A Concrete Introduction to Higher Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Childs, Lindsay N.

出品人:

页数:603

译者:

出版时间:2009

价格:46,95 €

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387745275

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

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现代代数导论：群、环与域的几何视角 本书特色： 本书旨在为读者提供一个既深入又直观的现代代数基础，重点聚焦于群论、环论和域论的核心概念及其在几何与拓扑结构中的应用。我们摒弃了传统教材中过于抽象的纯代数构建方式，转而采用一种强调内在联系和几何直觉的讲解路径。目标读者是对数学结构有强烈求知欲的本科高年级学生、研究生，以及希望系统回顾现代代数基础的数学专业人士。 第一部分：群论的结构与对称性 本部分将群论置于对称性与不变性的宏大背景下进行考察。 第一章：群的初步概念与例子 我们从历史上的对称性问题出发，引入群的公理化定义。重点阐述如何通过变换群（如平面刚体运动群、多面体旋转群）来理解抽象群。详述子群、陪集和拉格朗日定理的证明，强调其在计算群阶和分类有限群中的重要性。此外，我们将引入作用的概念，阐释群如何通过作用揭示其内部结构，并引出轨道和稳定子的概念，这为后续的分类和同构判断打下基础。 第二章：同态、同构与正规子群 本章核心在于理解群之间的关系。详细区分同态、满同态与同构。引入核（Kernel）作为洞察同态结构的关键工具。基于核的概念，我们系统地构建正规子群，并深入探讨商群（Factor Group）的构造。商群的建立被视为代数中“模去”某种结构的本质操作，如同在几何中考虑一个空间对某个子空间（如平移）的等价关系。 第三章：群作用与分类 本章深入探讨群作用的强大威力。通过对群作用的分析，我们推导出Cauchy定理和Sylow定理。Sylow定理的证明将采用构造性的方法，强调其在识别和描述有限$p$-群结构中的核心地位。我们将用丰富的实例，如二面体群、对称群和一般线性群，来巩固对这些定理的理解。特别地，我们将通过Cayley定理证明每一个有限群都同构于某个置换群，从而实现从抽象到具体的桥梁。 第四章：可解群与群的直积 探讨群的更深层次的结构分解。引入交换子（Commutator）和交换子子群，定义可解群的概念，并探讨其在伽罗瓦理论中的历史意义。对直积（Direct Product）和半直积（Semi-direct Product）进行细致的区分和构造，这对于理解特定结构（如非阿贝尔群）的形成至关重要。本章将以有限阿贝尔群的基本定理（分类）作为高潮，展示如何将任何有限阿贝尔群唯一分解为循环群的乘积。 第二部分：环论——代数结构的多样性 本部分将研究具有两种运算（加法和乘法）的代数结构，重点关注这些结构如何推广数论和多项式理论。 第五章：环的定义与基本性质 从整数环 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$ 等熟悉的例子出发，定义环的公理。区分交换环、单位环。引入零因子（Zero Divisor）的概念，并由此定义整环（Integral Domain）。对域（Field）进行首次介绍，将其视为可以进行所有四则运算的特殊环。探讨环同态和环同构。 第六章：理想、商环与同构定理 与群论中的正规子群类似，理想是环论中的关键概念。我们将详细研究左、右、双边理想，并引入主理想（Principal Ideal）和极大理想（Maximal Ideal）。基于理想的定义，构造商环（Quotient Ring）。系统阐述环论的同构定理，展示商环如何捕获特定同态结构的信息。 第七章：特殊类型的环结构 本章专注于具有特定乘法性质的环。深入研究唯一因子分解整环（UFD），强调其与标准整数分解的概念联系。随后，定义主理想整环（PID），并证明 PID 是 UFD 的一个更强的子类。引入欧几里得整环（Euclidean Domain），展示如何通过“带余除法”来构造 PID，并给出 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 的例子。 第八章：域与域的扩张 本部分是理解代数方程根的基石。首先，从域的视角重新审视多项式环 $F[x]$，证明商环 $F[x]/langle p(x) angle$ 在 $p(x)$ 是不可约多项式时是一个域。系统阐述域扩张的概念，并定义代数数和超越数。引入代数扩张和有限扩张，并用阶（Degree）来度量扩张的“大小”。 第九章：代数闭包与有限域 讨论域扩张理论的完备性——代数闭包（Algebraic Closure）的存在性及其唯一性（在同构意义上）。这解释了为什么在复数域 $mathbb{C}$ 中，任何非零多项式都有根。最后，转向有限域（Finite Fields），阐述有限域的存在性、唯一性及其构造（基于不可约多项式），并探讨其在编码理论和密码学中的实际应用。 总结： 本书力求在严谨的数学逻辑与清晰的几何直觉之间找到平衡。通过对对称性、结构分解和代数方程根的深入探究，读者将不仅掌握现代代数的核心工具，更将领悟这些抽象结构背后的深刻统一性。

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《A Concrete Introduction to Higher Algebra》的书名，犹如一位和蔼的导师，向我承诺着一次深入浅出的高等代数之旅。我一直对数学的美妙充满向往，但高等代数的抽象性常常让我感到无从下手。因此，这本书“具体”的引入方式，正是我所期盼的。我希望能在这本书中，找到作者如何将那些看似晦涩的代数概念，诸如群、环、域的性质，通过生动形象的例子和深入浅出的讲解，变得清晰易懂。我尤其希望作者能在介绍这些概念时，能够穿插一些历史背景的介绍，例如某个定理的由来，或者某个概念的演变过程，这不仅能增加学习的趣味性，也能让我对数学的发展脉络有更深刻的理解。我非常关注书籍的习题设计，期待能够有足够多的练习，而且这些练习能够循序渐进，从基础的巩固到更高层次的思考，帮助我真正内化知识。一本真正“具体”的高等代数入门读物，应该能够让我不仅理解理论，更能培养我解决实际代数问题的能力，并从中感受到数学的魅力。

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这本书的标题《A Concrete Introduction to Higher Algebra》本身就充满了吸引力，让人感觉作者试图将抽象的高等代数以一种易于理解、触手可及的方式呈现出来。作为一名对数学充满好奇但又畏惧高等代数艰深理论的读者，我被这个承诺深深吸引。我一直在寻找一本能够在我脑海中构建出代数概念的清晰图像的书籍，而不是仅仅罗列定理和证明。我希望这本书能够像一个经验丰富的向导，带领我穿越抽象的象牙塔，让我真正理解那些看似晦涩难懂的概念是如何联系在一起，又是如何驱动着整个数学大厦的。我尤其期待作者在解释群论、环论、域论等核心概念时，能够提供丰富的例子，最好能涵盖一些实际应用或者历史渊源，这样不仅能加深我的理解，也能激发我对这个领域的进一步探索兴趣。如果这本书能够像它的标题所承诺的那样“具体”，那么它将是我高等代数学习旅程中的一座灯塔。我希望书中能够包含足够多的练习题，并且最好是能够引导读者思考的题目，而不是机械的计算。那些需要一点点创造力才能解决的题目，往往是巩固理解、激发思维的最佳途径。总而言之，我对这本书寄予了厚望，希望它能为我打开高等代数的大门，让我不再感到束手无策，而是能以一种更自信、更深入的方式去探索这个迷人的数学分支。

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从《A Concrete Introduction to Higher Algebra》这个书名，我立刻被它所承诺的“具体性”所吸引。对于我这样一位在高等代数学习过程中，常常感到抽象概念难以把握的读者而言，寻找一本能够提供清晰、直观解释的书籍是至关重要的。我希望能在这本书中找到关于群论、环论、域论等基本结构的生动例子，例如，在解释群的性质时，我期待作者能用置换群或者图形的对称性来帮助我建立直观的理解。如果作者能够循序渐进地引导读者，从易于理解的例子逐步过渡到更抽象的概念，同时提供充足的解释和类比，那将对我学习过程产生巨大的积极影响。我尤其希望书中能够包含一些关于这些代数结构在实际应用中的案例，例如它们在密码学、编码理论或物理学等领域的应用，这不仅能增强学习的动力，也能帮助我认识到高等代数的价值。此外，我非常关注书籍的数学严谨性。我希望在“具体”讲解的同时，不牺牲数学的精确性，确保我建立的理解是扎实且可靠的。一本能够平衡直观性与严谨性的高等代数入门书籍，对我而言是弥足珍贵的。

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阅读《A Concrete Introduction to Higher Algebra》的经历，对我而言，更像是一场精心策划的数学探索之旅。这本书的标题就如同一个信号，预示着它将不仅仅是一本枯燥的教科书，而是试图为我们提供一种更具“动手感”的学习体验。我个人对那些能够将抽象概念与具体实例紧密结合的书籍情有独钟。在学习高等代数时，我常常会遇到这样的困境：理论的陈述是严谨而精确的，但却难以在我脑海中形成生动、可操作的图像。因此，我非常期待本书能够在这方面有所突破，通过生动有趣的例子，甚至是小型的编程练习，来帮助我理解例如向量空间、线性变换、特征值和特征向量等核心概念。我希望作者能够展示这些概念是如何在解决实际问题中发挥作用的，比如在计算机图形学、密码学或者数据科学等领域。如果书中能够提供一些历史背景的介绍，例如某个重要的定理是如何在数学家的探索中一步步完善的，那无疑会增加阅读的深度和广度。我更希望能在这本书中找到一些能够激发我思考和讨论的开放性问题，鼓励我去主动探索，而不是被动接受。这样一本能够真正“落地”的高等代数入门读物，对我来说将是无价的。

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当我看到《A Concrete Introduction to Higher Algebra》这个书名时，我脑海中立即浮现出一位经验丰富的数学家，正在耐心地为我剥开高等代数的层层外衣，让它在我眼前变得清晰可见。我一直对代数的美感和力量感到好奇，但又常常被那些抽象的符号和定义所困扰。因此，这本书的“具体介绍”承诺对我来说具有极大的吸引力。我特别希望作者在讲解诸如群论的生成元和关系、环的理想理论、域的扩张等概念时，能够提供一些直观的几何解释，或者通过一些更易于理解的代数结构（例如整数的加法和乘法群、多项式环）来引入。我期望这本书不仅仅是知识的传递，更能激发我独立思考和探索的欲望，通过恰到好处的习题和引导，让我能够主动地去发现数学规律。如果书中能包含一些历史的佐证，解释这些概念是如何在数学发展中扮演关键角色的，那将是对我学习的极大激励。我希望这本书能够成为我理解高等代数最坚实的基础，并且能够为我日后深入学习打下坚实的基础。

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《A Concrete Introduction to Higher Algebra》这个标题，就像一位友善的向导，邀请我踏入那片令人望而生畏但又充满魅力的数学领域——高等代数。我之所以对此书抱有极大的期待，是因为我一直渴望找到一本能够将那些抽象、复杂的代数概念，通过具体、可视化的方式呈现出来的书籍。我希望能在这本书中，看到作者如何一步步地构建出群、环、域这些基本代数结构，并能提供足够多的例子，帮助我理解它们的定义、性质以及它们之间的联系。例如，在讲解向量空间时，我希望能够看到作者从熟悉的几何空间出发，逐步推广到更抽象的概念，并提供一些在不同领域（如函数空间、多项式空间）中的具体例子。我也非常看重书籍的逻辑性和叙事性。一本好的数学书，应该像一个引人入胜的故事，将知识点有机地串联起来，而不是生硬地罗列定义和定理。我希望作者能够在我学习过程中，给我提供清晰的思路和有效的提示，帮助我克服学习中的障碍。总之，我期待这本书能够成为我通往高等代数世界的一座坚实的桥梁，让我能够真正理解并欣赏这门学科的精妙之处。

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初次翻开《A Concrete Introduction to Higher Algebra》的扉页，一股清新且充满力量的学术气息扑面而来，仿佛置身于一个精心布置的数学花园。这本书的标题就像一个温柔的邀请，承诺将高等代数这片看似荒芜的领域，用“具体”的视角加以耕耘，让读者能够体验到知识的生长和丰收。我尤其关注作者在构建这些抽象概念时的逻辑顺序和过渡是否自然流畅。我希望作者不是简单地堆砌定义和定理，而是能够循序渐进地引导读者，从基础概念出发，逐步深入到更复杂的结构，并且在每个阶段都提供充足的类比和直观的解释。比如，在讲解群的性质时，我期待能看到一些生活中的例子，或者几何上的对称性，来帮助我理解群的封闭性、结合律、单位元和逆元等抽象属性。如果作者能够巧妙地将历史发展脉络融入其中，例如介绍某个重要概念是如何在解决实际问题中诞生的，那无疑会极大地提升阅读的趣味性和学习的动力。我也非常看重书籍的排版和图示是否清晰专业，毕竟，好的视觉呈现能够显著地减轻阅读负担，并辅助理解。我希望这本书能够成为我学习高等代数时不可或缺的伙伴，帮助我建立起扎实的理论基础，并为我未来更深入的研究铺平道路。

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《A Concrete Introduction to Higher Algebra》这本书的标题本身就传达了一种强烈的学习意愿，想要“化繁为简”，让抽象的代数概念变得“具体”。作为一名对数学充满热情但又希望循序渐进的读者，我极其看重作者在引导学习过程中的“手感”。我希望这本书的语言风格能够是清晰、准确且富有人情味的，避免使用过于专业化且难以理解的术语，或者即使使用了，也能提供恰到好处的解释。我期待作者能够在介绍例如多项式环、理想、模等概念时，能够提供一些直观的类比，或者从易于理解的整数环、多项式集合等例子出发，逐步引导读者进入更广阔的代数世界。如果书中能够包含一些历史性的注解，介绍这些概念的起源和发展，那将极大地提升学习的趣味性，让我不仅理解“是什么”，还能明白“为什么”。此外，我非常关注本书的习题设计。我希望习题能够具有一定的梯度，从基础的巩固性练习，到更具挑战性的探索性问题，能够帮助我全面掌握所学知识，并锻炼我的数学思维能力。一本真正“具体”的高等代数入门书籍，应该能够让我不仅能够掌握理论，更能培养我解决代数问题的能力。

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《A Concrete Introduction to Higher Algebra》这个标题，就如同在数学的浩瀚宇宙中，为我指引了一盏明灯，让我能够以一种更加“触手可及”的方式去探索高等代数。我深知高等代数的重要性，但其抽象性和理论性也常常让我望而却步。因此，我对于这本书“具体”的承诺，抱有极大的期待。我希望能在这本书中，找到清晰且富有洞察力的解释，作者是如何将群、环、域等核心概念，通过一系列精心挑选的例子和生动的类比，变得易于理解和掌握。例如，我期待作者在讲解抽象代数中的“元素”和“运算”时，能够从熟悉的数字系统、几何变换等具体情境出发，帮助我建立起对这些抽象概念的直观认识。同时，我也非常重视书籍在逻辑上的连贯性和严谨性。我希望作者不仅能提供易于理解的入门，也能保证所讲述内容的数学上的准确性。我渴望这本书能够成为我学习高等代数道路上的第一个坚实落脚点，帮助我建立起自信，并激发出我对这个领域更深层次的探索热情。

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当我看到《A Concrete Introduction to Higher Algebra》这本书的标题时，我立刻被其“具体”的承诺所吸引。作为一名在学习高等代数过程中，经常因为抽象概念而感到困惑的读者，我迫切地需要一本能够帮助我建立直观理解的书籍。我希望这本书能够不仅仅是理论的堆砌，而是通过生动的例子、恰当的类比，将群、环、域等核心概念“落地”。例如，我期待作者在解释抽象群的性质时，能够结合一些置换群的例子，或者通过几何图形的对称性来帮助我理解群的结构。我也希望作者在介绍多项式环、矩阵环等概念时，能够清晰地展示它们的运算规则和代数性质。此外，我非常看重书籍的逻辑性和叙事性。一本好的数学书，应该能够将知识点有机地串联起来，形成一个完整的知识体系，而不是零散的片段。我希望作者能够提供清晰的思路引导，帮助我理解概念之间的联系，并最终建立起对高等代数的整体认识。如果书中能包含一些简要的历史回顾，介绍这些概念是如何在数学发展中扮演重要角色的，那将是锦上添花。

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