曲线与曲面的微分几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:沈阳市数学会

作者:（日）小林昭七

出品人:

页数:205

译者:王运达

出版时间:1980

价格:1.50

装帧:19cm

isbn号码:9780000018618

丛书系列:

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几何的拓扑与分析：从欧几里得空间到高维流形的研究 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的基础，深入探讨经典欧几里得空间中的几何结构，并将其拓展到更抽象、更普遍的数学对象——微分流形。我们聚焦于如何运用微积分和线性代数的工具，来精确描述和分析空间本身的内在属性，特别是那些与曲率、拓扑和局部结构紧密相关的概念。 第一部分：欧几里得空间中的几何基础 我们将从最直观的欧几里得三维空间 $mathbb{R}^3$ 入手，建立起描述几何形状的数学语言。 第一章：向量代数与坐标系 本章回顾了三维向量空间的基础，包括向量的加法、标量乘法、内积（点积）的几何意义——长度和夹角。我们详细讨论了向量的外积（叉积）及其在定义法向量和面积元素中的关键作用。随后，我们将引入坐标变换的概念，特别是旋转和反射，它们是如何影响向量表示但不改变几何本质的。重点分析了正交变换矩阵的性质，为后续的曲率计算打下基础。 第二章：曲线的局部几何 曲线是理解空间曲率的起点。我们定义了空间曲线的参数化表示，并着重讨论了弧长参数化，这是进行内在几何分析的必要准备。在弧长参数化下，我们引入了著名的 弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式。这组微分方程组精确地描述了曲线在空间中移动时，其 切向量 ($mathbf{T}$)、主法向量 ($mathbf{N}$) 和 次法向量 ($mathbf{B}$) 构成的局部坐标系（弗雷内标架）如何演化。通过分析弗雷内标架的变化率，我们定义了曲线的两个核心不变量：曲率 ($kappa$)，度量曲线偏离直线的程度；以及 挠率 ($ au$)，度量曲线偏离平面的程度。本章通过大量的实例分析，如螺旋线、圆锥曲线的投影，展示了如何计算这些不变量，并探讨了曲线的等度量（isometric）变换。 第三章：平面曲线的微分几何 虽然三维空间是我们的主要研究场域，但平面曲线（嵌入在 $mathbb{R}^2$ 或 $mathbb{R}^3$ 中的一维对象）的分析为理解曲面提供了重要的类比。我们考察了平面曲线的曲率定义，特别是与包络线、曲率圆等概念的联系。重点讨论了极坐标系下的微分运算，并引入了曲率的另一种表达方式——曲率半径的倒数，以更好地理解曲线的“弯曲”程度。 第二部分：欧几里得空间中的曲面 本部分是全书的核心，我们将分析嵌入在 $mathbb{R}^3$ 中的二维曲面，并使用一阶和二阶微分形式来描述它们的内在和外在几何属性。 第四章：曲面的参数化与第一基本形式 曲面被定义为 $mathbf{x}(u, v)$ 的像，其中 $(u, v)$ 是曲面上的参数。我们首先讨论了曲面的局部坐标系——切平面。为了度量曲面上的距离、角度和面积，我们引入了 第一基本形式 ($I$)。第一基本形式由度量张量 $g_{ij}$ 决定，它由曲面上的切向量 $mathbf{x}_u$ 和 $mathbf{x}_v$ 的内积给出。本章详细推导了 $E, F, G$（第一基本形式的系数），并利用它们来计算： 1. 曲线在曲面上的长度（弧长公式）。 2. 曲面上由参数曲线围成的面积元素。 3. 曲面上两切向量间的夹角。 我们还探讨了曲面的正则性，并定义了曲面上的单位法向量场 $mathbf{N}$，这是后续分析的关键工具。 第五章：曲面的外在曲率——第二基本形式 为了描述曲面如何“弯曲”到其所处的环境空间 $mathbb{R}^3$ 中，我们引入了 第二基本形式 ($II$)。第二基本形式衡量了曲面法向量场的变化率，它与曲面的形状和弯曲程度直接相关。我们推导了第二基本形式的系数 $L, M, N$，并讨论了 形状算子 ($S$)，即一个线性算子，它将切向量映射到法方向上。 第六章：曲率的分类与内蕴性 结合第一基本形式（度量）和第二基本形式（形状），我们定义了描述曲面弯曲程度的核心不变量： 1. 主曲率 ($kappa_1, kappa_2$)：形状算子在正交方向上的特征值。 2. 高斯曲率 ($K$)：两个主曲率的乘积 ($K = kappa_1 kappa_2$)。它描述了曲面在某一点上弯曲的程度。 3. 平均曲率 ($H$)：两个主曲率的平均值 ($H = (kappa_1 + kappa_2)/2$)。 本章的重点在于 高斯绝妙定理 (Theorema Egregium)。该定理证明了高斯曲率 $K$ 仅仅依赖于第一基本形式的系数 $E, F, G$ 及其一阶和二阶偏导数。这意味着 $K$ 是一个 内蕴量，它不依赖于曲面是如何嵌入到 $mathbb{R}^3$ 中的。我们详细分析了 $K=0$（可展曲面）、$K>0$（椭圆点）和 $K<0$（双曲点）的几何意义。 第七章：测地线与黎曼曲率 测地线是曲面上“最短”或“最直”的曲线，它是曲线上“无加速”运动的路径。我们推导出测地线的微分方程，这涉及到 克里斯托费尔符号，它们是从第一基本形式导出的，用于在曲面上进行微分运算。 随后，我们将讨论 微分形式 的工具，将曲面上的几何分析提升到更高的抽象层面。我们介绍定向曲面上的积分，并证明了 高斯-邦内定理，这是内蕴几何的里程碑。该定理将一个紧致、无边界流形（曲面）的拓扑不变量（欧拉示性数 $chi$）与其几何不变量（高斯曲率的积分）联系起来： $iint_M K , dA = 2pi chi(M)$。 第三部分：从曲面到流形——几何的推广 最后，我们将研究从具体的欧几里得嵌入空间中解放出来的几何结构——微分流形。 第八章：流形的引言与拓扑基础 本章提供必要的拓扑学背景，定义了流形、拓扑空间、连续性和同胚。我们着重于 拓扑流形 和 微分流形 的定义，即局部具有欧几里得空间结构的拓扑空间，并配备了相容的坐标图册。我们引入了 切空间 的概念，它取代了 $mathbb{R}^3$ 中的切平面，成为流形上所有可能方向的线性空间。 第九章：张量分析与微分形式 为了在任意维度 $n$ 的流形上进行几何分析，我们必须使用张量语言。本章详细介绍了协变和反协变向量（张量），以及拉回（pullback）和外拉（pushforward）操作。接着，我们引入 微分 $k$-形式，它们是流形上的函数，用于积分和定义广义的微分算子。我们阐述了 外导数 ($d$) 运算，它是曲率概念的推广。 第十章：黎曼流形 黎曼流形是配备了 黎曼度量张量 $g$ 的微分流形，该张量在每一点上定义了一个内积，从而允许我们度量长度和角度。我们学习如何在黎曼流形上定义 联络（如 Levi-Civita 联络），它允许我们在相邻的切空间之间“平行移动”向量。 通过联络，我们引入了 黎曼曲率张量 $R_{ijkl}$。该张量是高斯曲率概念在任意维度上的推广，它完全决定了黎曼流形的内蕴几何结构。我们展示了黎曼曲率张量的代数性质，并讨论了其在物理学和广义相对论中的重要性，特别是在曲率的积分与拓扑结构之间的关系（如爱因斯坦-伯蒂奇公式的维度推广）。 全书结构严谨，从直观的三维空间几何出发，通过第一和第二基本形式建立起曲率的计算框架，最终通过张量分析和黎曼流形的理论，将几何学的研究提升到了一个更抽象、更普适的境界。

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老实说，这本书的阅读体验更像是和一位极其严谨的导师进行一对一的学术研讨，而不是轻松地翻阅一本可以消遣的书籍。它的叙事节奏是极其缓慢且审慎的，每一个定义、每一个引理的提出，都经过了深思熟虑，目的是确保读者不会留下任何概念上的模糊地带。我注意到，它花了大量篇幅来处理那些看似次要的“技术细节”，比如光滑性假设在不同情境下的微妙变化，以及如何处理边界情况。这种对细节的执着，使得它在严谨性上无可指摘，但对于那些急于看到“宏大图景”的初学者可能会显得有些冗长乏味。我个人认为，它最宝贵的一点在于，它没有简单地罗列公式，而是努力在公式背后展现其几何直观——尽管这种直观往往需要读者自身的想象力去挖掘。总而言之，这是一本适合在安静的图书馆里，伴着一杯浓咖啡，进行深度“冥想式”阅读的教材。

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拿到这本书后，我立刻被它那近乎教科书式的排版和图示所吸引。不同于一些充斥着手绘草图的讲义风格，这里的图例都经过精心设计，它们简洁、清晰，完美地服务于抽象概念的可视化需求。然而，视觉上的舒适感并不能完全掩盖内容的难度。这本书的结构是极其模块化的，每一章节都像一个功能完备的小系统，其内部逻辑环环相扣。我发现，作者在介绍完基础的流形概念后，立刻引入了联络和测地线的讨论，这种快速进入核心主题的方式，对于有一定背景的读者来说是高效的，但对于基础薄弱的人来说，可能会感到压力陡增。我特别欣赏它对“内在性”原则的强调，它不断提醒我们，许多重要的几何性质，是独立于我们选择的坐标系而存在的，这才是微分几何的魅力所在。阅读过程中，我不断地回头查阅前几章的内容，这表明这本书要求极高的知识连续性。

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这本厚重的著作，初次捧起时，便被它那严谨的学术气息所笼罩。它并非那种轻描淡写的入门读物，而是直插核心、步步为营的深度探索。翻开扉页，映入眼帘的是对拓扑学基础的快速回顾，但很快，笔锋便转向了更具挑战性的领域。作者似乎刻意避开了那些过于直白的类比和比喻，而是选择用纯粹的数学语言构建起整个理论大厦。你必须对张量分析和微分形式有扎实的理解，否则，阅读过程将充满挫败感。我特别欣赏其中关于黎曼曲率张量定义的详尽阐述，那一段，如同精密的手术刀，将复杂的几何概念剖析得淋漓尽致，让人体会到数学之美在于其内在的逻辑必然性。对于渴望真正掌握微分几何精髓，而不满足于表面功夫的读者来说，这本书无疑是一座必须攀登的高峰。它要求你投入时间，需要你反复咀嚼每一个定理的证明过程，但一旦突破了某个关键的理解瓶颈，那种豁然开朗的感觉，是任何轻松读物都无法比拟的。

评分☆☆☆☆☆

阅读此书，犹如在进行一场精密的建筑勘测工作。它从最基本的点、向量和切空间开始，小心翼翼地铺陈开来，直至构建起复杂的曲面结构。作者在证明过程中展现出的耐心和细致令人印象深刻，尤其是对一些涉及到极限和稠密子集的操作，处理得尤为审慎，避免了任何可能引发歧义的论述。我发现在涉及高斯曲率和平均曲率的章节中，作者巧妙地运用了局部坐标系带来的便利，同时又时刻提醒我们这些工具的局限性。这本书的价值在于它的“完备性”——它似乎试图涵盖所有基础且重要的概念，不留下明显的知识断层。对于我这样的学习者来说，这本书是那种放在书架上，随时可以翻阅并从中汲取精确知识的“工具书”级别的存在，它不追求花哨，只追求绝对的准确和逻辑的无懈可击。

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这本书的语言风格有一种古典的学术庄重感，用词考究，句式结构往往比较复杂，充满了大量的从句和限定语。这使得阅读起来需要高度集中注意力，因为稍微走神，就可能错过一个关键的逻辑转折点。我感觉作者仿佛在与一个和他水平相当的同行进行对话，预设了读者已经具备了高等数学的通用语言。我注意到，书中在涉及一些前沿或者跨学科内容时，例如与拓扑学或代数几何的交叉点，处理得非常谨慎和克制，更多的是提供一个观察的视角，而非深入的推导。这本书更像是一部“方法论”的指南，它教会你如何用微分几何的工具去思考问题，而不是简单地教你“是什么”。对于那些希望将这门学科应用于物理学或工程学领域的人来说，这本书提供了坚实的数学基础，但读者需要自己去搭建应用层面的桥梁。

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小林昭七不愧是大家，这本小书堪称麻雀虽小五脏俱全，该讲的都讲到了。特别是书末的跋很值得一读，不仅讲了微分几何的发展史，更提到其与代数拓扑、动力系统、变分学、代数几何的联系。

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小林昭七不愧是大家，这本小书堪称麻雀虽小五脏俱全，该讲的都讲到了。特别是书末的跋很值得一读，不仅讲了微分几何的发展史，更提到其与代数拓扑、动力系统、变分学、代数几何的联系。