凸分析与非光滑分析/上海研究生教育用书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:上海科学技术出版社

作者:胡毓达

出品人:

页数:363

译者:

出版时间:2000

价格:25.00

装帧:20cm

isbn号码:9787532355259

丛书系列:

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• 数学分析5
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理论的深邃回响：从凸集到优化求解的探索之旅 这是一部献给致力于数学科学，尤其是优化、控制、逼近理论等前沿领域研究和学习的学子们的著作。它并非一本浅尝辄止的入门读物，而是一次深入探索数学分析核心概念的旅程，旨在构建读者坚实的理论基础，并引领他们穿越抽象概念的迷雾，抵达清晰的理解彼岸。本书的主旨在于系统地梳理和阐述“凸分析”与“非光滑分析”这两大数学分支的精髓，并强调它们在现代科学与工程问题中不可或缺的重要性。 第一部分：凸集与凸函数——理论的基石 本书的开篇，我们将聚焦于“凸集”这一核心概念。它不仅是数学中的一个基本几何对象，更是后续理论展开的逻辑起点。我们会详细阐述凸集的定义，并从几何直观和代数性质两方面深入剖析。读者将学习到如何识别和表征各种常见的凸集，例如超平面、半空间、多面体、球体、锥体等，并理解它们在多维空间中的几何形态。更重要的是，我们将深入探讨凸集的重要性质，包括其保持性（如交集、闭包、内点等运算下的不变性）、保锥性以及凸集的拓扑性质。这些性质不仅为理解后续的理论奠定基础，也直接影响着优化问题的可解性和算法的设计。 在此基础上，本书将自然而然地引入“凸函数”的概念。凸函数是凸集理论在函数视角下的延伸，其“向上弯曲”的几何特征蕴含着丰富而优良的数学性质。我们将从定义出发，详细介绍判断一个函数是否为凸函数的充要条件，包括利用海森矩阵的正半定性（对于光滑函数）、Jensen不等式，以及通过子梯度（对于非光滑函数）的定义。本书将花费大量篇幅来阐述各类重要的凸函数，如线性函数、仿射函数、二次函数、指数函数、对数函数、范数函数等，并分析它们的具体性质和应用场景。 我们还将深入研究凸函数的代数运算。理解凸函数的和、积、复合、逐点最大值等运算如何保持或改变凸性，对于构建复杂的凸优化模型至关重要。例如，两个凸函数的逐点最大值仍然是凸函数，这一性质在许多实际问题中，如组合优化和鲁棒优化，得到了广泛的应用。此外，本书将探讨凸函数与线性规划、二次规划等经典优化问题之间的深刻联系，展示凸性是如何简化问题的求解过程并保证全局最优解的存在性的。 第二部分：凸优化——求解的艺术 掌握了凸集与凸函数的理论，本书将顺理成章地进入“凸优化”的核心领域。凸优化问题因其特殊的数学结构，使得求解全局最优解成为可能，并且存在着高效的算法。本书将系统地介绍凸优化问题的基本构成要素：目标函数、约束条件以及可行域。我们将区分等式约束和不等式约束，并深入分析它们对可行域的影响。 本书将重点讲解实现凸优化目标所需的关键理论工具，如KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）。KKT条件是描述凸优化问题局部最优解的必要条件，在许多情况下，它们也是充分条件。我们将详细推导KKT条件的由来，并逐一解释其各个组成部分（拉格朗日乘子、互补松弛性、约束满足性等）的含义及其在理论和实践中的重要作用。理解KKT条件，是掌握凸优化理论和求解算法的关键一步。 在算法层面，本书将介绍几种经典的凸优化算法。首先，我们会从梯度下降法及其变种（如共轭梯度法、次梯度下降法）讲起。这些算法适用于目标函数是光滑凸函数的情况，通过迭代地沿着负梯度方向更新，逐步逼近最优解。接着，我们将转向处理不等式约束下的凸优化问题，介绍内点法。内点法以其强大的理论收敛性和实际计算效率，在求解大规模凸优化问题中占据着举足轻重的地位。本书将阐述内点法的基本思想，包括屏障函数法和对偶路径追踪法，并对其收敛性进行初步的分析。 此外，我们还将探讨一些更具普适性的优化方法，例如交替最小二乘法（ALS）和坐标下降法，它们在处理某些特殊结构的凸优化问题时，能够提供简洁而有效的解决方案。本书的目标是让读者不仅理解算法的数学原理，更能把握它们适用的条件、优缺点以及在实际工程中进行模型选择和算法调优的思路。 第三部分：非光滑分析——挑战与拓展 当优化问题的目标函数或约束条件不再是光滑函数时，传统的微积分工具将面临挑战。这时，“非光滑分析”的理论就显得尤为重要。本书将引入非光滑分析的核心概念，为处理这类复杂问题提供坚实的理论基础。 我们将首先定义“次梯度”（subgradient）和“次微分”（subdifferential）。次梯度是非光滑函数在某一点的“下降方向”的推广，它取代了光滑函数中的梯度概念。次微分则是一点处所有次梯度的集合，它描述了函数在该点的“局部线性化”行为。我们将详细阐述次梯度和次微分的定义，并给出计算它们的方法，例如对于L1范数、绝对值函数等常见非光滑函数。 本书将重点阐述“闭集值映射”（closed-valued maps）和“可积集”（measurable sets）等拓扑和测度理论中的概念，因为它们在非光滑分析中扮演着重要的角色。我们将深入探讨凸集值映射的性质，以及它们与非光滑函数次微分之间的密切联系。 在此基础上，我们还将介绍适用于非光滑优化问题的求解算法。次梯度下降法是最基础的算法之一，虽然其收敛速度可能不如光滑优化算法，但在许多非光滑问题的求解中仍然是有效的。本书将分析次梯度下降法的收敛性，并探讨一些改进的次梯度方法。 此外，我们还将引入更高级的非光滑优化技术，如 Moreau-Yosida 正则化、Proximal Gradient Method（近邻梯度法）等。近邻梯度法结合了梯度下降的思想和函数近邻算子（proximal operator）的应用，能够有效地处理包含不可微项的优化问题，尤其在信号处理、机器学习等领域具有广泛的应用。本书将深入剖析近邻梯度法的原理，并展示其在实际问题中的应用案例。 第四部分：理论的融汇与展望 在前面的章节中，我们分别介绍了凸分析和非光滑分析的理论与方法。本书的最后部分，旨在将这两大领域融为一体，并展望它们在更广阔的数学与工程领域中的应用前景。 我们将进一步强调凸分析与非光滑分析之间的内在联系。许多非光滑函数实际上是具有良好性质的凸函数，它们的非光滑性恰恰源于某些凸集或凸函数的边界。理解这种联系，能够帮助我们更有效地设计和分析算法。例如，许多变分不等式问题（variational inequality problems）可以被转化为非光滑凸优化问题，反之亦然。 本书将通过一系列精心挑选的案例研究，展示凸分析与非光滑分析在不同学科领域的实际应用。这些案例将涵盖但不限于： 最优化理论与实践： 从经典的线性规划、二次规划，到更复杂的组合优化、鲁棒优化、非凸优化问题。 控制理论： 动态系统的最优控制、模型预测控制等。 逼近理论： 函数逼近、数据拟合、机器学习中的模型训练等。 数值分析： 求解大型稀疏线性方程组、不动点问题等。 经济学与金融学： 投资组合优化、风险管理、博弈论等。 工程科学： 结构优化、信号处理、图像重建、机器学习等。 通过对这些案例的深入分析，读者将能够深刻理解抽象的数学理论是如何转化为解决实际问题的强大工具。本书的目标不仅仅是传授知识，更是培养读者独立分析问题、建立数学模型、选择和设计求解算法的能力。 最后，本书将对凸分析与非光滑分析的未来发展方向进行展望。这包括对更复杂非光滑结构的处理、更高效和鲁棒的算法设计、与其他数学分支（如概率论、微分几何、拓扑学）的交叉融合，以及在人工智能、大数据等新兴领域的进一步深化应用。 本书适合具备一定高等数学基础的研究生和高年级本科生。我们力求内容严谨、论述清晰，并通过丰富的例证和练习题，帮助读者巩固所学知识，激发进一步探索的兴趣。希望本书能够成为读者在数学分析领域求索道路上的得力助手，开启一段充满智慧与挑战的理论探索之旅。

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这本书的理论深度是毋庸置疑的，但更让我感到惊喜的是它在“应用导向”方面的平衡把握。很多纯理论的教材往往过于沉湎于数学的优雅性，而忽略了这些工具在实际工程或科学研究中的落点。然而，这本书在介绍完核心的分析工具后，会紧跟着几个设计得非常精妙的案例分析，这些案例并非那种为了展示而展示的“玩具问题”，而是紧密结合了优化、控制乃至一些现代信号处理中的实际难题。例如，它在讨论次梯度（subgradient）收敛性时，会很自然地引出在非平滑优化问题中，如何利用这些工具去寻找最优解。这种“理论—案例—再理论升华”的循环结构，极大地增强了我的学习动机。我不再是单纯为了考试而记忆公式，而是开始思考：“我能用这个工具解决什么实际问题？” 这种思维模式的转变，是任何一本平庸的教材都无法给予的，它真正点燃了我对应用数学的热情。

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我过去在学习相关领域的基础理论时，总感觉有些概念的衔接不够顺畅，总是在一些关键的转折点上卡壳，需要花费大量时间去查阅各种参考资料来打通脉络。直到我系统地看了这本书的某个章节，我才真正体会到“融会贯通”的含义。作者在处理那些看似孤立的概念时，运用了一种非常巧妙的“引子”式叙述方法，先从一个直观的物理或几何场景切入，然后逐步推导出抽象的数学模型，这种层层递进的构建过程，让人感觉知识的生长是自然而然的，而不是生硬地堆砌定义。举例来说，对于一个常常令人困惑的极限概念，这本书不是简单地给出$varepsilon-delta$语言的定义，而是先用通俗的语言描绘出“无限接近”的动态过程，再用严谨的符号去固化这种状态，使得理解的深度和广度都得到了极大的提升。这种叙述方式极大地降低了我对理论的畏惧感，让我能够更自信地去面对后续更复杂的推导，可以说，它为我构建了一个非常坚实且灵活的理论框架。

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这套书的装帧设计很有意思，封面的设计风格简约大气，拿在手里沉甸甸的，很有分量感。我是在一位数学专业的学长那里偶然看到这本书的，当时就被它封面上那种严谨又不失深邃的质感所吸引。拿到书后，我发现内页的排版也十分考究，字体选择清晰易读，公式的排布逻辑性很强，即便是面对复杂的数学表达式，阅读起来也不会感到吃力。初翻阅时，我注意到书的侧边留白处理得恰到好处，方便读者在阅读过程中做笔记和标记重点，这点对于需要反复研读和推敲的专业书籍来说，是非常人性化的设计。整个阅读体验从感官上就给人一种专业、可靠的印象，这对于我们这些在学术道路上摸索的学生来说，无疑是精神上的一种鼓励。那种将知识系统化、实体化的感觉，让这本书不仅仅是一本工具书，更像是一件精心打磨的学术工艺品。我特别喜欢它用纸的质感，摸上去略带磨砂的触感，不像那些廉价的印刷品那样容易反光，长时间阅读眼睛也不易疲劳，这绝对是长时间学习必备的品质。

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在阅读过程中，我发现这本书的参考文献部分做得非常详尽和专业。这对于希望进行更深入研究的学生而言，简直是如获至宝。它不仅仅列出了经典的原著文献，还包括了一些在特定子领域具有里程碑意义的、可能相对冷门的期刊论文。更令人称道的是，作者在正文中引用特定理论或证明方法时，常常会标注出其主要的来源或提出者，这使得读者在追溯思想源头时有迹可循。我曾尝试顺着书中的一个引用去查阅原始论文，结果发现那篇论文的观点正好解释了书本中一个我此前一直模糊的细节。这表明作者在编写过程中进行了极其严谨的学术溯源工作，而不是简单地拼凑现有知识点。这种对学术历史的尊重和对细节的把控，体现了作者深厚的学术底蕴和对读者负责任的态度，让我对这本书的权威性深信不疑。

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坦率地说，初次接触这类前沿数学分支时，我曾担心自己会因为背景知识的不足而望而却步，毕竟许多高等分析的课程都建立在扎实的实分析和泛函分析基础上。然而，这本书在处理基础概念的回顾和铺垫上，展现出一种极强的包容性。它并没有假设读者已经对所有背景知识了如指掌，而是在需要时，会用非常精炼但清晰的方式重新回顾必要的预备知识，比如对勒贝格测度或拓扑空间的一些关键性质的简要重述，确保了知识链条的完整性。这就像是一位经验丰富的向导，在带领你攀登险峻山峰的同时，会适时为你指明脚下的路况，避免你因缺乏基础支撑而滑倒。对于非数学专业的理工科研究生来说，这本书提供的这种“适度自包含”的叙事方式，极大地降低了跨学科学习的门槛，使得我们能够在保证学术严谨性的前提下，快速掌握核心分析工具。

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