直观理解完全依赖于读者自己脑补，这对于需要视觉辅助的理工科学习者来说，是致命的缺陷。我不得不去网上搜索各种插图和动画来辅助理解那些抽象的概念，这无疑大大降低了使用这本书进行系统学习的效率和乐趣。如果说学习微积分本身就是一场艰苦的跋涉，那么这本书的糟糕设计，无疑是给你的鞋底钉上了铁蒺藜。

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从实用性角度来看，这本书的习题难度曲线简直是呈指数级爆炸的。前两章还算友好，勉强能跟着书本的节奏走一走，但一旦进入到高等微分方程和黎曼几何的交汇点时，难度陡然攀升，完全没有预警。我做完一套习题，感觉自己需要花双倍的时间去重新消化书中刚刚学到的理论，因为习题本身就是一套更为复杂的、未经简化的理论证明或极端应用场景。更让人沮丧的是，它提供的答案极其吝啬，很多复杂的推导步骤直接被省略了，只给出一个最终结果。这对于依赖反馈来修正理解路径的学习者来说，简直是宣判了“自学死刑”。难道我们就不能拥有一个能体现推导过程的参考答案吗？难道我们必须是已经掌握了所有技巧的天才，才能配得上这本书吗？它似乎完全没有考虑到学生群体中普遍存在的“卡住”状态，没有提供任何阶梯式的、由浅入深的练习路径。读完这本书，我可能会拿到一张证书，但我更可能得到的是对高等数学的深深的心理阴影面积。

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我花了整整一个星期的时间，试图去理解书中关于“泛函导数”那几个章节的内容，结果感觉自己的脑子像是被一个高速运转的搅拌机反复研磨过。这本书的语言风格极其刻板和冷峻，仿佛它不是一本旨在传授知识的教材，而是一份官方发布的、毫无情感波动的技术规范文档。每一个句子都堆砌着复杂的从句和限定词，试图做到逻辑上的绝对严谨，但最终的结果却是让读者在理解其核心思想之前，就已经被绕晕在语言的迷宫里了。举个例子，作者在定义一个看似简单的概念时，会用上三四行篇幅来穷尽所有可能的边界条件和特殊情况，这种“过度详尽”反而稀释了关键信息的冲击力。我非常怀念那些能够用简洁、富有洞察力的语言，一语道破事物本质的数学家们。这本书里，你找不到那种“啊哈！”的瞬间，取而代之的是持续不断的“嗯……等等，这又是什么意思？”的困惑。它更像是一本供研究人员查阅定义的工具书，而不是一本适合教学和自学的入门良品。它要求你带着极高的预备知识去阅读，否则你就是在跟一堵沉默的墙对话。

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