微积分（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:浙江大学出版社

作者:卢兴江　等

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:2013-9-1

价格:25.00元

装帧:平装

isbn号码:9787308048699

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现代数学思想的基石：深度解析经典代数与几何 本书聚焦于严谨的抽象代数和微分几何两大核心领域，旨在为读者构建一个坚实的数学理论框架。我们不涉及微积分（上册）中的基础概念如极限、导数和定积分，而是深入探讨更为抽象和结构化的数学分支。 第一部分：抽象代数——结构的精妙构造 本部分将带领读者领略代数结构的美感，理解集合在特定运算下所呈现出的内在规律。我们追求的不是计算技巧，而是对“结构”本身的深刻洞察。 第一章：群论基础与对称性的语言 本章从集合和二元运算的严格定义出发，引入群的四条公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）。我们详细阐述了群的同态与同构，这不仅仅是映射关系，更是结构在不同集合间的等价体现。 重点内容包括： 1. 子群与陪集： 深入探讨拉格朗日定理，理解有限群的阶与子群阶的关系，及其在解方程问题中的重要意义。 2. 正规子群与商群： 这是构造新结构的桥梁。我们将详细分析正规性的判定条件，并演示如何利用商群来简化复杂的群结构，例如整数模 $n$ 的加法群 $mathbb{Z}_n$ 的构造。 3. 置换群（对称群 $S_n$）： 作为最具体的群例子，我们探讨置换的轮换分解、对偶群（交错群 $A_n$），并初步接触伽罗瓦理论中置换群的核心地位。 4. 群作用： 阐述群如何作用于集合，并引出轨道-稳定子定理。该定理是连接群论和集合论的强大工具，广泛应用于组合计数和几何问题的分析中。 第二章：环论——代数运算的扩展 在群的基础上，本章引入第二个运算，构建环的结构。环是整数、多项式、矩阵等常见数学对象的抽象模型。 1. 环的定义与基本性质： 强调加法交换性（交换环）和乘法分配律。探讨零因子（Zero Divisors）的概念及其对环结构的影响。 2. 整环与域： 区分具有单位元、无零因子的环（整环）与所有非零元素都可逆的结构（域）。域是线性代数和伽罗瓦理论的基石。 3. 理想与商环： 类似于群中的正规子群，理想是环结构中进行“模运算”的关键。详细分析主理想、素理想和极大理想的层级关系。 4. 多项式环 $F[x]$： 侧重于在域 $F$ 上的多项式环，讨论其具有唯一分解性质（类比整数的唯一分解），并引入欧几里得整环的概念。 第三章：模论导引——线性结构的广义化 本章将群和环的结构提升到更具“线性”色彩的层面，为理解向量空间提供了一个更广泛的视角。 1. 模的定义： 将向量空间中“标量域”的概念推广为环，定义模。讨论模与向量空间的本质区别（环上的标量乘法不一定可逆）。 2. 子模、模同态与同构定理： 建立模论中的基本定理，这与线性代数中的基本定理是高度平行的。 3. 自由模与秩： 探讨自由模的构造，并介绍模的“秩”的概念，及其在非交换环上的复杂性。 --- 第二部分：微分几何——空间形态的度量与曲率 本部分完全脱离了离散和代数结构，转而探索连续空间（流形）的局部性质和整体拓扑，强调空间是如何“弯曲”的。 第四章：流形基础与切空间构造 本章为研究光滑对象奠定基础，不再局限于欧几里得空间 $mathbb{R}^n$。 1. 拓扑空间回顾： 简要回顾开集、闭集、紧致性、连通性等拓扑基本概念，强调其对“邻域”的定义。 2. 光滑流形定义： 引入图册（Atlas）和转移映射（Transition Maps）的概念，确保流形在局部看起来像 $mathbb{R}^n$，并要求转移映射是光滑的。 3. 切空间（Tangent Space）： 这是本章的核心。我们不使用极限或导数的直观概念，而是通过矢量场的定义来构造切空间 $T_pM$。一个矢量场被定义为作用于光滑函数环上的一个特定导子（Derivation）。 4. 矢量与一形式： 讨论切向量在局部坐标系下的分量表示，并引入微分形式（Differential Forms），作为切空间的对偶空间。 第五章：张量分析与外微分 张量是描述物理和几何量的多线性对象。本章专注于使用线性代数工具来处理几何对象。 1. 张量的定义与变换律： 严格定义 $(k, l)$ 型张量，并阐述其在坐标变换下的反变和协变分量行为。这确保了张量概念的几何独立性。 2. 外代数与楔积： 引入楔积（Wedge Product），这是反对称的张量积。它使得 $k$ 形式（$k$-forms）构成一个代数结构，即外代数 $Lambda(T^M)$。 3. 微分算子： 定义外微分 $d$ 算子，并证明其满足 $d^2 = 0$（这在代数上是平凡的，但在几何上意义深远）。我们详细考察 $d$ 在 0-形式（函数）、1-形式和 2-形式上的作用。 4. 流形上的积分： 讨论如何将 $n$ 维流形上的 $n$-形式进行推广的积分（不涉及黎曼积分的逐点逼近）。 第六章：黎曼度量与曲率的代数表达 本章引入度量，使得空间具有长度和角度的概念，从而可以谈论曲率。 1. 黎曼度量张量 $g$： 定义黎曼度量为光滑流形上的一个对称、正定的 $(0, 2)$ 型张量场。它允许我们计算任意两个切向量的点积。 2. 升降指标与共变微分： 利用度量张量，定义协变导数（或称联络 $ abla$），它允许我们在流形上“比较”不同点的切向量。重点在于Levi-Civita 联络的存在性和唯一性，它是无挠（Torsion-free）的联络。 3. 测地线方程： 在黎曼流形上，测地线是“直线”的推广，其加速度向量平行于自身。通过共变微分的性质推导出测地线方程。 4. 黎曼曲率张量： 利用联络的非可交换性来定义黎曼曲率张量 $R$。我们详细分析其代数恒等式（如第一和第二 Bianchi 恒等式），这些恒等式完全由度量张量的二阶和三阶偏导数决定，并且是衡量空间弯曲程度的内在代数标记。 通过以上六个章节的系统学习，读者将能够掌握现代数学中处理结构（代数）和研究空间几何性质（微分几何）所需的高级工具和严谨思维方式，完全避开了对初级微积分的依赖。

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我拿到这本书时，心里其实是充满期待的，毕竟“上册”意味着一个完整的体系即将展开。阅读过程中，我发现作者在选择例题和习题方面似乎有些偏科。大量的代数计算题占据了大部分篇幅，这些题目大多是围绕着导数和微分的公式直接套用，计算量很大，但对理解核心概念的帮助并不大。比如，关于函数图像的分析、拐点和极值点的判断，这类需要综合运用知识点的综合题型相对较少，感觉作者把重点放在了“算”而不是“想”上。我更倾向于那些需要结合实际问题进行建模、需要巧妙地运用微积分工具去解决实际挑战的习题。例如，探讨最短路径问题、最大化收益问题这类应用题，它们能真正检验我们是否掌握了微积分的精髓——即处理变化率和累积效应的能力。如果习题集能增加更多启发性的、需要跳出公式框架思考的题目，这本书的实用价值将远超现在的水平，它会从一本“计算手册”升级为一本真正的“思维训练工具”。

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这本书的封面设计挺吸引人的，那种深邃的蓝色调，配上简洁的白色字体，给人一种严谨又充满探索欲的感觉。我当初选择它，主要是冲着“微积分”这个标题来的，希望能系统地梳理一下高中阶段那些零散的知识点，构建一个坚实的理论基础。然而，当我翻开第一章时，感觉作者的叙事方式有点过于跳跃了。他似乎默认读者已经对极限和连续性有了相当的程度的理解，上来就直接抛出导数的定义，中间的铺垫和直观的几何意义的引入，讲得不够细致，让人有点摸不着头脑。比如讲到洛必达法则的应用场景时，书里只给出了几个纯粹的数学表达式，缺乏生活化的例子或者工程上的应用案例来佐证，这让初学者很难建立起“我为什么要学这个”的内在驱动力。感觉这本书更像是一本给已经有一定基础的数学系大二学生准备的参考书，而不是面向更广泛的、刚刚接触高等数学的读者的入门教材。我不得不时常停下来，去查阅其他更基础的资料来填补这些知识上的“盲区”，这极大地影响了阅读的流畅性。整体来说，它在严谨性上无可挑剔，但亲和力上确实欠缺火候。

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这本书的语言风格非常古朴和正式，每一个句子都像是经过精雕细琢的学术语言。初读时，我能感受到一种庄重感，仿佛正在阅读一部经典文献。作者对术语的界定极其精确，基本上不会出现语义上的歧义，这对于需要精确表达的数学学科来说，是至关重要的优点。但是，这种过于书面化的表达方式，使得一些基础概念的引入显得有些晦涩难懂。比如，当涉及到多变量函数的部分时，作者直接使用了偏导数的定义，但对于如何将“变化率”这个一维概念推广到高维空间，书中缺乏生动的类比或直观的几何图像辅助理解。我花了好大力气才在脑海中构建出那个“切平面”的概念。如果作者能用更口语化、更具画面感的语言，比如通过描述一座山丘在不同方向上的坡度来解释偏导数，相信能让更多对高等数学抱有畏惧心理的读者，更顺畅地迈入这个新领域的大门。

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这本书的排版和装帧质量确实是上乘，纸张的手感很舒服，油墨的印制清晰锐利，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到特别疲劳。我特别欣赏它在一些关键定理的论证部分的处理方式，逻辑链条非常清晰，每一步的推导都经过了严密的审视，几乎没有留下任何可以质疑的“飞跃”。比如在讲解定积分的黎曼和逼近过程时，作者用了好几页的篇幅，从小矩形的面积开始，一步步过渡到极限的符号表示，那种循序渐进、滴水不漏的讲解方式，让人不得不佩服其功力。然而，这种极致的严谨性也带来了一个副作用：过于注重形式上的证明，而相对忽视了概念背后的“直觉”培养。我希望看到更多关于微积分思想演变的历史背景介绍，例如牛顿和莱布尼茨各自的侧重点有何不同，或者某个概念在物理学中是如何被首次提出的。如果能在定理和公式的旁边，穿插一些精炼的历史小插曲或者数学家的思考路径，这本书的魅力一定会大大提升，因为它不仅仅是一堆公式的堆砌，更是一部人类智慧的结晶。

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我注意到这本书在章节的组织结构上，遵循了一种非常传统的、自下而上的数学体系构建方式。从实数系的完备性讲起，过渡到函数、极限、连续性，最后才到微分和积分。这种结构无疑保证了逻辑的严密性，就像建造一座摩天大楼，地基必须打得最牢固。然而，对于很多非数学专业的学生来说，一开始就花费大量篇幅去深入讨论实数完备性等分析基础，可能会显得过于沉重和枯燥，让人提不起学习的兴趣。我个人更喜欢那种“先见树木，再见森林”的教学法：先快速介绍微分和积分的核心思想及其在物理学中的初步应用（比如速度和位移），让读者先感受到微积分的强大威力，建立起学习的动力和目标感，然后再回过头来，系统地夯实那些基础理论的严谨性。这种先“用起来”，再“深究其理”的模式，或许能更好地平衡学术的深度与教学的广度，让更多的学习者能够坚持到最后，领略到微积分的真正魅力所在。

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