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出版者:电子工业出版社

作者:Kurtis D.Fink

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:2002-6-1

价格:45.00

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787505376922

丛书系列:

图书标签:

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《数值方法》这本书，顾名思义，聚焦于如何利用计算机来解决那些解析方法难以或者无法处理的数学问题。它不是一本理论数学的教科书，更侧重于实际应用中的计算技巧和算法。 书中首先会系统地介绍数值计算的基础概念，比如误差的来源与控制。我们知道，在计算机上进行的所有运算都存在误差，这些误差可能来自舍入、截断，也可能累积放大。理解这些误差的性质，并学会如何量化和最小化它们，是进行可靠数值计算的第一步。《数值方法》会详细讲解各种误差类型，例如绝对误差、相对误差、截断误差等，并介绍误差传播的规律，以及一些基本的误差控制策略。 接着，本书会深入探讨求解代数方程组的方法。这包括直接法，如高斯消元法、LU分解法，以及迭代法，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法。对于大规模的稀疏方程组，书中还会介绍一些更高效的求解器，如共轭梯度法等。这些方法在工程、物理、金融等众多领域都有着广泛的应用，例如有限元分析、电路模拟、天气预报等。 对于非线性方程的求解，本书会介绍一系列经典的数值方法，比如二分法、牛顿法、割线法以及不动点迭代法。这些方法各有优劣，适用于不同的问题场景。例如，牛顿法收敛速度快，但需要计算导数；二分法收敛较慢，但非常稳健。书中会详细分析每种方法的收敛性、稳定性和适用范围，并给出具体的算法实现步骤和实例。 函数的插值与逼近是本书的另一个重要组成部分。当我们只有离散的数据点，但又需要对函数进行连续的描述或计算时，插值就显得尤为重要。本书会介绍多项式插值，如拉格朗日插值、牛顿插值，以及样条插值。样条插值，特别是三次样条，因其良好的光滑性和局部性，在计算机图形学、数据拟合等领域扮演着关键角色。《数值方法》会详细阐述这些插值方法的构造原理、计算公式以及误差分析。 此外，数值积分（或称数值求积）也是本书的重点内容。当遇到难以解析求解的定积分时，数值积分方法就成为必不可少的工具。书中会介绍一系列数值积分公式，如梯形法则、辛普森法则，以及更一般的牛顿-科特斯公式。对于高维积分，还会探讨蒙特卡洛方法等。这些方法广泛应用于物理学中的能量计算、概率统计中的概率密度积分等。 对于微分方程，特别是常微分方程的数值解法，《数值方法》会进行详尽的阐述。本书会介绍欧拉方法、改进欧拉方法、龙格-库塔方法等显式和隐式方法。这些方法能够帮助我们模拟动态系统的演化过程，例如电路的暂态响应、机械系统的运动轨迹、化学反应的速率方程等。书中会深入分析这些方法的收敛性、稳定性和精度，并指导读者如何根据问题的特点选择合适的求解器。 本书还会触及一些更高级的数值技术，例如特征值问题的数值解法。求解矩阵的特征值和特征向量在量子力学、结构动力学、信号处理等领域至关重要。本书会介绍幂法、反幂法、QR算法等经典方法，并讨论其应用场景。 贯穿全书的，是将理论知识与实际应用相结合的理念。每介绍一种数值方法，都会辅以具体的算例，展示其在实际问题中的应用，并提供算法的伪代码或伪指令，方便读者理解和实现。书中可能还会涉及到一些数值软件库的使用，例如介绍如何利用现有的数值计算库（如MATLAB、NumPy等）来高效地实现这些数值算法，而无需从零开始编写所有代码。 总而言之，《数值方法》旨在为你提供一套解决数学问题的计算工具箱。它教会你如何将复杂的数学模型转化为计算机可以执行的算法，如何理解和控制计算过程中的误差，以及如何根据实际需求选择最有效的数值方法。本书是任何希望在科学计算、工程模拟、数据分析等领域深入发展的读者所必备的参考。

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从排版和编辑的角度来看，这本书的处理也体现了极高的专业水准。通常，涉及大量数学公式和复杂符号的书籍，阅读体验往往比较糟糕，容易让人在公式的嵌套中迷失方向。但是，这本教材的版式设计非常清晰，公式的编号、引用的格式都极为规范，符号的定义在首次出现时都有明确的标注，这极大地降低了阅读时的认知负荷。特别是那些需要反复对比的算法流程图，作者采用了对比鲜明的色彩和箭头指示，使得追踪算法的每一步执行路径变得异常直观。我记得在学习Broyden法这类准牛顿方法的拟线性收敛性证明时，如果不是因为排版和图示的精心设计，我可能需要花费数倍的时间去理清那些复杂的矩阵操作。此外，书中附带的补充材料（虽然我主要使用的是纸质版）也提供了大量的MATLAB代码示例，这些代码不仅能帮助验证理论推导，还能直接用于解决手头的实际问题，这种“所学即所用”的设计哲学，让人感到非常受用。

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这本书最让我感到震撼的，是它对“数值稳定性”这一核心概念的把握和贯穿始终的处理。在很多教材中，稳定性往往被当作一个独立的章节来讲解，显得有些割裂。但在这本书里，从最初的数值微分到后面的常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的求解，作者始终提醒读者关注误差的累积和放大效应。尤其是在讨论ODE的刚性问题（Stiffness）时，作者对隐式欧拉法和后向差分公式的引入，并详细解释了它们为何能在面对刚性系统时表现出优越的A-稳定性，这种讲解方式，远比死记硬背“刚性系统要用隐式方法”要深刻得多。它教会我们不是简单地选择一个方法，而是要基于对问题特性（如特征时间尺度和矩阵特征值分布）的理解去“设计”一个稳定的数值方案。整本书像一条清晰的逻辑链条，层层递进，最终将读者带入到高级计算方法论的殿堂，这不仅是一本工具书，更是一部培养高级计算思维的哲学著作。

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这本关于计算数学的著作，简直就是我多年来寻找的那把能打开数值世界大门的钥匙。首先，它对于基础理论的阐述，那种深入骨髓的清晰度，让人不得不拍案叫绝。作者并没有满足于仅仅罗列公式和算法，而是花了大量篇幅去剖析误差的来源、稳定性的内在机制，以及不同方法之间的内在联系。比如，在处理线性系统求解时，对于迭代法和直接法的比较，不仅给出了收敛性的严格证明，还结合实际的工程案例，形象地展示了当矩阵病态时，每一种方法在实际操作层面会遭遇怎样的困境。这种理论与实践紧密结合的写作手法，使得即便是初次接触数值分析的学生，也能构建起一个坚实的知识框架。更让我印象深刻的是，书中对非线性方程求解的讨论，牛顿法的收敛速度分析和割线法、插值法的对比，每一个步骤的推导都如同工匠打磨一件艺术品般精细，让人在阅读的过程中，不仅仅是学习知识，更是在体验一种严谨的科学思维过程。它不像某些教科书那样冷冰冰地堆砌符号，而是充满了对“为什么”的深层思考，读完后，我感觉自己对“近似”这个概念有了全新的认识。

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这本书的广度与深度达到了一个令人惊叹的平衡点。我曾经读过一些偏重理论的专著，它们在数学严谨性上无可挑剔，但对于工程应用场景的覆盖面比较窄；也有一些偏重应用的参考书，虽然实例丰富，但理论推导往往一笔带过。然而，这本著作成功地将两者融为一体。例如，在处理特征值问题的部分，它没有仅仅停留在经典的QR算法上，而是花了不少篇幅去探讨雅可比迭代法和幂法在特定矩阵结构下的适用性，并且加入了关于大规模稀疏矩阵求解的迭代子空间方法（如Lanczos方法）的概述，这在入门级教材中是相当少见的。更让我感到惊喜的是，书中对随机数生成和蒙特卡洛方法的章节，处理得非常到位。它不仅仅介绍了基本的抽样技术，还深入探讨了方差缩减技术和准随机数序列的原理，这对于进行复杂系统模拟的研究者来说，提供了非常实用的工具箱。这本书的知识密度非常高，每一次重读都会有新的发现，感觉自己对计算科学的认知又向前迈进了一大步。

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说实话，我第一次翻开这本书的时候，心里是有点忐忑的，毕竟数值方法这个领域，公式多、抽象概念多，很容易让人望而生畏。但这本书的叙事风格却极其平易近人，仿佛一位经验丰富的导师在耳边细细讲解。它的结构安排非常巧妙，是从最简单的插值问题逐步过渡到更复杂的微分方程数值解。特别值得称赞的是，作者在引入每一个新算法时，都会先用非常直观的几何或物理图像来建立读者的直观感受，然后再引入数学语言进行精确描述。例如，在讲解有限差分法时，书中用了一系列动态的图示来展示网格剖分和误差传播的过程，这比单纯看一堆偏微分方程的离散化公式有效得多。我个人特别喜欢它在每一章末尾设置的“算法实现与挑战”部分，那里面不仅提供了伪代码，还讨论了不同编程语言在处理特定数值问题时可能遇到的性能瓶颈和内存管理问题。这对于那些希望将理论转化为实际代码的研究生来说，简直是无价之宝。这本书的视野显然超越了单纯的数学理论范畴，它真正是在培养一个“会使用”数值方法的工程师或科学家。

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讲解清晰，每种算法都有源代码，着重点在数值计算……看完一遍不能扔，可以随时当工具书……

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