具体描述
《高等代数（第十二版）》简介 作者： 廖安平、张筑生 出版社： 科学出版社 出版时间： 2023年10月 页数： 约680页 定价： 128.00元 ISBN： 978-7-03-078912-3 内容提要与特色 《高等代数（第十二版）》是一部面向全国理工科及部分文科专业本科生编写的经典教材。本书历经十余次修订，始终紧跟国内外高等代数教学和研究的前沿动态，力求在保持其严谨性、系统性的基础上，兼顾理论的深度与应用的广度。本册内容聚焦于线性代数的核心概念与方法，是理解现代科学与工程技术不可或缺的数学基础。 本书的编写遵循“由浅入深、循序渐进”的原则，结构清晰，逻辑严密。它不仅系统地介绍了线性代数的基本概念、理论和计算方法，更注重培养读者的抽象思维能力、逻辑推理能力和运用代数工具解决实际问题的能力。 第一部分：数域与多项式（基础构建） 本书伊始，首先对代数研究的背景——数域进行了严谨的界定和讨论，主要集中在实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$。在此基础上，深入讲解了多项式环的基本性质，这是后续所有代数结构讨论的基石。 重点内容包括： 1. 多项式的环结构： 定义了多项式的加法、乘法，讨论了整环的概念。 2. 多项式的整除性与带余除法： 详述了多项式除法的唯一性，并引入了最大公因式的概念及其求解算法（如欧几里得算法）。 3. 多项式的根： 深入探讨了根的性质，如重根的判定，并引入了有理根定理和艾森斯坦判别法，为求解高次方程提供了有力工具。 4. 多项式的分解： 详细讨论了多项式在不同数域上如何分解为不可约多项式的乘积，特别是其在复数域 $mathbb{C}$ 上必然完全分解的代数基本定理。 本部分内容为向量空间的概念铺设了必要的代数语言基础，强调了代数结构的封闭性和运算的良好性质。 第二部分：线性空间（核心概念的建立） 线性空间（或称向量空间）是高等代数的核心，是理解和描述线性关系的基础框架。本书对线性空间的定义及其基本性质进行了详尽而透彻的阐述。 1. 线性空间的定义与例子： 从公理化角度定义了线性空间，并通过 $mathbb{R}^n$、多项式空间 $P_n[x]$、矩阵空间 $M_{m imes n}$ 等经典例子加深理解。 2. 子空间、线性组合与线性相关性： 严格区分了线性组合、线性展成（生成子集）与线性相关、线性无关的概念。着重论证了线性相关性的充要条件。 3. 基与维数： 引入了基的概念，证明了任何线性空间的基都具有相同的“个数”（即维数），这是线性空间理论中最关键的结构度量。 4. 线性映射（线性变换）： 从结构保持性的角度定义了线性映射，并详细研究了其核（Kernel）与像（Image）之间的关系，即秩-零化度定理。 本章注重概念的辨析和证明的严谨性，为读者构建起一个坚实的线性代数思维体系。 第三部分：线性方程组的求解（计算与应用） 线性方程组是高等代数最早的研究对象，也是其理论应用最广泛的领域。本书采用基于初等行变换的构造性方法来求解方程组。 1. 矩阵与初等行变换： 矩阵被定义为线性映射的“坐标表示”，初等行变换（行简化、行阶梯形）被确立为求解的核心工具。 2. 行阶梯形与矩阵的秩： 严格定义了矩阵的行秩和列秩，并证明了矩阵的行秩等于列秩，这是矩阵理论的基石之一。 3. 求解理论： 利用行阶梯形，系统地给出了线性方程组有解的充要条件，并构造性地导出了所有解的结构——特解与通解（由零空间元素构成）。 4. 克拉默法则（作为补充）： 在理论完善后，作为一种特定情况下的求解方法被介绍，强调其主要在于理论意义而非大规模计算效率。 第四部分：线性空间的内积结构（几何化扩展） 为了引入长度、角度、正交性等几何概念，本章引入了内积的概念，将代数结构与欧几里得几何直观相结合。 1. 内积空间的定义： 讨论了实内积空间和复内积空间，定义了向量的长度（范数）和两向量间的夹角。 2. 正交性与施密特正交化： 详细阐述了正交向量组的性质，并重点介绍了施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，用于将任意基转化为标准正交基。 3. 正交投影： 利用正交性原理，系统地解决了线性子空间上的最佳逼近问题（最小二乘法的基础）。 第五部分：线性变换的结构分析（深层理论） 本章将理论推向深入，研究在线性空间中“变换”本身的性质，特别是如何通过选择合适的基，使变换的矩阵表示达到最简形式。 1. 相似性与特征值、特征向量： 定义了相似变换，导出了特征多项式，并讨论了如何求解特征值和特征向量。强调特征值、特征向量的选取与坐标系的无关性。 2. 对角化问题： 讨论了线性变换可对角化的充要条件（涉及代数重数与几何重数的关系）。 3. 更一般的形： 针对不可对角化的情形，引入了若尔当（Jordan）标准型理论。详细讲解了如何通过求特征子空间和广义特征向量，构造出若尔当标准型矩阵。 4. 实对称矩阵与谱定理： 专门讨论了实对称矩阵在线性空间中的特殊地位，证明了实对称矩阵必可正交对角化（谱定理），这是应用数学中极其重要的理论保证。 第六部分：二次型与张量（应用与推广） 本部分将线性代数方法应用于多项式函数的研究，即二次型。 1. 二次型的定义与矩阵表示： 将二次型表示为 $x^T A x$ 的形式，并研究其矩阵 $A$ 的性质。 2. 合同变换与主轴变换： 利用正交变换（合同变换）将二次型化为最简形式（标准形），即拉格朗日定理和正交对角化。 3. 二次型的分类： 根据其标准形，对二次型进行正定、半正定等分类，这在优化问题和微分方程稳定性分析中至关重要。 4. 张量初步： 对线性代数概念的初步推广，简要介绍了张量的定义和基本运算，为后续学习张量分析或微分几何打下基础。 本版修订亮点 相较于前一版本，第十二版进行了以下关键性的修订与优化： 1. 提升抽象与几何的融合： 进一步强化了线性空间与内积空间的联系，使得读者能更直观地理解抽象定义背后的几何意义。 2. 计算方法的更新： 在线性方程组求解部分，对数值稳定性要求较高的计算步骤（如高斯消元法的稳定性分析）进行了更细致的阐述。 3. 例题与习题的优化： 补充了大量来自物理、工程、计算机科学的实例，特别是涉及矩阵分解（如LU分解、QR分解的初步思想）的背景介绍，使理论更具吸引力。 4. 若尔当标准型讲解的清晰化： 针对学生学习的难点，对如何构造广义特征向量、确定若尔当块的步骤进行了分步详述，配以更直观的图示辅助理解。 本书内容全面、论证严谨，是国内高等代数教学的标杆之作。它不仅能为学生后续学习泛函分析、微分几何、数值分析以及线性代数在现代科学中的应用（如数据科学、机器学习中的主成分分析等）打下坚实的基础，同时也为有志于从事理论研究的学生提供了深入研究的阶梯。
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入门教材~
评分有些错误，没有上册写的好
评分入门教材~
评分高中学习时读过的早期版本的华东师大的教材，从数学科任老师处借来用的。
评分高中学习时读过的早期版本的华东师大的教材，从数学科任老师处借来用的。
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