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出版者:American Mathematical Society

作者:John Franks

出品人:

页数:202

译者:

出版时间:2009

价格:323.00元

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isbn号码:9780821848623

丛书系列:Student Mathematical Library

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《A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration》：探寻现代数学分析的基石 在数学的浩瀚宇宙中，积分是一项至关重要的工具，它如同尺规，丈量着曲线下的面积，描绘着空间中的体积，更在物理、工程、统计等众多学科中扮演着核心角色。然而，我们最初接触到的黎曼积分，虽然在许多实际应用中表现出色，却在理论深度和普适性上存在着局限。正是为了突破这些局限，数学家们发展出了更为强大和优雅的工具——勒贝格积分。 《A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration》一书，便致力于为读者铺就一条通往勒贝格积分世界的清晰而精炼的道路。本书并非一本包罗万象的详尽百科全书，而是以其“简练”（Terse）的特点，聚焦于勒贝格积分的核心概念和关键技术，旨在为那些渴望深入理解现代数学分析的读者提供一个高效且严谨的入门指引。 为何需要勒贝格积分？黎曼积分的边界 要理解勒贝格积分的价值，我们首先需要回顾黎曼积分的原理。黎曼积分的核心思想是将函数的定义域划分成一系列细小的区间，然后在每个小区间上用矩形的高度近似函数值，最终通过这些小矩形面积之和的极限来定义积分。这种“分割自变量”的策略直观易懂，也足以处理许多“乖巧”的函数，例如连续函数。 然而，当面对一些“不那么乖巧”的函数时，黎曼积分的局限性便显现出来。例如，考虑一个在有理数处取值为1，在无理数处取值为0的函数（狄利克雷函数）。这个函数在任何区间上都没有黎曼可积性。此外，对于某些复杂的序列函数，其极限函数可能不再是黎曼可积的，即使原先的函数是黎曼可积的。这在涉及极限运算、测度论、概率论等前沿数学领域，会带来诸多不便甚至理论上的断裂。 勒贝格积分的出现，正是为了克服这些挑战，它提供了一种全新的积分视角。 勒贝格积分的革新：从“分割自变量”到“分割因变量” 勒贝格积分的核心思想是“分割因变量”。它不再关注函数定义域的划分，而是将函数的取值范围（值域）进行划分。想象一下，我们不是把蛋糕切成小块，而是问“有多少部分的蛋糕高度在某个范围内？” 这种转变看似抽象，却带来了巨大的理论优势。 具体而言，勒贝格积分的建立依赖于两个关键概念：测度（Measure）和可测函数（Measurable Function）。 测度：为集合“量体裁衣” 测度可以被看作是一种对集合“大小”或“体积”的推广。在欧几里得空间中，我们熟悉长度、面积、体积等概念，它们都属于测度的范畴。勒贝格测度进一步将这一概念推广到更广泛的集合上，使得我们可以为一些“奇怪”的集合赋予一个有意义的大小。 对于实数集 $mathbb{R}$，勒贝格测度（通常记为 $m$）可以自然地推广到 $mathbb{R}^n$ 上的勒贝格外测度，并最终定义出勒贝格可测集。最直观的例子是，区间 $(a, b)$ 的长度就是 $b-a$，这就是其勒贝格测度。即使是非正则的集合，只要满足一定的“可测”条件，也能被赋予一个测度值。 可测函数：为函数的“可测量性”保驾护航 可测函数是勒贝格积分的另一个基石。一个函数如果满足一个重要的性质，即它的“上水平集”和“下水平集”都是可测集，那么它就被称为可测函数。更通俗地说，对于任何一个实数 $c$，函数 $f(x) leq c$ 的所有 $x$ 的集合，以及 $f(x) geq c$ 的所有 $x$ 的集合，都必须是可测集。 这个条件保证了我们可以对函数的取值进行“测量”，从而为积分的定义奠定基础。许多我们熟悉的函数，如连续函数、单调函数、分段常数函数等，都是可测函数。但勒贝格积分的强大之处在于，它能够积分那些黎曼积分难以企及的函数，例如前面提到的狄利克雷函数，在勒贝格积分的框架下，它可以被赋予一个明确的积分值（在这个例子中为0）。 勒贝格积分的构建：从简单函数到一般可积函数 勒贝格积分的构建过程，是从一系列简单的函数出发，逐步推广到更一般的可积函数。 1. 特征函数（Indicator Function）: 对于一个集合 $A$，其特征函数 $mathbf{1}_A(x)$ 在 $x in A$ 时取值为1，在 $x otin A$ 时取值为0。对一个可测集 $A$ 的积分，自然定义为它的测度 $m(A)$。 2. 简单函数（Simple Function）: 简单函数是有限个非负值的阶梯函数，可以表示为 $sum_{i=1}^n c_i mathbf{1}_{A_i}(x)$，其中 $c_i$ 是常数，$A_i$ 是互不相交的可测集。对于非负简单函数的积分，被定义为 $sum_{i=1}^n c_i m(A_i)$。 3. 非负可测函数: 对于任何一个非负可测函数 $f$，我们可以找到一个递增的简单函数序列 ${phi_n}$，使得 $phi_n(x)$ 逐点收敛于 $f(x)$。此时， $f$ 的勒贝格积分被定义为 $lim_{n o infty} int phi_n dm$。 4. 任意可测函数: 对于任意可测函数 $f$，我们可以将其分解为正部 $f^+(x) = max(f(x), 0)$ 和负部 $f^-(x) = max(-f(x), 0)$，其中 $f(x) = f^+(x) - f^-(x)$。如果 $f^+$ 和 $f^-$ 的勒贝格积分都存在且有限，那么 $f$ 的勒贝格积分被定义为 $int f dm = int f^+ dm - int f^- dm$。 《A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration》的价值所在 本书的“简练”（Terse）风格意味着它不会花费大量篇幅在冗长的证明细节或过多的变体讨论上，而是直击勒贝格积分的核心概念和关键性质。读者可以从中快速掌握： 测度理论的基础: 理解如何为集合赋予“大小”，以及勒贝格测度的构造和性质。 可测函数与可测集的关系: 掌握函数可积性的内在条件。 勒贝格积分的定义与计算: 学习如何通过简单函数逐步构建勒贝格积分，并理解其与黎曼积分在某些情况下的联系与区别。 积分的收敛定理: 这是勒贝格积分理论的精髓之一，例如单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）、法图引理（Fatou's Lemma）以及控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem）。这些定理在处理极限运算和函数序列的积分时，提供了强大的理论支撑，极大地简化了许多数学分析中的论证过程。 Lp空间: 勒贝格积分的引入，使得我们可以清晰地定义并研究 $L^p$ 空间，这些空间是泛函分析和偏微分方程等领域的核心研究对象。 本书的读者画像 《A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration》特别适合以下人群： 数学专业本科高年级学生: 正在进行数学分析、实变函数等课程学习，需要掌握勒贝格积分作为后续深入学习的基础。 研究生和科研人员: 在概率论、泛函分析、调和分析、偏微分方程等领域工作的研究者，需要扎实的勒贝格积分理论基础。 对现代数学分析感兴趣的自学者: 希望快速高效地掌握勒贝格积分的核心思想和技术，为进一步探索更高级的数学理论打下坚实基础。 结语 勒贝格积分是20世纪数学的伟大成就之一，它不仅极大地拓展了积分的适用范围，更深刻地改变了数学分析的面貌。通过《A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration》，读者将能够以一种清晰、紧凑且严谨的方式，领略勒贝格积分的理论魅力，并为未来在数学及相关科学领域的探索，装备上强大的理论武器。这本书是一扇门，引领你进入一个更广阔、更深刻的数学世界。

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这部作品给我最深刻的印象是其内在的优雅和对数学美学的尊重。作者在组织材料时，似乎遵循着一种“最少公分母”的原则，只保留了构建勒贝格积分理论所必需的最少元素，却奇迹般地构建出了一个完整的、坚固的理论大厦。它避免了许多教科书为了迎合不同教学进度的做法而加入的“装饰性”章节或例子，使得整本书的逻辑链条异常清晰且紧密。阅读它时，我感受到的是一种纯粹的数学美感——如同欣赏一件雕刻精良的几何艺术品，每一刀都切在了最关键的位置。对于那些已经熟悉黎曼积分，并渴望一窥现代分析体系的宏伟蓝图的进阶学习者来说，这本书提供的视角是极其宝贵的，它帮助你快速建立起现代分析的“骨架”。

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坦白讲，这本书的“简洁”特性在某些方面也带来了一定的取舍。对于那些需要大量辅助性细节和直观解释才能建立起数学直觉的学习者而言，这本书可能显得有些“冷峻”。它假设读者已经具备了相当的微积分和初步集合论背景，因此在一些基础概念的铺垫上较为简略。我发现自己不得不经常停下来，回顾先前学过的一些关于拓扑和收敛性的知识点，才能完全消化书中的某个论断。然而，如果将它视为一本“快速参考”或“概念提炼”的工具书，它的表现堪称完美。它将勒贝格积分的精髓提炼得非常到位，如同将一锅复杂的汤汁熬制成了最浓缩的清汤，每一滴都饱含了味道，但你必须自己去感受那种味道的层次感。它不是一本用来“闲聊”的数学书，而是用来“解决问题”的利器。

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我最近翻阅的这本书，坦率地说，它对于已经有一定实分析基础的读者来说，可能略显不够“深入”，但作为一本“导论”，它的价值是无可替代的。它仿佛一个精心设计的微缩模型，让你在最短的时间内领略到勒贝格积分相比黎曼积分的优越性和美感所在。书中的论证过程非常流畅，几乎没有让人感到晦涩难懂的地方。特别是作者对收敛定理的处理，没有陷入冗长的篇幅，而是直奔主题，强调其在实际分析中的重要意义。这种“克制”的写作手法，使得原本可能显得枯燥的理论学习过程变得像在欣赏一幅结构清晰的建筑蓝图。对于那些希望在有限的时间内建立起对现代积分理论框架认知的人来说，这本书的价值远超其篇幅所暗示的。它就像一剂高效的浓缩咖啡，让你迅速清醒，直达目标。

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阅读《A Terse Introduction to Lebesgue Integration》的过程，体验感非常独特，更像是在进行一次高效的“知识考古”。它没有像许多教科书那样，先用大篇幅铺陈各种背景知识，而是直接从构建测度空间开始，步伐坚定地向前推进。我特别喜欢作者在引入诸如简单函数、可测函数这些关键概念时的那种直截了当。这种风格的挑战在于，读者必须保持高度的专注，因为任何一丝的走神都可能让你跟不上作者的思路。然而，一旦你适应了这种节奏，你会发现自己学到了比预期多得多的东西。它强迫你去思考“为什么”而不是仅仅记住“是什么”。对于那些希望挑战自己思维速度，并渴望快速领悟分析本质的读者，这本书无疑是份极好的挑战与馈赠。它不是那种可以随意翻阅消遣的书籍，它要求你拿出严肃对待的态度。

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这本《A Terse Introduction to Lebesgue Integration》真是让人眼前一亮，尤其是对于那些初次接触测度论和勒贝格积分的读者来说。它不像一些经典教材那样动辄数百页，动辄堆砌复杂的定理和繁琐的证明，而是选择了一条更为精炼、直击核心的路径。作者的叙述风格非常清晰，仿佛一位经验丰富的导师，耐心地为你揭开这些抽象概念的神秘面纱。书中的例子选取得恰到好处，既能说明理论的实际应用，又不会让读者陷入无谓的计算泥潭。我尤其欣赏它对测度基础的构建，那种由浅入深的逻辑推进，让人感觉每一步都踏在了坚实的基础上，而不是在云雾中摸索。对于想要快速掌握勒贝格积分核心思想，并准备好迎接更深入研究的数学系学生来说，这绝对是一份高效且令人愉悦的入门指南。它成功地在“简洁”和“严谨”之间找到了一个近乎完美的平衡点，避免了过度简化而牺牲数学的精确性。

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