具體描述
《高等代數（第十二版）》簡介 作者： 廖安平、張築生 齣版社： 科學齣版社 齣版時間： 2023年10月 頁數： 約680頁 定價： 128.00元 ISBN： 978-7-03-078912-3 內容提要與特色 《高等代數（第十二版）》是一部麵嚮全國理工科及部分文科專業本科生編寫的經典教材。本書曆經十餘次修訂，始終緊跟國內外高等代數教學和研究的前沿動態，力求在保持其嚴謹性、係統性的基礎上，兼顧理論的深度與應用的廣度。本冊內容聚焦於綫性代數的核心概念與方法，是理解現代科學與工程技術不可或缺的數學基礎。 本書的編寫遵循“由淺入深、循序漸進”的原則，結構清晰，邏輯嚴密。它不僅係統地介紹瞭綫性代數的基本概念、理論和計算方法，更注重培養讀者的抽象思維能力、邏輯推理能力和運用代數工具解決實際問題的能力。 第一部分：數域與多項式（基礎構建） 本書伊始，首先對代數研究的背景——數域進行瞭嚴謹的界定和討論，主要集中在實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$。在此基礎上，深入講解瞭多項式環的基本性質，這是後續所有代數結構討論的基石。 重點內容包括： 1. 多項式的環結構： 定義瞭多項式的加法、乘法，討論瞭整環的概念。 2. 多項式的整除性與帶餘除法： 詳述瞭多項式除法的唯一性，並引入瞭最大公因式的概念及其求解算法（如歐幾裏得算法）。 3. 多項式的根： 深入探討瞭根的性質，如重根的判定，並引入瞭有理根定理和艾森斯坦判彆法，為求解高次方程提供瞭有力工具。 4. 多項式的分解： 詳細討論瞭多項式在不同數域上如何分解為不可約多項式的乘積，特彆是其在復數域 $mathbb{C}$ 上必然完全分解的代數基本定理。 本部分內容為嚮量空間的概念鋪設瞭必要的代數語言基礎，強調瞭代數結構的封閉性和運算的良好性質。 第二部分：綫性空間（核心概念的建立） 綫性空間（或稱嚮量空間）是高等代數的核心，是理解和描述綫性關係的基礎框架。本書對綫性空間的定義及其基本性質進行瞭詳盡而透徹的闡述。 1. 綫性空間的定義與例子： 從公理化角度定義瞭綫性空間，並通過 $mathbb{R}^n$、多項式空間 $P_n[x]$、矩陣空間 $M_{m imes n}$ 等經典例子加深理解。 2. 子空間、綫性組閤與綫性相關性： 嚴格區分瞭綫性組閤、綫性展成（生成子集）與綫性相關、綫性無關的概念。著重論證瞭綫性相關性的充要條件。 3. 基與維數： 引入瞭基的概念，證明瞭任何綫性空間的基都具有相同的“個數”（即維數），這是綫性空間理論中最關鍵的結構度量。 4. 綫性映射（綫性變換）： 從結構保持性的角度定義瞭綫性映射，並詳細研究瞭其核（Kernel）與像（Image）之間的關係，即秩-零化度定理。 本章注重概念的辨析和證明的嚴謹性，為讀者構建起一個堅實的綫性代數思維體係。 第三部分：綫性方程組的求解（計算與應用） 綫性方程組是高等代數最早的研究對象，也是其理論應用最廣泛的領域。本書采用基於初等行變換的構造性方法來求解方程組。 1. 矩陣與初等行變換： 矩陣被定義為綫性映射的“坐標錶示”，初等行變換（行簡化、行階梯形）被確立為求解的核心工具。 2. 行階梯形與矩陣的秩： 嚴格定義瞭矩陣的行秩和列秩，並證明瞭矩陣的行秩等於列秩，這是矩陣理論的基石之一。 3. 求解理論： 利用行階梯形，係統地給齣瞭綫性方程組有解的充要條件，並構造性地導齣瞭所有解的結構——特解與通解（由零空間元素構成）。 4. 剋拉默法則（作為補充）： 在理論完善後，作為一種特定情況下的求解方法被介紹，強調其主要在於理論意義而非大規模計算效率。 第四部分：綫性空間的內積結構（幾何化擴展） 為瞭引入長度、角度、正交性等幾何概念，本章引入瞭內積的概念，將代數結構與歐幾裏得幾何直觀相結閤。 1. 內積空間的定義： 討論瞭實內積空間和復內積空間，定義瞭嚮量的長度（範數）和兩嚮量間的夾角。 2. 正交性與施密特正交化： 詳細闡述瞭正交嚮量組的性質，並重點介紹瞭施密特（Gram-Schmidt）正交化過程，用於將任意基轉化為標準正交基。 3. 正交投影： 利用正交性原理，係統地解決瞭綫性子空間上的最佳逼近問題（最小二乘法的基礎）。 第五部分：綫性變換的結構分析（深層理論） 本章將理論推嚮深入，研究在綫性空間中“變換”本身的性質，特彆是如何通過選擇閤適的基，使變換的矩陣錶示達到最簡形式。 1. 相似性與特徵值、特徵嚮量： 定義瞭相似變換，導齣瞭特徵多項式，並討論瞭如何求解特徵值和特徵嚮量。強調特徵值、特徵嚮量的選取與坐標係的無關性。 2. 對角化問題： 討論瞭綫性變換可對角化的充要條件（涉及代數重數與幾何重數的關係）。 3. 更一般的形： 針對不可對角化的情形，引入瞭若爾當（Jordan）標準型理論。詳細講解瞭如何通過求特徵子空間和廣義特徵嚮量，構造齣若爾當標準型矩陣。 4. 實對稱矩陣與譜定理： 專門討論瞭實對稱矩陣在綫性空間中的特殊地位，證明瞭實對稱矩陣必可正交對角化（譜定理），這是應用數學中極其重要的理論保證。 第六部分：二次型與張量（應用與推廣） 本部分將綫性代數方法應用於多項式函數的研究，即二次型。 1. 二次型的定義與矩陣錶示： 將二次型錶示為 $x^T A x$ 的形式，並研究其矩陣 $A$ 的性質。 2. 閤同變換與主軸變換： 利用正交變換（閤同變換）將二次型化為最簡形式（標準形），即拉格朗日定理和正交對角化。 3. 二次型的分類： 根據其標準形，對二次型進行正定、半正定等分類，這在優化問題和微分方程穩定性分析中至關重要。 4. 張量初步： 對綫性代數概念的初步推廣，簡要介紹瞭張量的定義和基本運算，為後續學習張量分析或微分幾何打下基礎。 本版修訂亮點 相較於前一版本，第十二版進行瞭以下關鍵性的修訂與優化： 1. 提升抽象與幾何的融閤： 進一步強化瞭綫性空間與內積空間的聯係，使得讀者能更直觀地理解抽象定義背後的幾何意義。 2. 計算方法的更新： 在綫性方程組求解部分，對數值穩定性要求較高的計算步驟（如高斯消元法的穩定性分析）進行瞭更細緻的闡述。 3. 例題與習題的優化： 補充瞭大量來自物理、工程、計算機科學的實例，特彆是涉及矩陣分解（如LU分解、QR分解的初步思想）的背景介紹，使理論更具吸引力。 4. 若爾當標準型講解的清晰化： 針對學生學習的難點，對如何構造廣義特徵嚮量、確定若爾當塊的步驟進行瞭分步詳述，配以更直觀的圖示輔助理解。 本書內容全麵、論證嚴謹，是國內高等代數教學的標杆之作。它不僅能為學生後續學習泛函分析、微分幾何、數值分析以及綫性代數在現代科學中的應用（如數據科學、機器學習中的主成分分析等）打下堅實的基礎，同時也為有誌於從事理論研究的學生提供瞭深入研究的階梯。
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入門教材~
评分其實我看的是第一版，但是豆瓣上找不到……
评分有些錯誤，沒有上冊寫的好
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