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《代数几何基础》 本书简介 本书旨在为读者提供代数几何领域的坚实入门。代数几何是数学中一个迷人且深刻的分支，它通过代数的方法（特别是多项式环和理想的理论）来研究几何对象（如曲线、曲面等）。本书的结构侧重于从经典代数几何的概念出发，逐步过渡到现代代数几何的核心工具——概形（Scheme）理论的初步介绍。我们力求在保持严谨性的同时，确保概念的引入直观且富有几何洞察力。 第一部分：射影空间与代数集 本部分构建了代数几何研究的初始舞台。我们首先复习了域（Field）和多项式环的必要知识，特别是多项式的环论性质。 1.1 射影空间 ($mathbb{P}^n$) 的构造与性质 我们从仿射空间 ($mathbb{A}^n$) 开始，引入射影空间的必要性，即“添加无穷远点”以使得所有多项式方程组都有解（例如，在射影空间中，两条不平行的直线总是在某点相交）。本书详细阐述了射影空间的标准拓扑（Zariski 拓扑的限制）和其代数结构。我们定义了齐次多项式、齐次理想，并建立了射影空间中的代数集（Projective Varieties）与齐次理想之间的第一个基本对应——希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）在射影设置下的推广形式。 1.2 局部研究：齐次坐标与开覆盖 为了研究射影空间的局部结构，我们引入了开仿射集的概念，这些仿射集构成了射影空间的 Zariski 拓扑的一个开覆盖。对每一个开集 $U_i$，我们展示了它如何与一个仿射空间 $mathbb{A}^n$ 同构，并讨论了在这些仿射子集上研究多项式函数的代数性质。本章重点阐述了如何通过局部坐标系的变化来描述一个射影集的结构。 1.3 维度理论的初步探讨 我们将引入代数集维度的概念，这来源于代数对象（如坐标环）的代数性质。维度通过主理想定理、Krull 维度等工具进行刻画，直观上对应于几何对象的“自由度”。 第二部分：簇与规范化 本部分将重点放在对非奇异性（Smoothness）和规范化（Regularity）的讨论上。 2.1 环化与局部环 为了进行精细的局部分析，本书引入了局部化（Localization）这一强大的代数工具。对于 Zariski 拓扑中的一个点 $P$，我们构造了定义在 $P$ 处的函数环——局部环 $O_{X,P}$。本书详细解释了如何从一个代数集 $X$ 的坐标环 $A(X)$ 出发，通过局部化得到对应于 $P$ 的局部环。我们将证明，一个点是“正则的”（即局部看起来像仿射空间）当且仅当其对应的局部环是正则局部环。 2.2 规范性（Regularity）与奇异点 我们定义了正则映射和正则函数。核心目标是识别和分类代数集上的“奇异点”。本书基于雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的秩来定义代数集在一个点上的规范性。奇异点的识别是代数几何的核心任务之一，因为这些点往往对应于几何形状的尖点、自交点等不规则结构。 2.3 维流形与光滑性 在非奇异的情况下，代数集被称为代数簇（Algebraic Variety）。本书将深入探讨光滑簇的局部性质，并初步触及代数簇的连通性、不可约性等拓扑/代数结构。 第三部分：预层、层与基本向量场 本部分开始迈向现代代数几何的语言，即层论（Sheaf Theory）。 3.1 预层（Presheaves）与层（Sheaves）的构造 我们定义了拓扑空间上的预层，特别是关于函数和截面的一般概念。随后，我们严格定义了层的公理（局部性与同一性），并解释了层在编码局部数据并将其“粘合”成全局数据方面的作用。 3.2 结构层 ($mathcal{O}_X$) 对于一个代数空间 $X$，我们构造了其结构层 $mathcal{O}_X$，它编码了在 $X$ 的开子上定义的、局部来看是多项式函数（或更广义的，局部环的元素）的截面。这一层是定义在任何代数空间上的基本代数结构。 3.3 凝聚层与向量丛的先驱 我们将介绍凝聚层（Coherent Sheaves）的概念，它们是研究局部自由层（即局部上像向量空间一样的层）的代数工具。在经典几何中，这对应于切丛（Tangent Bundle）和更高阶的向量丛。本书将通过对 $mathbb{P}^n$ 上的基本向量丛（如欧拉序列的构建）来展示凝聚层在描述几何对象上的强大能力。 第四部分：引向概形（Scheme Theory） 虽然本书的核心是经典代数簇，但最后一部分将简要介绍为什么我们需要比代数簇更一般的概念——概形。 4.1 环谱（Spec A）的概念 我们引入了环 $A$ 的谱 $ ext{Spec}(A)$，它是基于素理想（Prime Ideals）构造的拓扑空间。我们阐述了如何在此空间上定义一个结构层，从而得到一个概形。 4.2 代数簇作为特定概形 我们将展示，所有我们前面研究的（域 $k$ 上的）代数簇，都可以被视为具有特定性质的概形——即具有约化结构（Reduced Structure）和稠密仿射开集的概形。这为读者理解现代代数几何提供了必要的桥梁，解释了概形理论如何统一处理特征为零和非零的域上的代数对象。 学习目标 完成本书学习后，读者将能够熟练掌握射影空间的几何结构，识别并分析代数集的奇异点，理解层论在几何分析中的基本作用，并对现代代数几何（概形理论）的必要性有清晰的认识。本书为深入学习如代数拓扑、复几何以及更深入的概形理论奠定了坚实的分析和代数基础。
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