目录
第1 章素数(1)　　 1
1.1 整除性　　 1
1.2 素数　　 2
1.3 算术基本定理的表述 　　 3
1.4 素数序列.　　 3
1.5 关于素数的某些问题5
1.6 若干记号　　 6
1.7 对数函数.　　 8
1.8 素数定理的表述　　 8
本章附注.　　 10
第2 章素数(2) 12
2.1 Euclid 第二定理的第一个证明　　 12
2.2 Euclid 方法的更进一步的推论　　 12
2.3 某种算术级数中的素数　　 13
2.4 Euclid 定理的第二个证明 　　 14
2.5 Fermat 数和Mersenne 数 　　 15
2.6 Euclid 定理的第三个证明　　 16
2.7 关于素数公式的进一步结果　　 17
2.8 关于素数的未解决的问题　　 19
2.9 整数模.　　 19
2.10 算术基本定理的证明　　 21
2.11 基本定理的另一个证明21
本章附注　　 21
第3 章Farey 数列和Minkowski定理　　 24
3.1 Farey 数列的定义和最简单的性质　　 24
3.2 两个特征性质的等价性　　 25
3.3 定理28 和定理29 的第一个证明　　 25
3.4 定理28 和定理29 的第二个证明　　 26
3.5 整数格点.　　 27
3.6 基本格的某些简单性质　　 28
3.7 定理28 和定理29 的第三个证明　　 29
3.8 连续统的Farey 分割 　　 30
3.9 Minkowski 的一个定理　　 31
3.10 Minkowski 定理的证明　　 32
3.11 定理37 的进一步拓展　　 34
本章附注　　 36
第4 章无理数　　38
4.1 概论　　 38
4.2 已知的无理数　　 38
4.3 Pythagoras 定理及其推广　　 39
4.4 基本定理在定理43?45 证明中的应用　　 41
4.5 历史杂谈.　　 41
4.6 p5 无理性的几何证明　　 43
4.7 更多的无理数　　 44
本章附注.　　 46
第5 章同余和剩余　　 47
5.1 最大公约数和最小公倍数　　 47
5.2 同余和剩余类　　 48
5.3 同余式的初等性质　　 49
5.4 线性同余式　　 49
5.5 Euler 函数á(m) 51
5.6 定理59 和定理61 对三角和的应用　　 53
5.7 一个一般性的原理 　　 56
5.8 正十七边形的构造　　 57
本章附注.　　 61
第6 章Fermat 定理及其推论　　 63
6.1 Fermat 定理　　 63
6.2 二项系数的某些性质　　 63
6.3 定理72 的第二个证明　　 65
6.4 定理22 的证明　　 66
6.5 二次剩余　　 67
6.6 定理79 的特例：Wilson定理　　 68
6.7 二次剩余和非剩余的初等性质　　 69
6.8 a (mod m) 的阶　　 71
6.9 Fermat 定理的逆定理　　 71
6.10 2p?1 ? 1 能否被p2 整除　　 73
6.11 Gauss 引理和2 的二次特征　　 73
6.12 二次互倒律　　 76
6.13 二次互倒律的证明　　 78
6.14 素数的判定 　　 79
6.15 Mersenne 数的因子; Euler 的一个定理　　 80
本章附注.　　81
第7 章同余式的一般性质　　 83
7.1 同余式的根　　 83
7.2 整多项式和恒等同余式　　 83
7.3 多项式(mod m) 的整除性　　 84
7.4 素数模同余式的根　　 85
7.5 一般定理的某些应用　　 86
7.6 Fermat 定理和Wilson 定理的Lagrange 证明　　 88
7.7 ￡12 (p ? 1)¤! 的剩余　　 89
7.8 Wolstenholme 的一个定理　　 90
7.9 von Staudt 定理　　 92
7.10 von Staudt 定理的证明　　 93
本章附　　95
第8 章复合模的同余式　　 96
8.1 线性同余式 　　 96
8.2 高次同余式　　 98
8.3 素数幂模的同余式　　 98
8.4 例子　　 99
8.5 Bauer 的恒等同余式　　 101
8.6 Bauer 的同余式：p = 2 的情形　　 102
8.7 Leudesdorf 的一个定理　　 103
8.8 Bauer 定理的进一步的推论　　 105
8.9 2p?1 和(p ? 1)! 关于模p2 的同余式　　 107
本章附注　　 109
第9 章用十进制小数表示数　　 110
9.1 与给定的数相伴的十进制小数　　 110
9.2 有限小数和循环小数　　 112
9.3 用其他进位制表示数　　 114
9.4 用小数定义无理数　　 115
9.5 整除性判别法　　 116
9.6 有最大周期的十进制小数　　 117
9.7 Bachet 的称重问题　　 118
9.8 Nim 博弈　　 120
9.9 缺失数字的整数 　　 122
9.10 测度为零的集合　　 123
9.11 缺失数字的十进制小数　　 124
9.12 正规数　　126
9.13 几乎所有的数都是正规数的证明　　 127
本章附注　　 130
第10 章连分数 　　 132
10.1 有限连分数　　 132
10.2 连分数的渐近分数 　　 133
10.3 有正的商的连分数　　 134
10.4 简单连分数　　 135
10.5 用简单连分数表示不可约有理分数　　 136
10.6 连分数算法和Euclid 算法　　 138
10.7 连分数与其渐近分数的差　　 140
10.8 无限简单连分数　　 141
10.9 用无限连分数表示无理数　　 142
10.10 一个引理　　 144
10.11 等价的数　　 145
10.12 周期连分数　　 147
10.13 某些特殊的二次根式　　 149
10.14 Fibonacci 数列和Lucas数列　　 151
10.15 用渐近分数作逼近 154
本章附注.　　 157
第11 章用有理数逼近无理数　　 158
11.1 问题的表述　　 158
11.2 问题的推广　　 159
11.3 Dirichlet 的一个论证方法　　 160
11.4 逼近的阶　　 161
11.5 代数数和超越数　　 162
11.6 超越数的存在性　　 163
11.7 Liouville 定理和超越数的构造　　 164
11.8 对任意无理数的最佳逼近的度量　　 166
11.9 有关连分数的渐近分数的另一个定理　　 168
11.10 具有有界商的连分数　　 169
11.11 有关逼近的进一步定理　　 172
11.12 联立逼近 　　 173
11.13 e 的超越性　　 174
11.14 的超越性　　 177
本章附注　　 180
第12 章k(1), k(i), k(?) 中的算术基本定理 　　 182
12.1 代数数和代数整数 　　 182
12.2 有理整数、Gauss 整数和k(?)中的整数 　　 182
12.3 Euclid 算法　　 183
12.4 Euclid 算法对k(1) 中的基本定理的应用　　 184
12.5 关于Euclid 算法和基本定理的历史注释　　 185
12.6 Gauss 整数的性质　　 186
12.7 k(i) 中的素元 　　 187
12.8 k(i) 中的算术基本定理　　 189
12.9 k(?) 中的整数　　 191
本章附注.　　 193
第13 章某些Diophantus方程　　 194
13.1 Fermat 大定理 　　 194
13.2 方程x2 + y2 = z2 　　 194
13.3 方程x4 + y4 = z4 　　 195
13.4 方程x3 + y3 = z3 　　 196
13.5 方程x3 + y3 = 3z3 　　 199
13.6 用有理数的三次幂之和表示有理数　　 201
13.7 方程x3 + y3 + z3 = t3 　　 203
本章附注.　　 205
第14 章二次域(1) 　　 208
14.1 代数数域 　　 208
14.2 代数数和代数整数; 本原多项式　　 209
14.3 一般的二次域k(pm) 　　 210
14.4 单位和素元.　　 211
14.5 k(p2) 中的单位　　 212
14.6 基本定理不成立的数域　　 214
14.7 复Euclid 域　　 215
14.8 实Euclid 域　　 217
14.9 实Euclid 域(续)　　 219
本章附注.　　 220
第15 章二次域(2) 　　 222
15.1 k(i) 中的素元 　　 222
15.2 k(i) 中的Fermat 定理 　　 223
15.3 k(?) 中的素元　　 224
15.4 k(p2) 和k(p5) 中的素元　　 225
15.5 Mersenne 数M4n+3 的素性的Lucas 判别法　　 227
15.6 关于二次域的算术的一般性注释　　 229
15.7 二次域中的理想　　 230
15.8 其他的域　　 233
本章附注.　　 234
第16 章算术函数á(n), 1(n),d(n), ?(n), r(n) 　　 235
16.1 函数á(n)　　 235
16.2 定理63 的进一步证明　　 236
16.3 M?obius 函数　　 236
16.4 M?obius 反转公式　　 237
16.5 进一步的反转公式　　 238
16.6 Ramanujan 和的估计　　 239
16.7 函数d(n) 和?k(n) 　　 241
16.8 完全数.　　 241
16.9 函数r(n) 　　 242
16.10 r(n) 公式的证明　　 244
本章附注.　　 245
第17 章算术函数的生成函数　　 246
17.1 由Dirichlet 级数生成算术函数　　 246
17.2 3 函数.　　 247
17.3 3(s) 在s ! 1 时的性状　　 248
17.4 Dirichlet 级数的乘法　　 249
17.5 某些特殊算术函数的生成函数　　 251
17.6 M?obius 公式的解析说明　　 253
17.7 函数¤(n)　　 255
17.8 生成函数的进一步的例子　　 257
17.9 r(n) 的生成函数　　 258
17.10 其他类型的生成函数　　 259
本章附注.　　 261
第18 章算术函数的阶　　 263
18.1 d(n) 的阶 　　 263
18.2 d(n) 的平均阶 　　 266
18.3 ?(n) 的阶 　　 268
18.4 á(n) 的阶　　 269
18.5 á(n) 的平均阶 　　 271
18.6 无平方因子数的个数　　 272
18.7 r(n) 的阶　　 273
本章附注.　　 274
第19 章分划.　　276
19.1 加性算术的一般问题　　 276
19.2 数的分划　　 276
19.3 p(n) 的生成函数　　 277
19.4 其他的生成函数　　 279
19.5 Euler 的两个定理 　　 280
19.6 进一步的代数恒等式　　 282
19.7 F(x) 的另一个公式　　 283
19.8 Jacobi 的一个定理 　　 284
19.9 Jacobi 恒等式的特例　　 286
19.10 定理353 的应用　　 288
19.11 定理358 的初等证明　　 288
19.12 p(n) 的同余性质　　 290
19.13 Rogers-Ramanujan 恒等式 　　 292
19.14 定理362 和定理363 的证明　　 294
19.15 Ramanujan 连分数　　 296
本章附注.　　 297
第20 章用两个或四个平方和表示数　　 300
20.1 Waring 问题：数g(k) 和G(k)　　 300
20.2 平方和.　　 301
20.3 定理366 的第二个证明　　 302
20.4 定理366 的第三个和第四个证明　　 303
20.5 四平方定理　　 304
20.6 四元数　　 　　 306
20.7 关于整四元数的预备定理　　 308
20.8 两个四元数的最高右公因子　　 309
20.9 素四元数和定理370 的证明　　 310
20.10 g(2) 和G(2) 的值 312
20.11 定理369 的第三个证明的引理　　 312
20.12 定理369 的第三个证明：表法个数　　 313
20.13 用多个平方和表示数　　 316
本章附注.　　 317
第21 章用立方数以及更高次幂表示数　　 320
21.1 四次幂　　 320
21.2 三次幂：G(3) 和g(3) 的存在性　　 321
21.3 g(3) 的界 　　 322
21.4 更高次幂 　　 323
21.5 g(k) 的一个下界　　 324
21.6 G(k) 的下界　　 324
21.7 受符号影响的和：数v(k) 　　 327
21.8 v(k) 的上界　　 329
21.9 Prouhet-Tarry 问题：数P(k; j)　　 330
21.10 对特殊的k 和j, P(k; j) 的估计　　 332
21.11 Diophantus 分析的进一步的问题　　 334
本章附注.　　 337
第22 章素数(3) 343
22.1 函数#(x) 和?(x) 343
22.2 #(x) 和?(x) 的阶为x 的证明　　 344
22.3 Bertrand 假设和一个关于素数的公式" 　　 346
22.4 定理7 和定理9 的证明 　　 348
22.5 两个形式变换 　　 349
22.6 一个重要的和 　　 350
22.7 Pp?1 与Q(1 ? p?1) 　　 352
22.8 Mertens 定理　　 354
22.9 定理323 和定理328 的证明　　 356
22.10 n 的素因子个数　　 357
22.11 !(n) 和-(n) 的正规阶　　 358
22.12 关于圆整数的一个注解　　 361
22.13 d(n) 的正规阶　　 361
22.14 Selberg 定理　　 362
22.15 函数R(x) 和V (?) 　　 364
22.16 定理434、定理6 和定理8证明的完成　　 367
22.17 定理335 的证明　　 369
22.18 k 个素因子的乘积 　　 370
22.19 区间中的素数　　 372
22.20 关于素数对p; p + 2 的分布的一个猜想 　　 372
本章附注.　　 374
第23 章Kronecker 定理　　 377
23.1 一维的Kronecker 定理　　 377
23.2 一维定理的证明　　 378
23.3 反射光线的问题　　 380
23.4 一般定理的表述　　 382
23.5 定理的两种形式　　 383
23.6 一个例证　　 384
23.7 Lettenmeyer 给出的定理的证明　　 385
23.8 Estermann 给出的定理的证明　 386
23.9 Bohr 给出的定理的证明　　 388
23.10 一致分布 　　 390
本章附注.　　 391
第24 章数的几何　　 393
24.1 基本定理的导引和重新表述　　 393
24.2 简单的应用　　 394
24.3 定理448 的算术证明　　 396
24.4 最好的可能的不等式　　 397
24.5 关于?2 + ′2 的最好可能的不等式　　 398
24.6 关于j?′j 的最好可能的不等式.　　 400
24.7 关于非齐次型的一个定理　　 401
24.8 定理455 的算术证明　　 403
24.9 Tchebotaref 定理 　　 404
24.10 Minkowski 定理(定理446)的逆定理 405
本章附注　　 409
第25 章椭圆曲线　　 413
25.1 同余数问题　　 413
25.2 椭圆曲线的加法法则　　 414
25.3 定义椭圆曲线的其他方程　　 418
25.4 有限阶点　　 420
25.5 有理点组成的群　　 424
25.6 关于模p 的点群　　 430
25.7 椭圆曲线上的整点　　 430
25.8 椭圆曲线的L- 级数　　 433
25.9 有限阶点与模曲线　　 436
25.10 椭圆曲线与Fermat 大定理　　 439
本章附注　　 441
参考书目　　 445
附录.　　 449
特殊符号以及术语索引　　 452
常见人名对照表　　 455
总索引　　 457
《哈代数论(第6 版)》补遗　　 461
· · · · · · (收起)