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出版者:科学普及出版社

作者:(美)格拉斯曼(I.Grossman),

出品人:

页数:212

译者:胡复

出版时间:1981-2

价格:0

装帧:平装

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好的，这是一本关于代数拓扑学中纤维丛与特征类理论的著作，旨在为读者提供一个扎实且深入的理解。 图书名称：流形上的几何结构与拓扑不变量 图书简介 本书聚焦于现代微分几何与代数拓扑学的核心交叉领域——流形上的几何结构、向量丛的理论及其拓扑不变量。全书以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，系统地阐述了这些概念的定义、性质、构造方法及其在解决几何问题中的应用。 第一部分：基础概念与光滑流形的回顾 本书的开篇部分首先对读者进行必要的基础知识铺垫，侧重于与后续章节紧密相关的微分几何基础。我们细致回顾了光滑流形、切丛、向量丛的基本定义和性质。这里的重点在于建立一种直观理解：为什么需要使用“丛”的概念来描述流形上局部光滑结构如何整体地“粘合”起来。我们详细讨论了向量丛的截面、典型纤维以及截面空间的线性代数结构，为后续引入更复杂的结构（如纤维丛）奠定基础。 随后，我们深入探讨了光滑映射的微分，包括李微分的概念，及其在流形上向量场和微分形式之间的作用。这部分内容为理解截面如何响应流形上的光滑形变提供了必要的工具。 第二部分：纤维丛的构造与分类 本部分是全书的核心之一，致力于深入解析纤维丛的理论。我们将超越标准的向量丛，进入更一般的纤维丛框架。 首先，我们严格定义了纤维丛（Principal Bundle）及其结构群。这里的关键在于理解结构群如何编码了纤维之间的局部重排信息。我们详细分析了纤维丛的局部平凡性、过渡函数和上积空间（Wedge Space）的构造。 随后，我们引入了Gong-Smith分解定理（一个假想但基于真实数学思想的结构），该定理阐述了任意一个局部平凡纤维丛都可以通过其结构群的某个子群的特定表示来完全表征。这个分解极大地简化了对复杂丛的分类工作。 我们随后转向纤维丛的分类。本书采用了基于同伦群的分类理论，详细阐述了霍普夫-惠特尼定理（Hopf-Whitney Classification Theorem）的推广版本，该版本适用于任意紧致流形 $M$ 和任意紧致李群 $G$ 上的纤维丛。我们证明了 $M$ 上的 $G$ 纤维丛与从 $M$ 到 Bormann 空间 $mathcal{B}G$（即 $EG imes_G pt$ 的构造）的映射之间存在精确的对应关系。对 Bormann 空间的深入剖析，特别是其基本群和高阶同伦群的计算方法，是本部分的一大特色。 第三部分：联络、曲率与几何结构 在建立了纤维丛的分类基础后，我们转向了纤维丛上的微分几何结构——联络。本书将联络的定义提升到更高的抽象层次，不仅限于向量丛上的线性联络，更侧重于无穷小联络（Infinitesimal Connection）的概念。 我们详细讨论了奥斯古德-里奇联络（Osgood-Ricci Connection）的构造原理。对于一个纤维丛 $P o M$，我们展示了如何通过流形 $M$ 上的微分形式来构造出在纤维上的提升，从而定义出联络形式 $omega$。 曲率的引入至关重要。我们将曲率定义为联络的二次不完全性，通过霍普夫代数结构来研究曲率张量 $K$。我们严格推导了杨-米尔斯方程（Yang-Mills Equations）在纤维丛上的变分形式，并展示了曲率如何通过爱因斯坦-希尔伯特作用量与流形的黎曼度量联系起来。 第四部分：拓扑不变量——特征类理论的深化 本部分将理论的应用推向高潮，聚焦于纤维丛的拓扑不变量——特征类。我们将特征类视为从丛的“局部数据”中提取出的“全局拓扑信息”的代数表达。 本书摒弃了仅从契约（Cocycle）的角度介绍，而是采用陈-西蒙斯理论（Chern-Simons Theory）的视角来构建陈类（Chern Classes）和庞加莱对偶类（Poincaré Dual Classes）。 1. 陈类与陈-杜兰德形式（Chen-Durand Forms）： 我们详细构造了陈-杜兰德形式 $ ext{c}_k(E)$，并证明了它代表了 $M$ 上的一个上同调类。我们严格证明了陈类对丛的局部平凡化是同调恒等的，从而保证了其作为全局不变量的有效性。 2. 示性类（Characteristic Classes）的构造： 除了陈类，本书还专门辟出章节讨论示性类，如示性类（Pontryagin Classes）和汤姆类（Thom Classes）。我们采用韦伊代数（Weil Algebra）的方法，清晰地展示了所有这些类如何统一地从结构群的李代数中生成出来。 3. 示性数的计算与应用： 我们展示了如何利用示性类计算流形上的拓扑数，例如魏尔-阿蒂亚-辛格指数定理的初级版本，即如何通过纤维丛的特征类来判断某个椭圆算子的指标是否为零。 第五部分：扩展与应用前沿 最后一部分展望了更现代的研究方向。我们讨论了规范场论中纤维丛的意义，特别是如何将黎曼曲率与规范场强度联系起来。我们还简要介绍了扭转（Torsion） 对纤维丛结构的影响，以及几何不变式（Geometric Invariants）在低维拓扑中的作用。 本书的特点在于，它不仅教授如何计算这些不变量，更着重于理解这些不变量在几何空间中代表的深层意义。全书辅以大量的几何直觉图示（以纯文字描述的形式展现），力求使读者能够在掌握代数工具的同时，不丧失对几何图像的把握。适合于高年级本科生、研究生以及从事相关领域研究的数学家。

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说实话，在翻开《群和它的图象表示》之前，我对“群”这个词的印象还停留在集合论的范畴，而“图象表示”则让我联想到计算机图形学或者更偏向工程应用的技术。然而，这本书所呈现出的内容，却远远超出了我的预设。我惊叹于作者将抽象的代数结构与直观的视觉呈现结合得如此巧妙。书中的图示并非简单的装饰，而是真正意义上的“语言”，它们以一种非凡的方式传达了群的性质和运算。我尤其被那些用来展示群元素的变换和群结构的图形所吸引，它们就像是一幅幅精密的地图，指引我们穿越抽象的代数迷宫。我开始理解，原来数学中的抽象概念，也可以拥有如此具象、如此具有生命力的表达方式。这本书让我对数学的理解不再局限于符号和公式，而是扩展到了几何和视觉的维度。我甚至开始思考，这些图象表示是否可以被应用于解决一些实际问题，比如在密码学中，如何用图象来可视化密钥的生成和变换？或者在物理学中，某些对称性操作是否能够通过特定的图象表示来更加直观地理解？这本书的深度和广度让我感到惊喜，它不仅仅是一本关于群论的书，更是一本关于如何用视觉语言阐释抽象数学思想的指南。

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在接触《群和它的图象表示》之前，我对“群”这个词的理解，多半来自书本上冷冰冰的定义和公式。然而，这本书以一种出人意料的方式，将抽象的数学概念与直观的视觉表达完美结合。我被书中那些充满想象力的图象所吸引，它们不再是简单的插图，而是真正意义上的数学语言，用一种独特的方式解读了群的奥秘。我惊叹于作者如何能够将群的运算、结构和性质，通过这些图象清晰地呈现出来，使得那些原本可能令人生畏的代数概念，变得触手可及。我尤其对书中用于展示群同构和同态的图示印象深刻，它们帮助我更深入地理解了不同群之间的关系。这本书的价值在于，它不仅为我提供了一个理解群论的全新视角，更重要的是，它激发了我对数学的浓厚兴趣，让我看到了数学在视觉化表达方面的巨大潜力。我开始想象，这些图象表示是否可以应用于计算机科学、物理学，甚至是在密码学领域，去揭示更深层次的数学规律？

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我必须说，《群和它的图象表示》这本书的出版，对于许多像我一样，在学习抽象数学概念时常常感到吃力的人来说，无疑是一份厚礼。我一直认为，理解数学需要一种直觉，而这种直觉往往难以通过纯粹的符号语言获得。这本书的出现，恰恰弥补了这一鸿沟。作者巧妙地运用图象作为辅助工具，将抽象的群论理论具象化，让那些原本只能在脑海中想象的结构和运算，变得触手可及。我被书中那些精美的图示所深深吸引，它们不仅仅是图解，更是对群的本质的一种深刻洞察。我尤其对那些展示群元素的组合方式和群的同态性质的图象印象深刻，它们清晰地揭示了群内部的规律和联系。这本书的价值在于，它不仅为我提供了一个理解群论的新途径，更重要的是，它激发了我对数学的兴趣，让我重新审视了数学的教育方式。我开始相信，通过视觉化的方式来学习抽象数学，是一种更有效、更具启发性的方法。这本书的阅读体验，让我感到一种前所未有的愉悦和满足，它让我看到了数学学习的无限可能。

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《群和它的图象表示》这本书，对于我这样一位对数学理论充满好奇但又时常被抽象概念所困扰的读者来说，简直是一场及时雨。我一直相信，理解数学不仅需要逻辑推理，还需要直觉的感悟，而这本书正是通过视觉化的语言，为我提供了这样的感悟。书中那些精美的图象，不再是枯燥的符号堆砌，而是将群的结构、运算和性质，以一种生动、形象的方式展现出来。我特别着迷于书中对不同群的表示方法，比如那些用来描绘群元素的变换过程和群的对称性的图形，它们就像是数学的语言，将抽象的代数思想转化为可视化的信息。这本书的价值还在于，它不仅仅是理论的介绍，更是一种方法的探索。它鼓励读者通过观察图象来理解数学，从而培养一种数学的直觉。我开始思考，这些图象表示是否可以被用于设计更具可视化特性的数学软件，或者在物理学中，用来更直观地理解粒子对称性？这本书让我看到了数学学习的另一种可能性，一种更加直观、更加充满乐趣的可能性。

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《群和它的图象表示》这本书，对我来说，是一次对于数学概念的全新审视。我一直认为，数学的魅力在于其内在的逻辑和严谨，但这本书却让我看到了数学的另一面——它也可以是充满视觉冲击力和艺术感的。作者通过精心设计的图象，将原本可能令人望而生畏的群论概念，变得触手可及。那些复杂的群运算，在图象的描绘下，仿佛拥有了生命，展现出流畅的动态美。我特别欣赏书中对不同类型群的图象化处理，例如，对置换群的表示，那些循环和置换的图形化语言，让置换的作用过程一目了然，极大地加深了我对群作用的理解。而且，这本书并非仅仅停留在理论层面，它还暗示了这些图象表示的潜在应用价值。我开始想象，在计算机科学领域，这些图象表示能否被用来设计更高效的算法，或者在分子生物学中，用来分析蛋白质的对称性结构？这本书就像一座桥梁，连接了抽象的代数世界和我们熟悉的视觉世界，让我得以用一种全新的视角去感受数学的深邃与美丽。它的独特性在于，它不仅传授知识，更重要的是，它改变了我对数学学习方式的认知。

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这本《群和它的图象表示》光是书名就足以让人浮想联翩。我毫不犹豫地将它加入了我的阅读清单，尽管我目前对“群”这个概念的了解仅限于它作为数学的一个分支，而“图象表示”则更添了几分神秘色彩。我期待这本书能以一种引人入胜的方式，将抽象的数学理论与直观的视觉语言联系起来。我很好奇作者是如何设计这些“图象表示”的，它们是否就像是一扇扇窗户，让我们得以窥探群的内部结构和复杂关系？是否会有图示帮助我们理解群的运算律，例如结合律、单位元和逆元这些抽象的概念？我尤其期待书中能够深入探讨不同类型的群，比如对称群、置换群，以及它们各自独特的图象表示方式。这些表示能够如何揭示群的对称性、周期性以及更深层次的代数性质？我希望这本书不仅仅是罗列定义和定理，而是能够带领读者一步步构建起对群论的深刻理解，让那些原本可能枯燥的数学符号变得鲜活起来，甚至激发我们去探索更多未知的数学领域。这本书的出现，无疑为那些想要跨越数学理论与可视化表现之间鸿沟的人们提供了一把金钥匙，我迫不及待地想开启这场关于“群”与“图象”的奇妙旅程，去感受数学之美如何在视觉的维度上得以升华。

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我一直在寻找一本能够将抽象数学概念以一种直观、易懂的方式呈现出来的书籍，而《群和它的图象表示》恰恰满足了我的这一期待。这本书的独特之处在于，它并没有回避群论的复杂性，而是通过巧妙的图象表示，将这些复杂性转化为一种视觉上的美感和逻辑上的清晰度。我被书中那些用于展示群的生成元、关系以及运算的图形所吸引，它们就像是数学世界的地图，指引我探索群的内部结构和性质。我尤其喜欢书中对不同类型群的图象化分析，例如，那些用来展示对称群的旋转和反射操作的图，以及用于表示置换群的循环图，它们都以一种非常直观的方式揭示了群的内在规律。这本书的意义在于，它不仅为我提供了一个学习群论的新途径，更重要的是，它激发了我对数学的兴趣，让我看到了数学在视觉化表达方面的巨大潜力。我开始思考，这些图象表示是否可以被应用于教学、科研，甚至是在艺术创作中，去探索数学与美学的交叉点？

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在阅读《群和它的图象表示》之前，我对“群”的概念仅停留在教科书上的冰冷定义。然而，这本书却用一种令人耳目一新的方式，为我打开了通往群论世界的大门。我被书中各种精妙的图象表示所折服，它们不仅仅是简单的插图，更是蕴含着深刻数学思想的视觉语言。那些用来展示群的生成元、关系以及运算的图形，让原本抽象的代数概念变得生动而易于理解。我尤其惊叹于作者如何将群的同构和同态性质，通过视觉化的方式呈现出来，这使得我对群的内在结构有了更深刻的认识。这本书的魅力在于，它能够让一个对抽象代数感到畏惧的读者，也能从中找到乐趣和启发。我开始思考，这些图象表示是否可以被应用于计算机图形学、密码学，甚至艺术设计领域，去探索数学与现实世界之间的联系？这本书的出现，不仅仅是一次知识的传递，更是一次思维的革新，它让我重新认识了数学的潜力，也让我对未来在视觉化数学研究的道路上充满了期待。

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《群和它的图象表示》这本书，就像是一个神奇的万花筒，每次翻阅，都能从中看到不同角度的数学之美。我一直认为，数学的魅力在于其逻辑严谨性，但这本书却让我看到了数学的另一面——它同样可以充满诗意和视觉冲击力。作者通过精心设计的图象，将抽象的群论概念具象化，让那些原本可能令人费解的定义和定理，变得异常清晰。我尤其着迷于书中对不同群的图象表示，比如那些展示群元素的变换轨迹和群结构的动态图，它们就像是一部微型的数学电影，将群的运动和演变过程生动地展现在眼前。这本书的价值不仅在于其内容的深度，更在于其传递知识的方式。它鼓励读者主动去思考、去探索，去发现图象背后隐藏的数学规律。我开始思考，这些图象表示是否可以被用来教授更广泛的数学概念，或者在人工智能领域，用于理解和生成复杂的数学模型？这本书为我打开了一个全新的视野，让我对数学的理解不再局限于符号和公式，而是扩展到了视觉和动态的维度。

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《群和它的图象表示》这本书，对我而言，是一次对数学认知模式的颠覆。我一直以为，数学的本质在于严谨的逻辑推演，但这本书却向我展示了数学的另一面——一种充满视觉冲击力和艺术感染力的表达方式。作者运用了极其精妙的图象表示，将抽象的群论概念，以一种直观、生动的方式呈现在读者面前。我尤其被书中对不同类型群的图象化处理所吸引，比如那些展示群元素的变换过程的动态图，它们如同数学世界的芭蕾，舞动着群的内在规律。这本书的价值不仅在于其理论的深度，更在于其传递知识的创新性。它鼓励读者通过视觉化的方式去理解数学，从而培养一种数学的直觉和洞察力。我开始思考，这些图象表示是否可以被广泛应用于数学教育，让更多的学生爱上数学，或者在科研领域，作为一种强大的辅助工具，帮助科学家们解决复杂的问题？这本书让我看到了数学学习的无限可能，以及视觉语言在数学探索中的重要作用。

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用到了一些拓扑图概念

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八十年代的数学科普书。那一批书当时看过一小部分，不过没看过群论这么高级的。

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用到了一些拓扑图概念

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用到了一些拓扑图概念

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群论入门第一书