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出版者:科学普及出版社

作者:

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:2000-01

价格:10.00

装帧:平装

isbn号码:9787110047545

丛书系列:

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好的，这是一份针对一本名为《代数几何基础》的图书的详细简介，该书内容与您提到的“数学”一词所指的通用领域有显著区别，尤其侧重于抽象代数与拓扑的交叉前沿。 --- 代数几何基础：范畴论视角下的簇论与概形理论 内容概要与核心价值 《代数几何基础》并非一本面向初学者的、涵盖基础算术或微积分的通识性数学读物。相反，它是一部面向高等数学专业研究生、科研人员以及对纯粹数学有深刻渴求的读者的专业著作。本书的核心目标是将代数几何的理论框架建立在坚实的范畴论和交换代数基础之上，从而提供一种现代、统一且强大的视角来理解代数簇和概形的结构。 全书摒弃了传统教材中对经典代数几何（如曲线和曲面的射影几何描述）的过度依赖，转而采用概形（Scheme）的概念作为核心研究对象。通过这种抽象化的工具，本书能够优雅地处理奇点、退化情形以及域扩张等传统方法难以驾驭的复杂问题。 本书的叙事结构遵循了从基础结构到前沿应用的递进路线，共分为六大部分，旨在构建一个完整且严密的现代代数几何知识体系。 --- 第一部分：预备知识与基础结构（Foundations and Prerequisites） 本部分是对后续深入研究必不可少的背景知识进行系统梳理与提升。 1. 交换代数的回顾与深化 虽然本书假设读者已掌握标准交换代数课程的内容，但我们在此对几个关键概念进行深化，这些概念是构建概形理论的基石： Noether 环与完备化： 重点讨论完备化对研究局部性质的重要性，特别是针对完备化局部环（CRI）的结构定理。 平坦性与挠性： 深入分析张量积在模范畴中的作用，并引入平坦模的概念，强调其在描述态射性质（如函数域的性质）上的核心地位。 Krull 维度与正则局部环： 对正则性进行代数刻画，连接到局部上同调的消失性，为理解簇的局部光滑性打下基础。 2. 拓扑空间与预层（Presheaves） 在引入概形之前，本书严格界定了必要的拓扑概念，并将其提升到范畴论的语言： 拓扑空间与闭子集结构： 强调由代数结构诱导出的特殊拓扑——Zariski 拓扑的局限性与优势。 预层（Presheaf）的范畴结构： 将预层视为从拓扑空间范畴到某个特定代数范畴（如环的范畴）的函子。清晰界定“自然变换”的含义。 层（Sheaf）的定义与粘合性： 详细阐述层化公理（Germs and Gluing Axiom），说明层如何在局部信息的基础上构建全局结构。 --- 第二部分：概形理论的核心构建（The Scheme Formalism） 这是全书的技术核心，引入 Grothendieck 划时代的概形定义。 1. 环对拓扑空间的构造：局部环化空间 本书以一种“自下而上”的方式构造概形： 素理想的拓扑： 构造 Spec 谱，即交换环 $R$ 的素理想集 $ ext{Spec}(R)$ 上的 Zariski 拓扑。 结构层 $mathcal{O}_{ ext{Spec}(R)}$： 详细构建 $ ext{Spec}(R)$ 上的结构层，通过与分数域（Field of Fractions）或局部化（Localization）的类比，解释为何“点”上的结构是该点的局部化环 $mathcal{O}_p$。 局部化范畴的等价性： 证明了从交换环到其谱上结构的映射与从局部化环到域的映射之间的对应关系。 2. 概形的定义与性质 （预）概形的定义： 正式定义概形 $X = (vert X vert, mathcal{O}_X)$ 为一个由拓扑空间 $vert X vert$ 和真层 $mathcal{O}_X$ 组成的结构对，并要求 $mathcal{O}_X$ 的局部环是特定形式的局部的、整环（或更一般的环）。 射（Morphisms）的定义： 态射 $f: X o Y$ 被定义为拓扑映射和结构层之间的特定环同态的组合，强调保持局部结构。 纤维积与并置： 利用范畴论中的“极限”概念，阐述纤维积在代数几何中对应于多项式环的张量积，展示了概形构造的统一性。 --- 第三部分：态射的分类与几何直观（Classification of Morphisms） 在确立了概形的概念后，本部分专注于如何用代数语言描述几何性质。 1. 重要的态射类别 闭浸入、开浸入与浸入： 分别对应于环的满射、局部同构（特定条件下）和纯的、平坦的同态。 平展态射（Étale Morphisms）： 平展性是光滑性的一个代数弱化，它本质上要求局部结构像域的扩张一样“不分叉”。本书将平展性与导导子（Derivatives）的消失联系起来。 平坦态射（Flat Morphisms）： 深入研究平坦性在纤维（Fibers）上的体现，证明平坦性保证了维数的守恒性。 2. 维数理论的代数处理 使用 Krull 维度来定义概形的维度，特别是对于非约化的概形，讨论了 Cohen–Macaulay 性和正则性的局部性质如何转化为全局的几何特征。 --- 第四部分：束上同调初步（Introduction to Sheaf Cohomology） 为了研究全局性质（如曲线的 genus），必须引入上同调工具。 1. 导出函子与右导出函子 正合性与内射分解： 重新审视正合序列，并引入足够多的内射对象（如 $mathbb{Z}$-模的内射对象）来定义右导出函子 $R^i F$。 张量积函子与 $ ext{Tor}$： 侧重于 $otimes_R$ 函子的导出，引入 $mathcal{Tor}^i$ 束。 2. 局部上同调与全局截面 $Gamma$ 函子的导出： 定义全局截面函子 $Gamma(-)$，并计算其右导出函子 $R^i Gamma(-)$，即局部上同调群 $H^i(X, mathcal{F})$。 塞尔序列（Serre Sequence）： 详细推导著名的长正合序列，该序列是连接局部信息和全局信息的核心桥梁。本书将重点展示如何利用塞尔序列计算 $mathbb{P}^n$ 上的各种层的上同调群。 --- 第五部分：因子与卡蒂埃除数（Divisors and Cartier Divisors） 本部分将代数几何的工具应用于经典的代数曲面理论。 1. 因子理论的代数基础 不可约闭子集与素因子： 将不可约闭子集与局部环中的素理想对应，并引入“整环”的假设以确保唯一分解性质的局部模拟。 卡蒂埃除数： 定义由局部上可逆分式（即局部生成元为非零因子）构成的除数。 线性等价性： 引入典范上同调群 $H^1(X, mathcal{O}_X^)$，并证明它与卡蒂埃除数类的群（Picard 群 $ ext{Pic}(X)$ 的一个商群）之间存在精确的对应关系。 2. 典范除数与黎曼-罗赫定理的预备 探讨典范除数 $K_X$ 的定义，这是连接代数几何与复分析中典范束（Canonical Bundle）的关键。本书将为后续更高级的定理（如黎曼-罗赫定理）提供代数框架，重点放在曲线（Dimension 1 的概形）上，展示 $ ext{dim } H^0(C, mathcal{O}_C(D))$ 的计算方法。 --- 第六部分：对映映入与超越：概形的推广（The Dual Viewpoint） 最后一部分将视角从概形结构本身转向描述这些结构的更抽象工具。 1. 对映映入的引入 本书探讨如何用“局部环的对偶”来描述态射的性质，特别是： 对映映入（Dualizing Sheaf）： 介绍对映映入在奇点理论中的作用，特别是对于 Cohen–Macaulay 模的性质。 2. 范畴论的深度整合 总结全书的范畴论视角： 概形范畴 $Sch$： 将 $ ext{Sch}$ 视为具有特定结构的范畴，并讨论其极限和余极限的几何意义。 概形论与拓扑学的关系： 讨论 Grothendieck 拓扑（如 Grothendieck topology）如何为更一般的“拓扑”结构（如 $fppf$ 拓扑）提供基础，这些拓扑是研究更精细几何性质（如平展性、光滑性）所必需的工具。 --- 适用读者 本书适合已完成代数拓扑、经典代数（群论、环论）和基础交换代数学习，并希望深入研究现代代数几何、代数拓扑或理论物理中几何化理论的读者。它要求读者具备高度的抽象思维能力和对范畴论的初步认识。本书为读者提供了进入现代代数几何研究领域所需的坚实理论基石。

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我必须承认，这本书对于完全的门外汉来说，入门门槛确实不低，它不是那种适合在通勤路上消磨时间的读物。它需要你投入固定的、不受打扰的时间段，并且需要你保持一种持续的、高度集中的精神状态。但正是这种“排他性”和“高要求”，使得它筛选出了真正对这个主题有热情和毅力的读者。阅读过程中，我多次遇到需要停下来，反复推敲某个定义或证明的细节，甚至需要借助外部资料来佐证某个历史背景。但正是这种“挣扎”，让最终的豁然开朗变得格外有价值。这种体验，就像是攀登一座陡峭的山峰，虽然过程艰辛，但一旦站上顶端，俯瞰到的风景便拥有了无与伦比的震撼力。这本书没有回避任何一个知识点可能带来的认知障碍，反而将这些“障碍”视为成长的阶梯。它成功地建立了一种严肃的、求真的氛围，让你在阅读的每时每刻都保持着对知识本身的敬畏之心。它不是一本让你“学会”的书，它是一本让你“成为”一个更严谨思考者、更深刻理解世界的人的书。它的分量，不在于你读了多少页，而在于它在你脑海中刻下了多少思考的印记。

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这本书的排版和印刷质量，坦率地说，在如今这个追求轻薄的时代显得有些“过时”，但这恰恰是它魅力的一部分。纸张的厚度和略带哑光的质感，让它具有了一种厚重的手感，当你捧起它的时候，你不会觉得它是一件可以轻易丢弃的电子替代品，而更像是一件需要被珍视的物件。我个人的阅读习惯是喜欢在书页的空白处做大量的批注和标记，这本书的页边距设计得非常合理，留出了足够的空间，让读者可以自由地与作者进行“对话”。我发现自己花在翻阅和思考上的时间，远远超过了纯粹的阅读时间。更值得一提的是，书中的图示和图表，虽然数量不算爆炸性增长，但每一个都经过了精心的设计和打磨。它们不是简单地对文字的重复，而是承担了“翻译”复杂公式和抽象关系的关键角色。特别是那些需要三维空间想象力的部分，作者的示意图简洁而有力，有效避免了读者在阅读时产生认知上的疲劳。每次翻到那些重要的图表，我都忍不住会停下来，用铅笔轻轻勾勒出关键的线条，这种物理上的互动，极大地加深了信息的记忆和内化。它在数字时代，成功地保持了一种传统媒介应有的尊严和功能性。

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这本书的封面设计，说实话，初看之下有些朴实得过分了，那种深沉的墨绿色，配上烫金的字体，散发着一种老派的、学院派的气息。我原本是抱着一种“试试看”的心态翻开它的，毕竟现在市面上关于知识的普及读物实在太多，大多都是浅尝辄止，追求速度和爽感。然而，当我真正沉浸进去后，才发现自己是多么武断。这本书的叙事节奏异常缓慢而扎实，它不像那些流行的科普读物那样急于抛出“惊人结论”，而是耐心地、一步一步地为你铺陈基础。我特别欣赏作者在处理早期概念时的那种严谨态度，他似乎并不急于让你跳到高深的领域，而是执着于确保你对最基本的逻辑和定义了然于胸。读到关于集合论起源的那一部分时，那种层层递进的推导过程，读起来竟然有种古典音乐的韵律感，每一个小小的论证都像是精确校准的齿轮，推动着整个宏伟的结构向前运转。这不是那种读完能让你立刻拿去炫耀的“速成宝典”，它更像是一份邀请函，邀请你进入一个需要耐心和敬畏才能领略其美妙的殿堂。对于那些真心想对某一领域建立起“根基”而非仅仅是“表面印象”的读者来说，这种缓慢反而成了一种极致的享受，因为它让你感受到知识是如何被建筑起来的，而不是凭空出现的奇迹。那种被扎实理论包裹的安全感，在信息爆炸的时代，简直是稀缺品。

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这本书的写作风格，乍一看，确实带有一丝冷峻和客观的学者风范，初读时可能会让人感觉有些疏离，它很少使用那些煽情的词汇来试图拉近与读者的距离。然而，当你深入阅读下去，你会逐渐体会到，这种“冷峻”实则是一种极高的尊重。作者假定读者是具有一定智力水平和求知欲的，他从不轻视任何一个环节，也从不使用那种居高临下的口吻来“简化”问题。这种对读者的信任，反而激发了我更强烈的学习动力。我发现，读完一个章节后，我不是那种“哦，原来如此”的满足感，而是一种“我竟然能理解这么深奥的东西”的自我超越感。此外，这本书在引用和参考资料的标注上做得极为详尽和规范，这对于任何希望进一步探索该领域的人来说，都是无价之宝。它不仅仅是一个终点，更是一个知识网络的入口。通过追踪那些脚注和尾注，我拓宽了我的阅读边界，接触到了许多我原本不会注意到的重要文献。这种“授人以渔”的内建机制，体现了作者真正的教育情怀，他留下的不仅仅是自己的结论，更是通往更广阔学术世界的路径图。

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说实话，我几乎是从头到尾被这本书的“野心”所折服的。它涵盖的范围之广，让人不禁怀疑作者的精力是否充沛到可以驾驭如此多跨越不同知识谱系的议题。许多同类书籍往往会在某一章节为了迎合市场或简化讲解而草草收场，留下一堆悬而未决的疑问。但这本书的作者似乎有着一种近乎偏执的完整性追求。比如，当我读到关于拓扑学和微分几何交汇点的介绍时，那种行云流水的衔接，让我仿佛看到了一张巨大的、逻辑缜密的蜘蛛网，所有的分支点都紧密相连，没有一处是多余的挂饰。更让我感到惊喜的是，作者在阐述那些抽象概念时，总能找到极其精妙、且极具画面感的类比。这些类比并非是廉价的泡沫，而是经过深思熟虑的工具，它们不仅帮你理解了当前的难点，还能在你未来遇到更复杂问题时，成为你思想的“锚点”。我记得有一次，我在解决一个实际问题时卡住了，鬼使神差地想起了书中关于“同胚”的一个比喻，那一瞬间，那个抽象的结构突然具象化了，我立刻找到了突破口。这本书的价值，就在于它提供的不只是知识点，而是思考问题的“方法论”和“视角”。它让你从“知道”升级到“理解”，再到“运用”的质变过程，读完后，你会发现自己看世界的某些角度都微妙地发生了倾斜和重构。

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