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出版者:Cambridge University Press

作者:D. G. Northcott

出品人:

页数:464

译者:

出版时间:2008-12-11

价格:USD 64.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521098076

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《拓扑学基础与应用》 作者： [此处留空，或填写一个假想的资深数学家姓名] 出版社： [此处留空，或填写一个假想的知名学术出版社] --- 内容简介： 本书旨在为读者提供一套严谨而深入的拓扑学基础理论框架，并辅以丰富的应用实例，使其能够掌握现代几何学与分析学中的核心工具。全书内容组织遵循逻辑递进的原则，从最直观的度量空间概念出发，逐步过渡到抽象的拓扑空间，并深入探讨了代数拓扑学的基本构件。 第一部分：度量空间与基础概念 本部分首先建立读者对“距离”和“邻域”的直观理解，这是拓扑学思想的根基。 第1章：度量空间与拓扑的引入。 详细定义了度量空间（Metric Space），讨论了开球、闭球的概念及其性质。在此基础上，引入了拓扑空间（Topological Space）的抽象定义，将拓扑结构视为对邻域概念的推广。重点分析了如何由任意集合上的点族生成一个拓扑结构（即拓扑基础与子基）。 第2章：连续性与同胚。 严格定义了度量空间和拓扑空间中的连续函数。通过分析函数的开集、闭集映射性质，引出拓扑同胚（Homeomorphism）的概念，阐述了拓扑性质（如连通性、紧致性）在同胚下的不变性。 第二部分：拓扑空间的性质与结构 本部分致力于探索拓扑空间内部的关键结构性质，这些性质是区分不同类型拓扑空间的重要依据。 第3章：连通性（Connectedness）。 深入探讨了连通空间的概念，包括路径连通性与其包含关系的讨论。详细分析了连续映射如何保持连通性，并对分离公理在连通性研究中的作用进行了梳理。 第4章：紧致性（Compactness）。 这是全书的重点章节之一。本章详细阐述了覆盖（Cover）的概念，并给出了紧致性的多种等价定义，包括用有限子覆盖来刻画紧致性。特别关注了实数轴上的 Heine-Borel 定理及其在一般的拓扑空间中的推广——紧致性与点列紧致性的关系（在特定条件下）。紧致性在函数空间和泛函分析中的重要应用将在此处得到初步展示。 第5章：分离公理（Separation Axioms）。 系统介绍了 T0 到 T4 等一系列分离公理。重点分析了豪斯多夫空间（Hausdorff Space，T2）的性质，证明了在豪斯多夫空间中紧子集的闭合性，并讨论了紧致性和豪斯多夫性结合产生的强大结论，例如紧致子空间在连续函数像下的性质。 第三部分：构造性拓扑与函数空间 本部分将理论应用于更复杂的构造，特别是涉及到函数空间的拓扑结构。 第6章：乘积空间与商空间。 详细介绍了如何构造新的拓扑空间：乘积拓扑（Product Topology）和商拓扑（Quotient Topology）。乘积拓扑的定义是理解无限维空间的基础；商拓扑则提供了从已有空间通过等价关系构造新空间的强大工具，其应用贯穿于代数拓扑的建构之中。 第7章：完备性（Completeness）。 聚焦于柯西序列（Cauchy Sequences）和完备度量空间（Complete Metric Spaces）。本章引入了 Baire 范畴定理（Baire Category Theorem）及其在处理完备空间中“大”集合方面的威力。通过不动点定理（如 Banach 压缩映射定理）展示了完备性在微分方程和数值分析中的核心作用。 第8章：函数空间的拓扑。 讨论了函数空间 $mathcal{C}(X, Y)$ 上的几种重要拓扑，如点态收敛拓扑、紧开收敛拓扑（Compact-Open Topology）。这些拓扑结构是微分几何和微分拓扑中研究微分流形上的张量场和微分形式的基础。 第四部分：代数拓扑的初步探索 在掌握了点集拓扑的全部工具后，本部分开始引入代数拓扑的核心思想——用代数不变量来区分拓扑空间。 第9章：基本群（Fundamental Group）。 介绍如何利用路径和同伦的概念定义基本群 $pi_1(X, x_0)$。详细计算了圆周 $S^1$ 的基本群，并证明了 $pi_1$ 对同胚的不变性。本章将通过实例阐明为什么代数工具能够成功地“区分”拓扑上不同的空间（例如，二维圆盘与二维环面）。 第10章：覆盖空间理论简介。 简要介绍了覆叠映射（Covering Maps）的概念，并将基本群与覆叠空间之间的关系作为理论的总结与升华。这部分内容为读者后续深入研究同调论和更高阶的代数拓扑奠定了概念上的准备。 本书的叙述风格力求清晰、严谨，定理的证明详尽无遗，同时注重理论与几何直觉的平衡。每一章末尾均附有难度适中的练习题，以巩固读者对抽象概念的掌握。本书不仅适用于数学系高年级本科生和研究生作为教材或参考书，也为致力于应用数学、理论物理（如广义相对论和弦理论）的科研人员提供了坚实的拓扑学基础。

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这本书的叙述方式，给我的感觉是既权威又平易近人。作者在讲解抽象代数中的核心概念时，总是能够找到恰到好处的平衡点，既不失理论的严谨性，又能让读者感受到数学的趣味。特别是在引入“多重性”的概念时，我发现作者并没有将其视为一个孤立的概念，而是将其深深地根植于模的分解理论之中。他详细地阐述了在主理想整环上，一个有限生成模可以被唯一地分解成形如 $R/(p^k)$ 的模的直和，而这里的指数 $k$ 就与“多重性”的概念息息相关。这种多重性反映了模在特定素元 $p$ 上的“集中”程度，或者说，模在 $p$ 上的“根”有多深。作者通过一系列的例子，例如处理多项式环上的模时，特征多项式的根的重数就与模的分解中的多重性直接对应。这种清晰的联系，让我能够更直观地理解抽象概念的实际含义。书中关于“挠度”的讲解也尤为精彩，作者不仅解释了挠度子模的存在使得模的结构比向量空间更加复杂，还展示了如何通过分解模为挠度部分和无挠度部分来更好地理解其内在结构。这种对分解和分类的深入探讨，以及多重性在其中的核心作用，极大地提升了我对抽象代数整体的认知水平。

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这本《Lessons on Rings, Modules and Multiplicities》在我手中沉甸甸的，封面设计低调而充满智慧，散发着学术书籍特有的质感。我是一名对抽象代数抱有极大热情的研究生，虽然已经研习过几本该领域的经典著作，但始终觉得在某些核心概念上，我尚未达到那种“融会贯通”的境界。翻开这本书，首先映入眼帘的是作者严谨而清晰的数学语言，每一个定义、每一个定理都被精心打磨，如同艺术品般赏心悦目。作者在引入环和模的概念时，并没有急于呈现复杂的结构，而是循序渐进，从最基础的例子出发，引导读者一步步构建起抽象代数的完整图景。这种教学方法极大地降低了初学者的门槛，同时也让有一定基础的读者能够重新审视那些看似熟悉的知识点，从中发现新的视角。尤其让我印象深刻的是，书中在讲解模的结构时，不仅仅停留在理论层面，还穿插了大量巧妙的例子和习题，这些习题并非简单的计算，而是旨在帮助读者深入理解抽象概念的实际含义和应用。例如，在讨论挠度和内射模时，作者通过一系列引人入胜的论证，揭示了这些概念在理解模的“失败”之处——即模的“非自由性”——方面的关键作用。这些例子和习题的设计，让我感觉自己不再是被动地接收知识，而是积极地参与到数学的探索过程中，每一次的思考和演算，都像是打开了一扇通往更深层数学世界的大门。

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翻开这本《Lessons on Rings, Modules and Multiplicities》，我立刻被其深厚的学术底蕴和严谨的逻辑结构所吸引。作者在阐述环论基础时，从最基本的代数结构入手，逐步深入到诸如主理想整环、唯一因子分解整环等概念，并细致地分析了它们之间的关系和性质。这种循序渐进的教学方式，为理解更复杂的模论概念奠定了坚实的基础。当我接触到“模”这一核心概念时，我发现作者并没有将模仅仅视为“环上的向量空间”，而是深刻地揭示了模的普遍性和复杂性，特别是“挠度”的存在对模结构分析带来的挑战。他通过大量的例子，如整数环上的模、多项式环上的模，生动地展现了挠度子模的概念以及如何利用它来分解和理解模的结构。而“多重性”的概念，则被巧妙地融入到模的分解理论中。作者解释了在主理想整环上，每一个有限生成模都可以被唯一地分解为若干个更小的模的直和，而“多重性”则是在这个分解过程中，某个特定不可约子模“出现”的次数。这种分解的唯一性以及多重性在其中扮演的关键角色，让我对模的分类和刻画有了全新的认识。书中对于投射模和内射模的讨论，以及它们与模分解理论的联系，更是让我看到了抽象代数内部的统一性和深刻性。

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这本书的阅读体验，对我来说，是一场充满惊喜和启发的智力冒险。在学习的过程中，我常常会沉浸在作者构建的抽象世界里，感受数学逻辑的严谨与优美。作者在处理“多重性”这个概念时，并没有把它孤立地呈现，而是巧妙地将其融入到模的分解理论中。他解释了为什么在主理想整环上，一个有限生成模的分解是唯一的，并且分解中的每一个不可约子模都有一个与之关联的“不变因子”或“初等因子”。而“多重性”则与这些因子的指数部分紧密相连，反映了模在特定结构上的“重叠”程度。例如，当一个模的分解中出现形如 $R/(p^k)$ 的不可约子模时，这个 $k$ 的大小就与“多重性”的概念相关联。作者通过对各种例子，如整数环上的模、多项式环上的模的深入分析，展示了多重性如何在具体的情境下体现出来，以及它如何帮助我们更精确地描述和分类模的结构。这种将抽象概念与具体例子相结合的教学方式，极大地增强了我的理解力和应用能力。我特别喜欢书中关于“子模类别”和“模的谱”的讨论，这些内容虽然在某些基础教材中可能不常见，但它们为理解更高级的代数理论打下了坚实的基础，让我看到了抽象代数背后更宏大、更统一的图景。

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这本书的叙述方式给我一种“循循善诱”的感觉，就好像一位经验丰富的导师，耐心地引导我一步步解开代数世界的层层迷雾。起初，我对“多重性”（multiplicities）这个概念感到有些畏惧，它似乎预示着更加复杂和抽象的理论。然而，作者在处理这个主题时，运用了极其巧妙的比喻和直观的图示，将原本抽象的概念变得异常生动。他将多重性比作描述一个物体在某个空间中“出现”的次数，比如一个点在一条曲线上的交点数，或者一个特征值在特征多项式中的重数。这种类比立刻消除了我心中的隔阂，让我能够以一种更接地气的方式去理解这个概念。随后，书中对多重性的深入探讨，从更抽象的代数角度，例如在分解模（尤其是有理数域上的有限生成模）时，解释了为什么每一个不可约因子都会伴随着一个相应的“重数”。这个重数不仅仅是一个数字，它还承载着关于模的结构信息，例如它与向量空间的维数的关系，以及在表示论中的重要性。作者在推导过程中，反复强调了不同代数结构之间的联系，比如环论中的理想与模论中的子模，以及它们之间如何通过“商”操作来建立起更紧密的联系。这种将看似独立的数学分支融会 গোটা的写作风格，让我深深着迷，也让我看到了抽象代数作为一门统一学科的魅力所在。

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我尤其欣赏这本书在讲解“模”这一核心概念时所展现出的深度和广度。在许多教材中，模往往被描绘成“环上的向量空间”，这虽然是一个很好的入门描述，但往往忽略了模与向量空间在结构上的本质区别。本书作者则花费了大量的笔墨，细致地剖析了这种区别，并强调了挠度（torsion）的存在是模比向量空间更具普遍性和复杂性的关键所在。他通过一系列精妙的例子，展示了为什么引入挠度会让模的结构分析变得更加困难，但也正是这种困难，孕育出了更丰富的数学现象。例如，在讲解挠度子模时，作者不仅给出了形式化的定义，还通过具体的整数环上的模、多项式环上的模等实例，让读者直观地感受到挠度子的存在对模结构的影响。更进一步，他引入了“挠度表示”的概念，将一个模分解为挠度部分和无挠度部分，并深入探讨了每部分各自的性质。这种结构性的分解方法，对于理解复杂的模结构至关重要。书中关于内射模和投射模的讨论也同样精彩，作者将这些概念与模的可除性、自由性以及分解理论紧密联系起来，揭示了它们在模论中的“对偶”或“互补”作用。每一章的结尾都附有精心设计的习题，这些习题不仅检验了读者的理解程度，更引导着读者去探索更深层次的数学问题，让人在解决问题的过程中不断获得新的启发。

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这本书的出版，无疑为那些渴望深入理解抽象代数核心概念的读者提供了一份宝贵的财富。作者在论述“多重性”时，并没有将其作为孤立的概念出现，而是巧妙地将其融入到模的分解理论中，从而使其意义更加凸显。他详细阐述了在主理想整环上，任何一个有限生成模都可以被唯一地分解为若干个不可约子模的直和，而“多重性”的概念则恰好描述了在这一分解过程中，某个特定不可约子模“出现”的次数。例如，当一个模可以被分解为 $R/(p^k)$ 的形式时，指数 $k$ 的大小就与“多重性”的概念紧密相关，它反映了模在 $p$ 上的“根”有多深，或者说，模在 $p$ 上的“行为”有多么“集中”。作者通过大量的实例，比如对整数环上的模、多项式环上的模的分析，展示了多重性如何在具体的数学结构中体现出来。我特别喜欢书中关于“挠度”的讲解，它让我深刻理解了模相较于向量空间的复杂性，以及为何需要多重性来更精确地描述模的结构。这种对概念之间的联系和相互作用的深入挖掘，让我对抽象代数有了更深刻的认识。

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《Lessons on Rings, Modules and Multiplicities》在概念的引入和发展上，呈现出一种令人惊叹的逻辑性和系统性。作者在构建整个理论框架时，仿佛是在精心编织一张巨大的数学网络，而环和模则是这张网络中的核心节点。他首先从环的性质入手，详细阐述了整环、主理想整环（PID）、唯一因子分解整环（UFD）以及欧几里得整环等关键概念，并深入探讨了它们之间的层层递进关系。在读者对环有了扎实的理解后，作者便自然而然地将目光转向模。他强调模的定义虽然看似简单，但其内部却蕴含着丰富的结构，而理解这种结构的关键在于分析其“挠度”性质。书中对于挠度模和无挠度模的区分，以及如何将一个模分解为这两部分，提供了非常清晰的思路和严谨的证明。随后，作者引入了“多重性”的概念，并将之应用于模的分解理论。他详细解释了在主理想整环上，任意有限生成模都可以唯一地分解为若干个“不可约”模的直和，而在这个分解过程中，每一个不可约模的“出现次数”——也就是多重性——扮演着至关重要的角色。这种对分解唯一性的深入探讨，以及多重性在其中扮演的关键作用，让我对模的结构有了前所未有的深刻认识。书中大量的定理证明都显得思路清晰、逻辑严密，即便对于一些复杂的技术性证明，作者也总是能够化繁为简，用直观的语言加以解释，确保读者能够真正理解其内在的数学思想。

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这本书的魅力在于它能够将抽象的理论与直观的理解巧妙地结合在一起，尤其是在探讨“多重性”这个核心概念时。我一直觉得，数学的学习不仅仅是记住公式和定理，更重要的是理解它们背后的思想和逻辑。作者在这本书中，恰恰做到了这一点。在讲解多重性时，他没有止步于形式化的定义，而是通过一系列精心设计的例子，让读者能够“看”到多重性。例如，当讨论一个向量空间在某个线性变换下的不变子空间时，特征值的重数就直观地反映了这个子空间在某个方向上的“延展”程度。书中将这一思想推广到了更抽象的模论中，解释了在主理想整环上，一个模的分解，比如 $M cong R/(p_1^{e_1}) oplus cdots oplus R/(p_n^{e_n})$，其中 $p_i$ 是素元，那么 $e_i$ 的大小就与“多重性”的概念紧密相关，它描述了模在 $p_i$ 上的“行为”有多么“集中”。作者的叙述风格非常细腻，他会详细地解释每一个步骤的合理性，并强调不同数学对象之间的联系。当我读到关于“挠度子模”的部分时，我才真正理解到，正是因为模不一定像向量空间那样“平坦”，才需要引入“挠度”来刻画它的“弯曲”程度，而多重性则是对这种“弯曲”程度的一种量化。

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阅读《Lessons on Rings, Modules and Multiplicities》的过程，仿佛是在与一位深谙代数之道的智者对话。作者的语言精炼而富有洞察力，他擅长用最少的笔墨揭示最核心的思想。当我深入到“多重性”这一主题时，我发现作者并不是简单地给出定义，而是将其置于模的结构理论的宏大背景之下。他解释了在主理想整环上，一个有限生成模的结构可以被其“不变因子”或“初等因子”唯一确定，而“多重性”的概念则与这些因子的指数部分紧密相连。例如，当一个模包含形如 $R/(p^k)$ 的子模时，这个 $k$ 的大小就体现了模在素元 $p$ 上的“深度”，也就是一种“多重性”。作者通过一系列的例子，诸如整数环上的模、或者群论中有限阿贝尔群的分解，来类比和解释这种多重性的概念，使得原本抽象的数学思想变得异常鲜活。我特别欣赏书中对于“挠度”的处理，作者通过深入分析挠度子模的存在，揭示了模与向量空间在结构上的根本区别，以及为何需要引入多重性来更精确地描述模的复杂性。这种对概念之间联系的强调，让我能够构建起一个更全面、更系统的抽象代数知识体系。

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