具体描述
《代数几何导论：从经典到现代》 本书旨在为数学专业本科生和研究生提供一个全面而深入的代数几何基础。它系统地介绍了代数几何的核心概念、基本理论和重要工具，从经典的代数簇理论出发，逐步过渡到现代的概形理论。 第一部分：经典代数几何基础 第一章：基础回顾与预备知识 本章首先复习了代数几何所需的基本代数知识，包括交换环论、域扩张、多项式环的性质，特别是诺特环和迪利克雷尔定理的必要引述。随后，引入了代数集合（代数簇）的概念，定义了仿射空间 $mathbb{A}^n$ 上的代数集，并讨论了其结构，如零点集与理想之间的关系（希尔伯特零点定理的初步介绍）。重点阐述了 Zariski 拓扑的构造及其性质，包括它与欧几里得拓扑的区别与联系。本章还详细讨论了环与代数簇之间的对偶性，特别是坐标环（或函数环）的构造及其重要性。 第二章：射影空间与簇 本章将讨论从仿射空间到射影空间的自然推广。定义射影空间 $mathbb{P}^n$，并引入射影代数集的概念。讨论射影空间的 Zariski 拓扑，分析其与仿射空间拓扑的关联（如开覆的构造）。引入齐次坐标和齐次理想，并阐述射影簇的性质。通过具体的例子（如二次曲线、三维空间中的平面曲线），读者将熟悉射影几何中的基本对象。此外，本章将探讨射影空间的维度、不可约性以及函数域的初步概念。 第三章：结构层与局部性质 为了更精细地研究代数簇的局部性质，本章引入了结构层的概念。首先，定义局部环，特别是某点处的结构层 $mathcal{O}_X(U)$，它由定义在开集 $U$ 上的有理函数构成，但在 $p$ 点处分母不为零。详细讨论了局部环的性质，如正则点和奇点的定义。通过局部环的极大理想，可以刻画该点的局部几何结构。本章将深入分析奇点的代数判别式，如判别式理想，并给出克鲁尔维度在局部环中的体现。 第四章：态射与有理映射 本章定义了代数簇之间的态射，这是代数几何中的基本同态概念，它在仿射空间上对应于多项式映射。讨论了态射的性质，如复合、纤维积的构造等。随后，将概念推广到有理映射，即在某些点上定义的态射。重点讨论了有理映射的扩张（或提升）问题，特别是当一个有理映射可以被提升为一个态射时（例如，当分子和分母在特定点上没有共同零点时）。本章会利用结构层和局部环的语言来严格化这些定义。 第二部分：现代代数几何：概形理论 第五章：预备：交换代数进阶 本章为理解概形理论奠定必要的代数基础。复习并深化对诺特环、迪利克雷尔环的理解，引入滤过、分次环和分次代数。重点介绍 局部化 的技术，如何从一个环 $R$ 构造出分数域（若适用）或更一般的局部化 $R_S$。引入 概形 理论的核心工具——预层 (Presheaf) 和 层 (Sheaf) 的概念，包括常值层和结构层的一般构造方法。讨论层上同调的基本概念（如截面空间和导出函子）。 第六章：概形基础 本章正式引入现代代数几何的核心对象：概形 (Scheme)。定义 环谱 $ ext{Spec}(R)$，将其视为基于环 $R$ 的拓扑空间，其上的结构层由局部化构造确定。讨论 $ ext{Spec}(mathbb{Z})$ 的特殊性质，它是所有概形的“骨架”。随后，定义 概形 为 $ ext{Spec}(R)$ 的局部同构。详细讨论了态射的定义，它由环同态诱导，并强调了概形与代数簇在处理非零特征域上的优越性。讨论概形的基本性质，如光滑性、连通性和不可约性。 第七章：结构层与局部性质的概形化 本章将经典代数簇的局部性质提升到概形层面。定义概形上的层，特别是凝聚层 (Coherent Sheaves)。讨论 结构层 $mathcal{O}_X$ 在概形 $X$ 上的性质。深入研究奇点理论，使用局部环（作为概形上的局部环的截面）来定义和分析奇点。本章将引入 正规性 和 光滑性 的概形定义，这些定义依赖于特定局部环的代数性质（如正则局部环）。 第八章：函子与构造 本章侧重于概形理论中的重要构造性方法。讨论 积概形 的唯一性构造，以及如何通过积来构造纤维积。介绍 射影概形 $mathbb{P}^n_R$ 的定义，它通过 $R$ 上的齐次坐标环 $Gamma_(R)$ 的谱来构造。讨论 基变更 (Base Change) 的概念，解释了如何通过态射将研究从一个概形迁移到另一个概形。本章还会简要介绍完备性的概念，为研究代数簇的几何性质提供工具。 附录： 必要的交换代数知识回顾与常用符号表。 本书的特点在于其严谨的数学结构和清晰的逻辑推进，它力求在为读者构建坚实的代数几何直觉的同时，也精确地介绍现代概形理论的精髓，使读者能够顺利过渡到更高级的研究领域，如代数堆、动机理论等。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 qciss.net All Rights Reserved. 小哈图书下载中心 版权所有