具体描述
《偏微分方程引论(影印版)(第2版)》主要内容简介：Partial differential equations are fundamental to the modeling of natural phenomena, arising in every field of science. Consequently, the desire to understand the solutions of these equations has always had a prominent place in the efforts of mathematicians; it has inspired such diverse fields as complex function theory, functional analysis and algebraic topology. Like algebra, topology, and rational mechanics, partial differential equations are a core area of mathematics. This book aims to provide the background necessary to initiate work on a Ph.D. thesis in PDEs for beginning graduate students. Prerequisites include a truly advanced calculus course and basic complex variables. Lebesgue integration is needed only in Chapter 10, and the necessary tools from functional analysis are developed within the course. The book can be used to teach a variety of different courses. This new edition features new problems throughout and the problems have been rearranged in each section from simplest to most difficult. New examples have also been added. The material on Sobolev spaces has been rearranged and expanded. A new section on nonlinear variational problems with "Young-measure" solutions appears. The reference section has also been expanded.
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用户评价
这本书在数学的严谨性和教学的艺术性之间取得了绝佳的平衡。作者对于数学符号的规范使用，以及对概念定义的清晰阐述，都体现了他深厚的学术功底。然而，他并未因此牺牲掉教学的易懂性。我尤其欣赏他在引入新概念时，总会先给予足够的背景铺垫和动机分析。例如，在讨论解的存在性和唯一性时，他会先从实际应用的角度出发，说明为什么我们需要知道一个解是否“存在”以及是否“唯一”，然后再引入相关的数学定理，如柯西-柯瓦列夫斯卡定理或者许瓦兹引理。对于这些定理的证明，作者也进行了细致的讲解，通常会从最简单的二维情况开始，逐步推广到更高维度，并且会特别指出证明中的关键步骤和核心思想。书中在讲解黎曼几何与偏微分方程的联系时，虽然篇幅不长，但其对曲率、测地线等概念的引入，以及如何将这些几何概念与张量分析和偏微分方程联系起来，都给我留下了深刻的印象，让我初步领略到了数学中几何与代数融会贯通的美妙。此外，书中对某些数学方法的局限性也进行了诚实的探讨，比如在讨论某些数值方法时，会提及它们的稳定性问题和误差来源，这有助于读者更全面地认识这些方法的适用范围。
评分在阅读这本书的过程中，我深刻体会到了作者在化繁为简方面的功力。他擅长从最直观的物理情境入手，将抽象的数学概念具象化。比如，在讲解梯度算子时，他会用爬山时感受最陡峭上坡方向的比喻，来帮助读者理解梯度的方向和大小。同样，在解释散度时，他会将其与流体从一个微小体积流出的净流量联系起来，而旋度则与流体绕着某一点旋转的趋势相关。这些生动形象的比喻，极大地降低了理解数学概念的门槛，让我这个对数学分析不是十分精通的读者也能轻松入门。书中对某些重要方程的推导过程，如热传导方程和波动方程，都给出了详细的物理推导步骤，包括对能量守恒、动量守恒等物理定律的应用，以及如何将这些定律转化为数学方程。这些推导过程不仅严谨，而且充满了逻辑的美感。此外，作者在讲解求解方法时，还会提及一些重要的数学定理，如能量方法，并解释它如何在分析偏微分方程解的性质，特别是稳定性和能量耗散方面发挥作用。对这些数学工具的深入介绍，让我意识到偏微分方程的求解不仅仅是符号的演算，更包含着深厚的数学理论支撑。书中还穿插了一些关于偏微分方程在不同学科领域（如材料科学、生物学、经济学）的应用案例，这极大地拓宽了我的视野，让我看到了数学工具在解决实际问题中的巨大潜力。
评分这本书的数学表述严谨而清晰，作者对数学符号和概念的使用恰到好处，既保证了学术的严谨性，又不会让初学者感到过于晦涩。我特别欣赏作者在引入新的数学工具或定理时，都会先对其背景和动机进行充分的解释。例如，在介绍格林函数法时，作者会先从物理问题的可观性出发，阐述为什么需要一个“点源响应”来构造方程的解，然后才引入格林函数的定义和性质，并详细推导了如何利用格林函数来求解非齐次方程。这个过程让我对格林函数这一强大工具的作用有了深刻的认识，而不仅仅是停留在其数学形式上。书中对于不同类型偏微分方程的分类和性质分析也相当到位。作者会细致地比较椭圆型、抛物型和双曲型方程在解的性质、数值解法以及在物理学中的应用上的差异，帮助读者建立起清晰的认知框架。例如，在讲解椭圆型方程（如拉普拉斯方程）时，作者强调了其稳态解的特性，以及解的平均值性质，这些都与抛物型和双曲型方程的动态演化过程形成鲜明对比。书中的一些章节还涉及到一些现代偏微分方程研究的前沿方向，比如非线性薛定谔方程和Navier-Stokes方程的简介，虽然这部分内容介绍得比较初步，但已经足以让我窥探到更广阔的数学世界，激发了我对这些领域进一步学习的兴趣。
评分这本书的章节安排非常合理，逻辑性很强。从基础的定义和分类，到经典的方程和解法，再到数值方法，层层递进，非常适合逐步深入学习。作者在介绍例如柯西-柯瓦列夫斯卡定理这类进阶概念时，并没有直接给出复杂的证明，而是先从直观的角度解释定理的内涵，说明它在保证偏微分方程解的存在性和唯一性方面所起到的作用，然后再给出定理的精确表述和简要证明思路。这种“先知其意，再究其形”的讲解方式，大大降低了学习的门槛。我特别欣赏书中对不同解法之间联系的梳理，比如分离变量法在很多情况下是傅里叶级数展开的数学基础，而傅里叶变换则可以看作是傅里叶级数在无限区间上的推广。通过这样的对比和联系，我对这些方法的内在联系有了更深刻的理解。书中还穿插了一些关于解的性质的探讨，比如解的光滑性、周期性、渐近行为等，这些性质的分析对于理解解的物理意义至关重要。例如，在研究热方程时，作者会分析解的平滑化效应，即即使初始条件不光滑，热方程的解也会变得越来越光滑。这种对解的性质的深入分析，让我不仅仅停留在求解的层面，更能理解解所反映的物理规律。此外，书中还提到了一些非线性偏微分方程的研究方向，虽然这部分内容介绍得比较概括，但已经足以让我感受到非线性问题的复杂性和研究的重要性，激发了我对这些领域的进一步探索兴趣。
评分阅读这本书的过程中，我最深刻的感受是作者对于数学严谨性的坚持与对读者理解的关怀并存。在介绍诸如黎曼积分、傅里叶级数、傅里叶变换等预备知识时，作者没有停留在简单的定义层面，而是深入探讨了这些概念的几何意义和物理背景，尤其是傅里叶分析在信号处理和图像识别中的应用，通过一些简明的图示，让原本抽象的函数分解变得生动形象。当开始讲解偏微分方程的解法时，作者首先从最基本的分离变量法入手，详细阐述了如何将一个偏微分方程转化为若干个常微分方程，并逐步求解。书中为分离变量法设置了大量的例题，从简单的矩形区域到更复杂的区域，每一步的推导都清晰可见，并且对每一步的合理性进行了充分的解释，例如在分离变量时，为什么要引入分离常数，以及这个常数可能取值的不同情况对解的影响。此外，书中对边界条件和初始条件的理解也进行了细致的剖析，强调了它们在确定偏微分方程唯一解过程中的关键作用，并举例说明了不同类型的边界条件（如狄利克雷边界条件、诺伊曼边界条件）如何影响最终的解的性质。书中还引入了一些特殊的函数，比如贝塞尔函数和勒让德函数，并解释了它们在解决特定几何形状区域（如圆柱形区域、球形区域）上的偏微分方程问题时的重要性。作者在讲解这些特殊函数时，不仅给出了它们的定义和性质，还提供了如何利用它们来求解偏微分方程的具体步骤，这对于我们深入研究更复杂的问题非常有帮助。
评分这本书的一大亮点在于其丰富的例题和习题设计。每一个概念、每一种方法，作者都配以详实且富有代表性的例题，从简单到复杂，层层递进。这些例题的解答过程清晰明了，不仅展示了方法的具体应用，更重要的是，它们能够帮助读者检验自己对概念的理解程度。我尤其喜欢书中的一些“挑战性”习题，它们通常需要读者综合运用多个章节的知识，或者进行一定的创造性思考才能解决。这些习题的难度适中，既不会让人望而却步，又能有效地锻炼解决问题的能力。解答这些习题的过程，是我学习过程中收获最大的部分，它让我能够将书本上的理论知识转化为实际的解题技能。作者在提供例题解答时，不仅仅是给出最终答案，而是详细剖析了每一步的推理过程，指出可能遇到的困难点，并给出应对建议。对于一些重要的定理或结论，书中还提供了相关的证明，这些证明都力求简洁明了，并且标注了关键的证明步骤，非常有助于读者理解证明的逻辑。我发现，当我遇到困难时，回顾书中的例题，往往能从中找到思路。书中的附录部分也很有价值，其中包含了大量常用的数学公式和表格，以及一些数学软件（如MATLAB）在偏微分方程求解中的应用介绍，这为我后续的学习和研究提供了极大的便利。
评分阅读此书，我仿佛置身于一个由数学语言构筑的奇妙世界，作者用他精湛的笔触，将复杂的偏微分方程描绘得既严谨又富有艺术感。书中对数学分析基础的复习和巩固，例如在讨论收敛性时，对积分和级数收敛的定义以及相关判别法的回顾，为后续偏微分方程的分析打下了坚实的基础。当探讨如柯西问题这类关于初值问题的解的存在性和唯一性时，作者不仅仅是给出定理，更重要的是，他会通过直观的比喻来解释这些定理的意义，比如将解的存在性比作一个物理系统在给定初始条件下必然会演化出唯一的未来状态。书中在介绍双曲型方程（如波动方程）时，对特征线理论的阐述尤为精彩。作者详细解释了特征线是如何携带信息传播的，以及它在理解方程解的结构和性质方面的重要作用。他通过构造一个简单的二维问题，逐步引导读者理解特征线方程的建立和求解过程，并且通过图示清晰地展示了信息在特征线上的传播路径。这部分内容让我对物理现象中的信息传播有了更深刻的理解。此外，书中在讲解抛物型方程（如热方程）时，对极值原理的讨论也非常深入。作者证明了热方程的解在给定区域上的最大值和最小值必然出现在边界上，这对于理解热量的扩散和温度分布的稳定行为有着重要的意义。这些关于解的性质的深入分析，不仅提升了我的数学理解能力，也让我对物理世界的运行规律有了更深的感悟。
评分这本书在讲解偏微分方程的数值解法部分，给我留下了极为深刻的印象。在理论性讲解之后，作者引入了有限差分法，这是我接触到的第一个系统性的偏微分方程数值解法。作者通过将微分算子用差商来近似，将偏微分方程转化为一个代数方程组，然后讨论了如何通过构建网格、选择差分格式（如向前差分、向后差分、中心差分）来近似原方程。对于每一种差分格式，书中都详细分析了其截断误差的阶数，以及稳定性和收敛性的概念，这对于理解数值方法的可靠性至关重要。特别让我受益的是，作者在讲解时，非常注重对这些抽象概念的直观解释。例如，在讨论稳定性时，他会类比一个不稳定的反馈系统，说明即使是很小的误差在迭代过程中也会被放大，导致结果失真。书中还给出了一些实际算例，展示了如何使用有限差分法来求解一维和二维的定解问题，并提供了相应的伪代码，这让我对如何将理论转化为实际计算有了更清晰的认识。此外，书中还简要介绍了有限元法和边界元法，虽然讲解相对初步，但足以让我了解到它们在处理复杂几何形状和不同边界条件时的优势，为我后续深入学习这些方法打下了基础。总的来说，这本书不仅教授了偏微分方程的理论，更重要的是，它提供了一条将理论应用于实际问题的路径，这对于我未来的工程和科研工作具有极大的指导意义。
评分这本书在概念的引入和发展上，呈现出一种自然而然的流畅感，仿佛是作者引导我一步步走进偏微分方程的殿堂。从最基础的偏导数、方向导数，到梯度、散度和旋度，再到各种重要的偏微分方程，每一步都建立在前一步的基础上，逻辑清晰，层层递进。我特别喜欢书中在讲解如何求解一些经典方程时，所采用的多样化方法。除了前面提到的分离变量法和格林函数法，书中还详细介绍了积分变换法（如拉普拉斯变换和傅里叶变换）在求解初边值问题中的应用，以及如何利用这些变换来简化微分方程。作者在讲解这些方法时，不仅给出了详细的步骤，还对每一步的合理性进行了论证，并且通过大量的例题来巩固学习效果。例如，在应用傅里叶变换求解无限长均质杆的热传导问题时，作者详细展示了如何对初始条件进行傅里叶变换，如何将偏微分方程转化为关于变换后函数和时间的常微分方程，如何求解该常微分方程，最后再进行傅里叶逆变换得到最终解。这个过程虽然涉及较多数学技巧，但在作者的引导下，显得尤为清晰和有条理。书中还对一些解的性质，如收敛性、光滑性和渐近行为，进行了深入的分析，这些分析往往需要用到一些更高级的分析工具，如泛函分析中的一些基本概念，而作者在适当的时候会对其进行简要介绍，确保读者能够理解。
评分这本书的封面设计就相当吸引我，那种沉静而又不失力量的蓝色，仿佛蕴含着无尽的数学奥秘。迫不及待地翻开，首先映入眼帘的是序言，作者以一种平易近人的方式，娓娓道来偏微分方程在现代科学研究中的重要性，从热传导、波动现象到流体力学、量子力学，几乎无处不在，这极大地激发了我深入探索的兴趣。第一章对基本概念的梳理，比如方程的分类、阶数、线性与非线性，以及一些经典方程的初步介绍，如拉普拉斯方程、泊松方程、热方程和波动方程，都讲解得非常透彻。作者并没有一开始就抛出复杂的数学定理，而是通过直观的物理背景和例子来引入，比如通过热量在均匀介质中传播来解释热方程，通过振动的弦来解释波动方程，这种“由形而上”的讲解方式，让我这个初学者也能逐步理解抽象的数学概念。而且，书中对一些基本算子，如梯度、散度和旋度，在不同坐标系下的表示也进行了详细的阐述，这对于后续理解方程的微分形式至关重要。我对作者在引入每一种方程时，都会花大量篇幅介绍其物理意义和应用场景的做法深感赞赏，这使得学习过程不再是枯燥的符号演算，而是与现实世界紧密相连的探索。书中还穿插了一些历史背景的介绍，比如傅里叶如何通过研究热传导问题提出分离变量法，这些细节不仅增加了阅读的趣味性，也让我对偏微分方程的发展脉络有了更清晰的认识。总的来说，这本书为我打开了认识偏微分方程世界的大门，其严谨又不失活泼的讲解风格，让我对接下来的学习充满期待。
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