一元微积分深化引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:吴从炘

出品人:

页数:151

译者:

出版时间:2011-6

价格:29.00元

装帧:平装

isbn号码:9787030314734

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《数学分析精要：从基础到前沿》 本书旨在为读者提供一个系统、深入的数学分析学习体验。我们不再止步于初等微积分的表面，而是挖掘其背后严谨的逻辑结构与深刻的思想内涵，并在此基础上，逐步拓展至更广泛、更抽象的数学领域。通过对一系列核心概念的精细剖析，读者将构建起坚实的数学分析理论框架，为后续更高级的数学学习与研究奠定坚实基础。 第一部分：夯实分析基石——从实数到序列与级数 本部分将带领读者重返数学分析的起点，但视角更为严谨与深刻。我们将从实数系的公理化构造出发，深入理解其完备性、有序性等关键性质，理解为何实数能够承载微积分的运算。在此基础上，我们将详细阐述极限的概念，不仅关注其直观的几何意义，更侧重于其 $epsilon-delta$ 定义的严谨性，并讨论极限存在的充要条件。 序列的收敛性是理解函数极限与积分的基础。我们将深入研究收敛序列的性质，例如柯西序列的完备性，以及单调有界序列的收敛性。通过大量的例题与习题，读者将能够熟练地判断序列的收敛性，并理解其背后的收敛判别法。 级数是序列概念的自然延伸，也是分析学中极其重要的工具。我们将详细介绍收敛级数的概念及其判别法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法等。特别地，我们将深入探讨幂级数，理解其收敛域的确定，以及幂级数在函数展开、求解微分方程等方面的强大应用。我们将解析泰勒展开的原理，并探讨其在逼近函数与误差估计中的作用，深入理解麦克劳林级数等特殊情况。 第二部分：微分学的深度探索——函数与连续性 微分学是微积分的核心内容之一。在本部分，我们将超越简单的导数计算，深入理解函数的连续性概念。我们将精确阐述连续性的定义，并探讨不同类型的连续性，如一致连续性。通过对连续函数性质的研究，例如介值定理、极值定理，读者将深刻理解连续性所带来的“流畅性”与“完整性”，这对于理解函数的行为至关重要。 导数的定义将以更严格的语言重述，并探讨导数存在的条件。我们将系统梳理微分法则，包括四则运算法则、链式法则、反函数求导法则等，并通过大量实例巩固。重点将放在对导数几何意义的理解，例如切线斜率、瞬时变化率，以及导数在函数单调性、凹凸性分析中的应用。 高阶导数的概念将得到详细阐释，并探讨它们在函数形状刻画中的作用，例如拐点、曲率等。我们将深入研究洛必达法则，理解其在解决不定式极限问题中的威力，并探讨其适用条件与局限性。 微分学在函数近似与方程求解中的应用将是本部分的另一重要关注点。我们将解析牛顿迭代法，理解其如何利用导数信息快速逼近方程的根，并探讨其收敛性与局限性。同时，我们将探讨微分学在优化问题中的应用，理解极值点的判定准则。 第三部分：积分学的精妙构建——定积分与不定积分 积分学是微积分的另一半，它揭示了累积与面积的奥秘。我们将从黎曼积分的概念出发，深入理解定积分的定义、性质以及几何意义，例如面积、体积的计算。我们将详细讨论积分的可积性条件，并介绍一些重要的积分技巧，例如换元积分法、分部积分法，以及利用特殊函数进行积分。 不定积分的求解将与定积分紧密联系，我们将强调不定积分是导数的逆运算，并深入理解微积分基本定理的深刻内涵。我们将分析微积分基本定理如何连接微分与积分，为积分的计算提供强大的工具。 定积分在实际问题中的应用将得到充分展现。我们将探讨定积分在计算曲线下面积、旋转体体积、弧长、曲面面积等方面的应用。此外，我们还将介绍定积分在物理学、工程学中的应用，例如计算功、质心、压强等。 广义积分的概念将在此基础上进行拓展，我们将探讨无穷区间积分与含参数积分的收敛性判别。这将为处理更复杂、更抽象的积分问题打下基础。 第四部分：多变量分析的广阔天地——偏导数与多重积分 本部分将带领读者进入多变量分析的领域。我们将首先研究多变量函数，并引入偏导数与方向导数的概念。我们将深入理解多元函数在不同方向上的变化率，并探讨梯度向量的物理意义和几何意义。 多重积分将是本部分的重点。我们将从二重积分与三重积分出发，理解其在计算体积、质量、平均值等方面的应用。我们将详细介绍多重积分的计算方法，包括利用累次积分将多重积分转化为单重积分，并深入探讨多重积分的坐标变换，例如极坐标、柱坐标、球坐标等，以及雅可比行列式的作用。 多变量函数微分学将得到进一步深化，包括方向导数、梯度、散度、旋度等概念。我们将探讨这些概念在物理学中的应用，例如流体力学、电磁学等。 第五部分：分析学的深化与拓展——级数、度量空间与微分流形初步 本部分将对分析学进行更深层次的拓展，为读者展现分析学的广阔前景。 我们将进一步深入研究傅里叶级数，理解其将周期函数分解为三角函数之和的能力，并探讨其在信号处理、偏微分方程求解中的应用。傅里叶变换将作为傅里叶级数的自然推广，介绍其在连续信号分析中的重要作用。 我们将引入度量空间的概念，它提供了一个更抽象、更一般的框架来研究距离和收敛性。在度量空间中，我们将重新审视序列、极限、连续性等概念，并理解其普遍性。这为理解更高级的拓扑学和分析学奠定了基础。 最后，我们将初步接触微分流形的概念。微分流形是光滑的、局部可以类比欧几里得空间的几何对象。我们将理解微分流形如何为研究更复杂的几何形状提供分析工具，例如曲面、嵌入空间中的高维对象等。这将为读者理解微分几何、微分拓扑等前沿数学领域提供一个引子。 学习目标与方法： 通过对本书的学习，读者将能够： 构建严谨的数学思维： 深刻理解数学概念的定义、性质与证明，培养逻辑推理能力。 熟练掌握分析学核心工具： 能够灵活运用极限、导数、积分等工具解决实际问题。 理解数学的内在联系： 认识到微积分、多变量分析、级数等不同数学分支之间的紧密联系。 为进一步学习打下坚实基础： 为学习复变函数、泛函分析、微分几何等更高级的数学课程做好准备。 本书强调理论与实践相结合。每章都包含大量的例题，演示了各种概念的应用，并配有精心设计的习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并锻炼解决问题的能力。鼓励读者在学习过程中积极思考，勇于探索，与经典数学文献进行对话。 目标读者： 本书适合高等院校数学、物理、工程、计算机科学等专业本科生，以及对数学分析有浓厚兴趣并希望深入理解其精髓的读者。对于已经学习过初等微积分，但希望系统性地加深理解的读者，本书将是理想的选择。

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从实战应用的角度来看，这本书的价值也得到了充分体现。虽然它本质上是一本理论深化的教材，但作者并没有将理论与应用完全割裂开来。在不同的章节末尾，都有一些精心设计的“应用探索”部分。这些部分并非只是简单的工程问题照搬，而是着重展示了如何利用书中推导出的数学工具去分析和建模现实世界中发生的现象。例如，书中对某些优化问题的讨论，不仅仅停留在找到临界点上，而是进一步探讨了在约束条件变化时，解的稳定性如何变化。这种对数学工具的“深度挖掘”和“情景化应用”，极大地拓宽了我的视野，让我认识到，微积分的威力远不止于计算曲线下面积或瞬时变化率这么简单，它是一种强大的、普适性的思维框架。对于希望将所学理论真正转化为解决实际问题的能力的人来说，这部分内容的价值无法估量。

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在涉及高级主题的部分，这本书的处理方式展现出了一种令人信服的深度和广度。很多其他参考资料在讲解某些定理的证明时往往会跳过一些关键的中间步骤，美其名曰“留给读者自行推导”，这对于基础不牢固的学习者来说简直是灾难。然而，在这本书中，作者似乎深谙这种“鸿沟”的存在，他们选择以一种近乎“保姆式”的耐心，细致地勾勒出每一个复杂证明的骨架和血肉。特别是那些涉及到收敛性论证或极限分析的章节，其论证的严密性几乎无可指摘。读起来让人感觉非常踏实，每一步的推理都像是在坚实的岩石上行走，而不是在浮沙之上蹒跚。这种对细节的极致追求，使得我对那些我原本以为难以掌握的概念，建立起了前所未有的自信心。它不是简单地罗列结论，而是构建了一整套完整的、可信赖的知识体系。

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我特别欣赏这本书在例题设置上的独到匠心。它不像有些教材那样，只罗列那些教科书式的、标准化的习题，而是巧妙地将理论知识融入到一系列精心设计的、具有实际背景或探索性的问题之中。很多例题不仅仅是简单的公式套用，而是需要读者进行多步骤的推理和综合分析才能得出答案。更棒的是，对于那些关键性的、体现核心思想的例题，作者会提供非常详尽的解题步骤和背后的思考路径，甚至会探讨不同的解题思路及其优劣。这种详尽的“过程展示”远比仅仅给出一个最终答案要宝贵得多。它真正教会的不是“答案是什么”，而是“应该如何思考”。这种教学方法极大地激发了我的主动学习欲望，让我不再满足于被动地接收知识，而是开始尝试主动去探究问题背后的数学美感和内在联系。如果说其他书教我“是什么”，这本书则更像是在教我“为什么会这样”以及“我该如何去证明它”。

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这本书的语言风格非常独特，它不像某些经典的数学著作那样，通篇充斥着冷峻的、形式化的术语，读起来像是在啃干涩的木头。相反，作者的叙述中带有一种恰到好处的学者的“人情味”。在引入新概念时，往往会有一段引人入胜的背景介绍，解释这个概念在数学发展史上的地位，或者它试图解决的实际问题。这种非正式的、富有启发性的引导，极大地调动了读者的学习热情，让人感觉自己不是在与一本冰冷的教科书对话，而是在听一位经验丰富的导师进行深入的讲解。有时候，作者甚至会用一些非常形象的比喻来解释高度抽象的数学结构，这些比喻不仅没有削弱数学的严谨性，反而起到了画龙点睛的作用，让那些抽象的概念瞬间变得鲜活起来。这种平衡——在保持学术严格性的同时，注入人文关怀——是这本书最大的亮点之一。

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这本书的装帧设计，说实话，初看之下有些保守，封面设计中规中矩，没有太多让人眼前一亮的地方。不过，一旦翻开书页，内里的排版质量立刻就展现出了专业水准。字体选择清晰易读，行距和字间距的把握恰到好处，长时间阅读下来眼睛不容易疲劳。作者在章节内容的组织上显得颇为用心，逻辑层次感很强，从基础概念的引入到复杂定理的推导，每一步的过渡都处理得非常平滑，使得原本晦涩难懂的数学概念变得可以被逐步消化。尤其值得称道的是，书中穿插了大量的图示和几何解释，这些视觉辅助工具极大地降低了抽象思维的门槛。对于我们这种需要将理论与直观理解相结合的学习者来说，这种注重视觉化呈现的处理方式无疑是巨大的加分项。尽管初次接触可能需要一点时间适应其叙述风格，但深入其中后，便能感受到其背后严谨的学术态度和对读者学习体验的深切关怀。这本教材在“如何呈现知识”这一点上，做得非常出色，为我们构建扎实的数学基础提供了坚实的物质载体。

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