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出版者:科学出版社

作者:虞言林

出品人:

页数:244

译者:

出版时间:2007-3

价格:21.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030150189

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书名：《拓扑学基础与应用》 图书简介 本书旨在为读者提供一套严谨而深入的拓扑学入门与进阶教材。拓扑学，作为现代数学中一个极其活跃且影响深远的领域，研究的是空间在连续变形下保持不变的性质。它超越了传统欧几里得几何对距离和角度的依赖，转而关注点的连接性、区域的完整性以及空间的内在结构。本书从最基础的概念出发，逐步构建起一个清晰、逻辑严密的理论体系，旨在帮助读者建立起扎实的拓扑思维，并理解其在分析学、几何学乃至理论物理学中的广泛应用。 第一部分：点集拓扑学——空间的度量与结构 本书的开篇聚焦于点集拓扑学，这是理解所有更高级拓扑概念的基石。我们首先复习和推广了度量空间的概念，引入了更具普遍性的拓扑空间的定义。我们将详细探讨开集、闭集、邻域的性质，以及如何基于这些基本元素构造出各种重要的拓扑结构。 拓扑空间的构造与性质： 基础概念的辨析： 详细区分了各种拓扑性质，如分离公理（$T_1, T_2$ Hausdorff空间, $T_3$ 正则空间, $T_4$ 正规空间），并给出大量实例说明不同分离公理之间的蕴含关系和它们的几何直观意义。 连续性与拓扑同胚： 严格定义了拓扑空间之间的连续映射，并引入了至关重要的拓扑同胚概念，阐明了同胚作为拓扑学研究对象等价性的核心标准。我们将展示如何利用拓扑不变量（如连通性）来证明两个空间不发生同胚。 紧致性： 紧致性被认为是拓扑学中最深刻和最有用的性质之一。本书将从有限开复盖的定义出发，系统研究紧致性的基本性质，例如：闭子集在紧致空间中依然是紧致的，紧致空间的连续像仍然是紧致的。我们将重点讨论Heine-Borel定理在 $mathbb{R}^n$ 上的推广和其在函数分析中的重要作用。 连通性与构造： 连通空间与路径连通： 我们将清晰区分连通性和路径连通性，并探讨它们之间的关系。对于路径连通空间，我们引入了基本群的初步概念，作为衡量空间“洞”的拓扑不变量的首次亮相。 商空间（Quotient Spaces）： 这是构造复杂拓扑空间的关键工具。我们将详细介绍商拓扑的定义，并探讨如何通过粘合、切割等操作，如构造圆环、球面等经典拓扑空间，来理解商空间的性质。 第二部分：代数拓扑的初探——不变量的提取 在点集拓扑奠定基础后，本书转向代数拓扑，学习如何用代数工具（群、环等）来研究拓扑空间的结构特征。 基本群（Fundamental Group）： 这一部分是本书的重点之一。我们将详尽阐述路径、同伦、基本群的构造过程，并证明基本群是拓扑不变量。对于一些经典的例子——如圆周 $S^1$、环面 $T^2$、实射影平面 $mathbb{RP}^2$——我们将计算出它们的具体基本群，深刻展示该工具的威力，特别是 Brouwer 不动点定理在二维球面上的应用。 同调群（Homology Groups）的引入： 考虑到初学者的接受程度，我们不会深入复杂的链复形理论，而是采用较为直观的单纯形组合方法，引入单纯形、链、边界和同调群的概念。我们将展示如何利用同调群来区分拓扑结构，例如区分高维球面 $S^n$ 及其内部的球体 $D^{n+1}$，并简要提及欧拉示性数与同调群的关系。 第三部分：流形与微分结构 拓扑学与微分几何的交汇点在于流形的概念。 流形的定义与例子： 我们将精确定义流形（Manifolds），包括其拓扑结构要求（局部欧几里得性）和图册的概念。书中将深入分析常见的一维、二维和三维流形，如直线、圆、球面、环面、射影平面和克莱因瓶。 可定向性： 我们将讨论可定向性的概念，并利用基本群或覆盖空间理论来严格证明哪些流形是可定向的（如球面、环面），哪些是不可定向的（如克莱因瓶）。 覆盖空间： 覆盖空间的理论是连接点集拓扑和代数拓扑的桥梁。我们将探讨局部路径连通性和局部单连通性与覆盖映射之间的关系，并给出Narasimhan-Walker定理的概述，说明如何利用覆盖空间来理解流形的结构。 本书特色与目标读者： 本书的撰写风格力求严谨而不失清晰，注重几何直观与代数逻辑的平衡。每章节后均附有精心设计的习题，旨在巩固理论理解和培养解决问题的能力。 本书不仅适用于数学专业本科高年级和研究生，也适合于希望深入了解空间本质和现代几何学基础的物理学、计算机图形学、地理信息系统等相关领域的科研人员和工程师。通过阅读本书，读者将掌握分析和区分复杂空间结构所需的核心数学工具。 本书不涉及的内容提要： 为保持内容深度和聚焦性，本书不会深入探讨以下领域： 1. 黎曼几何和微分几何的细节（如张量分析、曲率计算）。 2. 更高级的代数拓扑工具（如纤维丛、谱序列、奇异上同调的高阶理论，如 De Rham 上同调）。 3. 低维拓扑学的专门主题（如纽结理论的深度分析）。 4. 拓扑动力系统或拓扑数据分析的具体应用算法。 本书将读者稳固地置于拓扑学的核心概念之上，为进一步探索更专业的几何学和拓扑学分支奠定坚实的基础。

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我必须承认，在翻开《解析几何》之前，我对这类书籍的印象一直停留在枯燥和乏味。然而，这本书的出版，完全颠覆了我的固有观念。作者的叙述风格非常独特，没有那种陈词滥调的学术腔调，而是充满了人文关怀和探索精神。他在讲解每个概念时，都喜欢追溯其历史渊源和发展脉络，例如，他在介绍二次曲线时，会提及古希腊数学家对圆锥曲线的研究，以及这些研究如何为后来的解析几何奠定了基础。这种做法不仅让知识更加丰满，也让我在学习过程中感受到了数学发展的厚重感。书中的例题设计得非常巧妙，既有基础的巩固练习，也有一些富有挑战性的思考题，能够有效地检验我是否真正理解了概念。更重要的是，作者在解答例题时，不仅仅给出了答案，更详细地阐述了解决问题的思路和方法，这对于我这样的自学者来说，简直是无价之宝。我尤其喜欢书中关于曲率和渐近线的内容，这些概念在表面上看起来很抽象，但在作者的笔下，却变得生动起来，我仿佛能“看见”曲线在变化，能“感受到”曲线如何趋近于直线。这本书让我明白，学习数学不是死记硬背，而是一个理解、感悟、探索的过程。

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我以一个普通读者的角度，来评价这本《解析几何》。这本书的优点在于其结构的严谨性和内容的深度。作者在讲解过程中，始终保持着数学的严谨性，每一个定义、每一个定理，都经过了充分的论证。同时，他也没有忽视对读者理解的关注，在复杂的推导过程中，会适时地插入一些解释性的文字，帮助读者理解思路。我特别欣赏书中关于解析几何与微积分结合的章节，作者展示了如何利用解析几何的方法来研究曲线的切线、法线、曲率等性质，这让我看到了不同数学分支之间的联系和协同作用。书中还包含了一些历史性的介绍，比如解析几何的发展历程，这让我对这门学科有了更深的理解。虽然书中包含了一些较为复杂的概念，但作者的讲解方式，使得这些概念并不显得过于难以逾越。

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一直以来，我对数学的认知都比较片面，认为它只是冰冷的数据和公式。直到我读了《解析几何》，我才意识到数学背后蕴含着的逻辑美和艺术感。这本书的文字功底非常深厚，作者的语言生动而富有感染力，他能够将复杂的数学概念转化为通俗易懂的语言，让我这个非数学专业背景的读者也能轻松理解。我特别喜欢他在讲解向量运算时，那种将代数运算与几何意义相结合的方式。当我看到向量的点积和叉积，不仅仅是数字的乘除和加减，更是两种不同意义下的“乘法”，前者表示两个向量的“相似度”，后者表示与两个向量都垂直的“新向量”，我仿佛被打开了新世界的大门。书中对各种变换的讲解，也让我印象深刻，平移、旋转、缩放，这些看似简单的操作，在解析几何中却有着深刻的数学内涵，作者通过生动的图示和清晰的推导，让我明白了这些变换是如何改变图形的，又如何在代数式中体现出来。

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在我眼中，《解析几何》这本书不仅仅是一本数学教材，更像是一本关于“空间语言”的科普读物。作者以一种极其耐心且富有洞察力的方式，揭示了数学如何能够将我们肉眼可见的现实世界，通过数字和符号的方式进行精确的描述和分析。他对直线方程的讲解，不仅仅是公式的堆砌，更像是在教我如何用数学的语言来“对话”一条线。斜率的几何意义，截距在坐标系中的位置，这一切都通过作者细致的阐释，变得无比清晰。而当他进入圆锥曲线的世界时，我更是被深深吸引。抛物线的无限延伸，椭圆的优雅闭合，双曲线的分离特性，这些在作者的笔下，不再是冷冰冰的图形，而是充满了动感和规律的数学生命。他对于焦点、准线、离心率这些概念的深入剖析，让我明白了这些参数是如何塑造了曲线的独特“性格”。

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这本书给我的感觉，仿佛在开启一扇通往高维度的门。作者的叙述语言充满了理性与感性的结合，他能够以一种极具穿透力的方式，揭示出解析几何背后的数学美学。我特别欣赏书中关于三维空间中的几何对象描述，例如球体、圆柱体、圆锥体等，作者能够通过坐标系的巧妙运用，将这些立体的形状转化为一组组代数方程，这让我深刻体会到了数学的强大之处。他对于曲面的讨论，更是让我看到了数学在描述复杂形态方面的巨大潜力。我尤其喜欢书中关于投影几何的初步介绍，虽然篇幅不长，但已经足以让我感受到，几何图形在不同视角下的变化与不变，以及数学如何捕捉这些规律。这本书的阅读体验，是一种智力上的挑战，更是一种精神上的享受，它让我重新认识了数学的魅力。

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说实话，我抱持着一种半信半疑的态度来阅读《解析几何》，因为我过去的数学学习经历中，总是感觉解析几何是一门极其依赖空间想象力的学科，而我的空间想象力似乎一直不那么发达。但是，这本书的作者似乎预料到了我的担忧，并在全书的编排和讲解中，将这一点考虑得非常周全。大量的精美插图，不仅仅是辅助性的图示，更是具备了独立的叙事功能，它们如同向导一般，引领我穿梭于复杂的几何图形之间。每一个坐标轴的设置，每一次变换的演示，都清晰地展现了数学逻辑的严谨性和图形的变化轨迹。我特别欣赏作者在介绍二次曲面时的处理方式，他并没有上来就给出抽象的方程，而是先从最简单的几何形状入手，然后逐步引入坐标系的变换，最终构建出球体、椭圆体、抛物面等美轮美奂的曲面。这种循序渐进的讲解方式，让我这个对空间概念比较迟钝的人，也能逐渐建立起清晰的几何图像。书中关于参数方程的章节，更是让我眼前一亮，我从未想过可以将曲线的运动状态用参数来描述，这种动态的视角，让我对几何图形有了全新的理解。

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坦白说，我一直对数学抱有一种敬畏之心，总觉得它是离我比较遥远的学科。《解析几何》这本书的出现，却打破了我的这种隔阂。作者的讲解风格，与其说是教学，不如说是一种对话，他仿佛在和我交流，引导我一同去探索解析几何的奥秘。他非常注重概念的“可视化”，通过大量的图表和动画（虽然书中是静态图，但足够引发想象），将抽象的数学符号转化为生动的几何图形。我尤其喜欢他对空间向量讲解的部分，通过三维坐标系，他清晰地展示了向量的加减、数乘、点乘、叉乘等运算，以及这些运算在几何上的意义，比如点乘可以用来判断两个向量是否垂直，叉乘可以用来确定一个垂直于两个已知向量的向量。此外，书中还涉及了曲面方程的参数表示法，这让我深刻理解了曲面是如何由一系列参数确定的，这种由内而外的理解方式，让我对数学的认识又上了一个台阶。

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当我拿起《解析几何》时，我期待的是一份能够清晰解释数学原理的指南。然而，这本书带给我的远不止于此。它更像是一位循循善诱的老师，耐心而细致地引导我一步步走进解析几何的奇妙世界。作者在内容组织上，充分考虑到了读者的学习曲线，从最基本的点、线、面的概念，到更复杂的曲面和空间曲线，逻辑清晰，过渡自然。我最喜欢的是书中的“概念辨析”环节，作者会针对一些容易混淆的概念，比如直线与射线、平面与半平面之间的区别，进行深入的剖析，并给出形象的比喻，让我能够从根本上区分它们。而且，书中不仅注重理论的讲解，还穿插了大量的应用实例，比如在建筑设计、物理学、工程技术等领域，解析几何是如何发挥重要作用的。这让我深切感受到数学的实用价值，也激发了我学习的内在动力。通过阅读这本书，我不仅掌握了解析几何的知识，更培养了严谨的数学思维和解决问题的能力。

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这本《解析几何》真是一本引人入胜的书！我一直对数学的抽象世界充满好奇，但又常常被复杂的公式和概念所困扰。然而，这本书的出现，彻底改变了我的看法。作者以一种极其生动和直观的方式，将原本晦涩难懂的解析几何展现在我眼前。开篇对于笛卡尔坐标系的介绍，我仿佛亲眼见证了点、线、面如何被赋予数字的语言，每一个定义都充满了逻辑的严谨和思想的光辉。书中对直线方程的讲解，不仅仅是代数式的转换，更像是在描绘一幅幅动态的画面，通过斜率和截距，我能感受到直线的方向和位置，甚至能预判它在空间中的走向。而圆锥曲线部分，更是精彩绝伦。抛物线、椭圆、双曲线，它们不再是冰冷的几何图形，而是充满了生命力的曲线，每一个焦点、每一个准线都赋予了它们独特的性格和运动轨迹。作者通过丰富的图示和细致的推导，让我深刻理解了这些曲线的生成过程和几何性质，仿佛自己也成为了一名几何的探险家，在数学的海洋中发现了宝藏。更让我惊喜的是，本书并没有止步于基础知识的介绍，而是深入探讨了空间向量、曲面方程等更高级的内容，并且将这些概念与实际应用巧妙地结合起来。读完后，我不仅对解析几何有了全新的认识，更激发了我对数学更深层次的探索欲望。这本书不仅是一本教材，更像是一扇通往数学殿堂的窗户，让我看到了数学的无限可能。

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这本书给我的感觉，就像是在一个从未涉足过的领域里，找到了一位经验丰富的向导。我对解析几何的了解，此前仅限于一些基础的几何图形，但《解析几何》这本书，却以一种极其系统和全面的方式，为我打开了更广阔的视野。作者在内容安排上，遵循了由浅入深的原则，从二维平面上的点、直线、圆，逐步过渡到三维空间中的曲面、曲线。他对于直线方程的讲解，我特别喜欢，他不仅展示了点斜式、斜截式等多种表达方式，更重要的是，他解释了不同形式的方程所蕴含的几何意义。例如，通过方程Ax + By + C = 0，我能直观地理解到A和B的比例决定了直线的倾斜方向，而C则影响了直线在坐标轴上的位置。更让我惊喜的是，书中关于二次曲线的章节，他深入浅出地讲解了抛物线、椭圆、双曲线的定义、标准方程、几何性质以及它们的实际应用，让我对这些曲线有了全新的认识。

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