Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Koblitz, Neal

出品人:

页数:248

译者:

出版时间:1984-10

价格:$ 56.44

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isbn号码:9780387960296

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《椭圆曲线与模形式导引》 本书是一部深入探索数学领域中两个迷人而深刻的主题——椭圆曲线与模形式——的著作。通过清晰的阐述和严谨的推理，本书旨在为读者构建一个扎实的理论基础，并揭示它们之间令人惊叹的联系。 第一部分：椭圆曲线的几何与算术 本部分将带领读者踏上椭圆曲线的探索之旅，从它们的基本几何性质出发，逐步深入到其丰富的算术结构。 椭圆曲线的定义与几何特征： 我们将首先介绍椭圆曲线在射影平面上的定义，以及它们作为光滑、非奇异代数簇的特性。读者将学习如何识别和描述椭圆曲线的各种几何性质，例如拐点、切线以及它们在特定域上的行为。我们将深入探讨短Weierstrass方程 $y^2 = x^3 + Ax + B$ 作为椭圆曲线的标准形式，并分析其判别式 $Delta = -16(4A^3 + 27B^2)$ 在判断曲线光滑性中的作用。此外，还会讨论在有限域上的椭圆曲线，这在密码学中具有重要应用。 群律： 椭圆曲线最迷人的属性之一是其点集天然构成一个阿贝尔群。本部分将详细介绍群律的几何构造，即“直线割法”：连接曲线上两点 P 和 Q 的直线与曲线的第三个交点 P，其关于 P+Q 的对称点即为 P+Q。我们将证明这个运算满足群公理，包括单位元（无穷远点）和逆元。这部分内容将为后续讨论的算术性质奠定基础。 有理点与Mordell-Weil定理： 接下来，我们将聚焦于椭圆曲线上的有理点。Mordell-Weil定理是这一领域的核心结果，它指出，对于定义在有理数域 $mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线，其有理点集构成一个有限生成阿贝尔群。本书将详细介绍证明Mordell-Weil定理的关键思想，包括下降法 (descent method) 和赫尔布兰特（Heegner）点等概念，尽管后者可能在更进阶的章节中涉及。我们将解释群的秩 (rank) 的概念，即自由部分的生成元数量，以及其在数论问题中的重要性。 复数域上的椭圆曲线与复数乘法： 本部分还将探讨椭圆曲线在复数域 $mathbb{C}$ 上的表现。通过将复数域上的椭圆曲线看作是复环面 (complex torus) $mathbb{C}/Lambda$，其中 $Lambda$ 是一个格，我们将揭示其与复数乘法 (complex multiplication, CM) 的深刻联系。拥有复数乘法的椭圆曲线具有特殊的算术性质，并且在数论中扮演着重要角色，例如在证明某些特殊方程的解时。 第二部分：模形式的结构与性质 本部分将转向模形式，探索它们的定义、变换性质以及它们在数论和表示论中的核心地位。 模群与上半平面： 我们将从模群 $mathrm{SL}_2(mathbb{Z})$ 开始，这是模形式理论的基石。模群是函数 $z mapsto frac{az+b}{cz+d}$ 的集合，其中 $a, b, c, d in mathbb{Z}$ 且 $ad-bc=1$，它作用于复上半平面 $mathbb{H} = { z in mathbb{C} mid mathrm{Im}(z) > 0 }$。我们将研究模群的生成元及其基本域，并理解它如何将上半平面划分为许多共轭的“原子”。 模形式的定义与变换性质： 模形式是上半平面上的全纯函数，它们满足特定的变换性质。本书将详细定义模形式（例如，权 $k$ 的模形式）以及它们在模群作用下的行为。我们将介绍 $j$-不变量，它是椭圆曲线的模形式，并且是模群作用下的一个重要例子。 傅里叶展开与模形式的结构： 模形式具有优美的傅里叶展开（或称 $q$-展开），当 $q=e^{2pi i z}$ 时，可以表示为 $sum_{n=0}^infty a_n q^n$。本书将详细分析这些展开式的系数 $a_n$，它们往往编码了深刻的数论信息。我们将讨论收敛性、周期性和增长性等性质，这些性质决定了一个函数是否为模形式。 Eisenstein级数与Theta函数： 作为模形式的重要例子，我们将深入研究Eisenstein级数，它们是模群作用下的基本模形式，并且其傅里叶系数可以精确计算。此外，Theta函数，特别是拉马努金Theta函数，也将在本书中得到介绍。Theta函数在数论中扮演着重要角色，例如在二次型的表示问题上，并且它们与模形式有着紧密的联系。 第三部分：椭圆曲线与模形式的联系：Taniyama-Shimura-Weil猜想 本部分是本书的核心，我们将揭示椭圆曲线与模形式之间令人震惊且深远的联系。 L-函数： 我们将介绍与椭圆曲线和模形式相关的L-函数。对于椭圆曲线，其L-函数编码了曲线在有限域上的点数信息。对于模形式，其L-函数则与其傅里叶系数紧密相关。这些L-函数是数学中最核心的研究对象之一，它们具有解析延拓性质，并且通常遵循某种函数方程。 Taniyama-Shimura-Weil猜想（现已证明为定理）： 这个猜想是20世纪最伟大的数学成就之一，它断言，每一个定义在有理数域上的椭圆曲线都与一个模形式相关联。换句话说，每条椭圆曲线都可以被“模形式化”。本书将详细介绍这个猜想的意义，以及它如何统一了数论的两个主要分支。我们将讨论这个猜想的证明过程，特别是 Frey 曲线和 Ribet 定理在其中扮演的关键角色，以及它最终如何导致了费马大定理的证明。 模形式在数论问题中的应用： 本部分将通过具体的例子，展示模形式在解决经典的数论问题中的强大能力。例如，它们可以用于计算整数的平方和表示（例如Lagrange四平方定理和Jacobi四平方定理），研究整数分拆问题，以及在代数几何和表示论中发挥重要作用。 总结与展望 本书旨在为读者提供一个进入椭圆曲线与模形式世界的坚实起点。通过对这两个领域的深入探索，以及对它们之间深刻联系的揭示，读者将能领略到数学的优美与力量。本书不仅涵盖了理论基础，还触及了这些概念在现代数学和密码学中的重要应用，为进一步的深入研究打下基础。 本书适合数学专业的本科生、研究生以及对数论、代数几何和表示论感兴趣的数学研究者。阅读本书需要一定的抽象代数和复分析基础。

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这本书的外观给我一种厚重而可靠的感觉，让我相信它是一本真正能够引导我深入探索数学世界的佳作。《Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms》这个书名本身就充满了吸引力，它指向的是数学中两个既独立又紧密联系的迷人领域。我一直对那些能够揭示数学背后统一性的理论感到兴奋，而椭圆曲线和模形式之间的联系，无疑是这种统一性的一个绝佳范例。我希望这本书能够提供一个清晰且严谨的入门，让我能够理解椭圆曲线的结构和性质，以及模形式的分析特性和它们在数论中的重要应用。我尤其期待书中能够详细解释谷山-志村定理，这个定理不仅是连接这两个数学对象的桥梁，更是解决困扰数学界多年的费马大定理的关键。这本书不仅仅是一本技术手册，更是一次关于数学之美和智慧的启迪。

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当我拿到这本书时，就被它那种简洁而充满力量的设计所吸引，书名《Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms》立刻勾起了我对数学深层联系的探索欲。我一直对数论中的一些精妙理论着迷，尤其是那些能够将代数、几何和分析巧妙融合在一起的概念。椭圆曲线和模形式无疑是其中的典范。我非常期待这本书能够系统地介绍椭圆曲线的代数几何性质，以及模形式的分析特性，更重要的是，它们之间那段被誉为“数学界最伟大的成就之一”的联系。我希望作者能够以清晰的逻辑和详实的例证，帮助我理解这两个概念是如何通过谷山-志村定理紧密联系在一起的，以及这个联系对于解决像费马大定理这样的经典问题所起到的关键作用。这本书不仅仅是一本知识的传递者，更是一扇窗户，让我能够窥见数学世界中更宏大、更优雅的图景。

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收到这本书，我首先被它扎实的装帧和纸张的质感所打动。这是一种能够让你安心投入阅读的厚重感。虽然我此前对椭圆曲线和模形式的了解仅限于一些零散的片段，但我一直认为理解它们之间的联系是深入数论的关键之一。这本书的标题明确地指出了这一点，让我对内容充满了期待。我注意到书中似乎包含了大量的定义、定理和证明，这表明它并非一本浅尝辄止的读物，而是旨在提供一个系统性的学习框架。我很欣赏那种一步一个脚印、由浅入深的学习方式，希望这本书能够循序渐进地引导我掌握这些复杂的概念。我特别关注作者在介绍椭圆曲线的算术性质时，是如何与模形式的分析性质相结合的，以及这些联系是如何在证明著名的定理（比如费马大定理）中发挥作用的。这本书的出版，无疑为像我一样对数论有浓厚兴趣但又缺乏系统指导的读者提供了一份宝贵的资源。

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我一直对数论领域充满好奇，特别是那些能够连接代数、几何和分析的奇妙理论。《Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms》这个书名本身就带有极强的吸引力，它预示着一场关于优雅数学结构的探索之旅。从我初步翻阅的感受来看，这本书的排版和字体选择都非常考究，给人一种沉静而专业的阅读体验。虽然我不是专业的研究者，但对其中的一些概念，比如群论、域扩展等，有一些初步的了解，这让我对书中即将展开的椭圆曲线和模形式的理论充满期待。我尤其感兴趣的是作者如何一步步建立起椭圆曲线的代数几何性质，以及模形式在数论问题中所扮演的关键角色。这本书不仅仅是罗列公式，更重要的是它能否清晰地解释这些概念背后的直觉和逻辑，帮助我理解它们是如何相互关联，并最终解决重要的数学问题的。我希望通过这本书，能够对这些高度抽象但又极为深刻的数学概念有一个更直观、更深入的理解，并且能够欣赏到它们在数学发展中所具有的重要意义。

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这本书的封面设计给我留下了深刻的印象，那种沉稳的色调和精致的字体，仿佛是在召唤我进入一个充满智慧和逻辑的世界。我一直对数学中那些看似深奥却又能够揭示宇宙规律的理论充满敬意，而椭圆曲线和模形式正是这样一类理论。我希望这本书能够提供一个清晰的入门路径，让我能够理解椭圆曲线的代数几何性质，以及模形式在数论和表示论中的重要作用。我尤其期待书中对两者之间深刻联系的阐述，这种联系的发现往往是数学史上的里程碑。从我初步的翻阅来看，这本书的逻辑结构非常严谨，似乎是从基础概念出发，逐步深入到更高级的主题。这种循序渐进的学习方式，对于我这样渴望深入理解但又需要清晰引导的学习者来说，是至关重要的。这本书不仅仅是一本技术性的著作，更是一次关于数学之美的探索。

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当我第一次看到这本书时，就被它的标题所吸引，它预示着一场关于数学中最优雅、最深刻概念的探索。这本书的外观设计简洁而专业，传递出一种严谨的学术氛围。我一直对数论中的那些连接代数、几何和分析的理论抱有浓厚的兴趣，而椭圆曲线和模形式恰恰是这样一种充满魅力的组合。我希望这本书能够为我提供一个系统性的框架，帮助我理解椭圆曲线的结构特性，以及模形式在数论问题中所扮演的关键角色。我特别关注书中是否会详细阐述谷山-志村定理，因为这个定理是连接椭圆曲线和模形式的基石，也是解决费马大定理的关键。这本书的价值在于它能否以一种清晰、易懂的方式，将这些复杂的概念呈现给读者，并且激发读者对数学更深层次的探索欲望。我期待通过这本书，能够对这两个重要的数学对象有一个全新的认识。

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我一直对数学中那些能够跨越不同领域的桥梁性理论深感着迷，而椭圆曲线和模形式无疑是其中的佼佼者。当这本书的封面映入眼帘时，我就被它那种简洁而又不失力量的设计所吸引，仿佛预示着其中蕴含着数学世界中最精妙的结构。虽然我的专业背景并非纯粹的数学，但我对数论和代数几何的交叉领域有着强烈的求知欲。我尤其希望这本书能够清晰地解释椭圆曲线的定义，以及它们在数论中的重要应用，例如在密码学和整数分解中的作用。同时，我也对模形式的丰富性质，包括它们的傅里叶展开、上同调以及在数论函数中的表现，充满了好奇。这本书的价值在于它能否将这两个看似独立的数学对象，以一种系统而又易于理解的方式联系起来，从而揭示出它们背后更深刻的数学统一性。我期待这本书能够为我打开一扇通往更广阔数学世界的大门。

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当我在书架上看到这本书时，其标题就牢牢抓住了我的注意力。《Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms》——仅仅是这个名字，就足以勾起我对数学深层次探索的渴望。从第一眼接触到这本书，我就能感受到它所蕴含的严谨性，无论是纸张的触感，还是书本的厚度，都传递着一种“硬核”的学术信息。我一直对数学中那些看似毫不相关却又奇妙地联系在一起的理论感到着迷，椭圆曲线和模形式恰恰就是这样一对令人惊叹的搭档。我希望这本书能够为我揭示它们之间那层神秘的面纱，让我理解它们是如何在数论、代数几何甚至物理学中扮演着如此重要的角色。我期待书中能够详细阐述椭圆曲线的群结构，以及模形式的对称性和分析特性，更重要的是，它们是如何通过著名的“Taniyama-Shimura-Weil猜想”（现在被称为谷山-志村定理）联系起来的。这本书不仅仅是一本知识的传授者，更像是一个引路人，指引我走向更广阔的数学海洋。

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这本书的封面设计就很有吸引力，那种深邃的蓝色和金色的线条交织在一起，散发着一种古典而又不失神秘的气息。我拿到书的第一时间就被它的外观所吸引，仿佛预示着里面蕴藏着数学世界中最精妙绝伦的理论。尽管我不是数学领域的专家，但对数学，特别是那些能连接起不同数学分支的理论，有着浓厚的兴趣。当我翻开书页，看到那些精心排版的公式和定理时，尽管有些内容对我来说是全新的，但我能感受到作者在这本书中倾注的心血，以及对这个主题的热爱。这本书的结构安排看起来非常清晰，从基础概念的引入，到更深入的探讨，仿佛一条精心铺就的道路，引导着读者一步步探索椭圆曲线和模形式的迷人世界。我特别期待书中关于这两者之间深刻联系的阐述，这就像是在数学的宏大图景中发现了一个隐藏的、美妙的联系，总是让人兴奋不已。这本书不仅仅是一本教材，更像是一扇窗户，让我得以窥见数学更深层的奥秘和优雅。我已经迫不及待地想要沉浸其中，享受这场智力与美的双重盛宴了。

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这本书的封面设计给人一种沉静而睿智的感觉，那种低调的奢华感，仿佛是在邀请读者进入一个精妙的数学世界。《Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms》这个书名本身就蕴含着一种数学的深度和美感。我一直对那些能够连接不同数学分支的理论感到着迷，而椭圆曲线和模形式之间的关系，正是这种迷人联系的绝佳体现。我希望这本书能够清晰地阐述椭圆曲线的定义及其代数几何性质，并深入探讨模形式的分析特性和它们在数论中的应用。更重要的是，我期待这本书能够详细地解释它们之间那段被誉为“数学界最伟大的成就之一”的联系，以及这个联系是如何在解决经典数学难题中发挥作用的。我欣赏那种由浅入深、循序渐进的教学方法，相信这本书能够为我提供一个坚实的基础，让我能够更好地理解和欣赏这些重要的数学概念。

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