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出版者:Springer

作者:Thomas Cecil

出品人:

页数:212

译者:

出版时间:2007-11-26

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387746555

丛书系列:universitext

图书标签:

• 数学
• 几何
• Springer
• Geometry
• 2007
• Lie群
• 微分几何
• 球面几何
• 群表示
• 对称性
• 流形
• 几何变换
• 李代数
• 不变量
• 几何方程

黎曼几何导论：从度量到拓扑的桥梁 作者： [此处可填写作者姓名，若无则留空] 出版社： [此处可填写出版社名称，若无则留空] ISBN： [此处可填写ISBN，若无则留空] 定价： [此处可填写定价，若无则留空] --- 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有启发性的黎曼几何入门。它不仅仅是一本教科书，更是一次对空间、曲率和测地线本质的探索之旅。我们深知，黎曼几何是现代数学和理论物理学的基石之一，它以其优雅的结构连接了微分几何、拓扑学和分析学。因此，本书的编写严格遵循了从基础概念到高级理论的逻辑递进，确保读者在掌握严谨数学工具的同时，也能体会到几何美学的精髓。 全书结构清晰，共分为六个主要部分，层层递进，旨在构建一个坚实的黎曼几何知识体系。 第一部分：微分流形基础的回顾与深化 本部分是后续所有内容的基础，我们将对微分流形这一核心概念进行一次细致的回顾与必要的深化。我们假设读者已经具备基本的微分拓扑学知识，但会用更聚焦于度量几何的视角来重新审视这些概念。 1. 流形与切空间： 我们将精确定义光滑流形，并详细阐述切空间的代数结构。重点在于理解切向量场作为导子代数的作用，以及如何通过张量积和收缩运算构造更高阶的张量场。 2. 张量代数与微分形式： 详细介绍协变张量、反变张量以及混合张量。尤其关注微分 $k$ 形式（或称作外形式）的定义、楔积运算（wedge product）及其在积分子上的直观几何意义。我们将强调德拉姆上同调（de Rham cohomology）的几何背景，尽管本书主要侧重于度量，但理解上同调是理解拓扑不变性的关键。 3. 向量场与流： 对向量场在流形上的作用进行深入分析，介绍李导数（Lie derivative）的概念，它衡量的是函数或张量场沿着向量场流动的变化率，这是理解对称性和保持度量的变换的起点。 第二部分：黎曼度量与联络的引入 本部分是本书的核心转折点，我们将引入决定空间内在几何属性的两个基本对象：黎曼度量和仿射联络。 1. 黎曼度量： 黎曼度量被定义为一个光滑的、处处正定的对称（0, 2）-张量 $g$。我们详细讨论了如何利用度量来定义内积、长度、角度和体积元素。重点讨论了度量在局部坐标系下的分量表示，以及它如何提供一个“量化”流形的方法。 2. 长度与测地线： 基于黎曼度量，我们定义了曲线的长度泛函。这是变分法的自然应用，其极值对应于测地线。我们将严格推导测地线方程，并讨论其物理意义——最短路径的推广。 3. 仿射联络与平行移动： 引入仿射联络 $ abla$，它定义了如何在流形上“比较”不同点的切向量。详细探讨了协变导数（covariant derivative）的定义，以及为什么一个联络需要满足扭率（torsion）和曲率（curvature）的性质。 4. 黎曼几何的基石：列维-奇维塔联络： 这是一个里程碑式的概念。我们将证明，对于任何黎曼度量，总存在一个唯一的联络，它既是无挠的（torsion-free），又是度量相容的（metric-compatible）。我们将推导出列维-奇维塔联络的显式公式（克里斯托费尔符号），并证明其重要性：它保证了长度和角度在局部是保持一致的。 第三部分：曲率的代数与几何表达 曲率是黎曼几何的灵魂所在。本部分致力于从代数上定义曲率张量，并从几何上解释其物理意义。 1. 曲率张量（黎曼张量）： 详细定义黎曼曲率张量 $R(X, Y)Z = abla_X abla_Y Z - abla_Y abla_X Z - abla_{[X, Y]} Z$。我们将分析其代数对称性（第一、第二比安基恒等式），这些恒等式是黎曼几何中最为深刻的结构性质。 2. 截面曲率与高斯方程： 我们将截面曲率定义为在二维平面内由两个切向量张成的子空间上的黎曼曲率。讨论了在嵌入空间中（如高斯绝妙定理），截面曲率与主曲率之间的关系，为理解曲面的内在几何提供了直观的入口。 3. 里奇张量与标量曲率： 通过对黎曼张量的收缩，定义里奇张量（Ricci tensor）和标量曲率（Scalar curvature）。我们将强调里奇张量在爱因斯坦场方程中的核心作用，以及标量曲率作为衡量流形“平均弯曲程度”的全局量度的重要性。 第四部分：测地线、完备性与拓扑 本部分将微分几何的工具应用于分析和拓扑领域，重点关注测地线的全局行为。 1. 测地线完备性： 引入完备黎曼流形的概念，即所有测地线都可以无限延伸的流形。我们将利用指数映射（Exponential Map）来证明和分析完备性，并讨论霍普夫-林尼克定理（Hopf-Rinow Theorem）。 2. 测地线偏离： 使用雅可比方程（Jacobi equation）来研究相邻测地线的偏离行为。这是对曲率概念的动态诠释，是理解焦点、共轭点和测地线聚焦现象的关键。 3. 庞加莱引理与霍奇理论的黎曼版本： 简要介绍黎曼流形上的梯度、散度和拉普拉斯算子（拉普拉斯-德拉姆算子）。阐述了在完备流形上，拉普拉斯算子的性质如何与流形的拓扑结构（如调和微分形式）紧密相关。 第五部分：黎曼流形的演化与极值问题 本部分探索由度量引发的优化和演化过程，特别是涉及到对度量的形变。 1. 变分法与能量泛函： 建立曲线能量泛函并进行变分，导出现代几何中常见的能量最小化概念。 2. 黎曼度量的演化方程： 讨论某些自然微分方程（如热流或爱因斯坦流）如何驱动黎曼度量沿着某些几何量（如里奇曲率）进行演化，以达到一个“更稳定”或“更对称”的状态。 3. 极小曲面理论的黎曼推广： 虽然本书非专业研究极小曲面，但我们会将极小性概念推广到高维，探讨由面积泛函导出的欧拉-拉格朗日方程，即向量场的散度为零的条件。 第六部分：正曲率流形上的比较定理 本部分是黎曼几何中最为精妙的结果之一，它将曲率的符号与流形的拓扑和结构联系起来。 1. 辛科夫斯基定理与正截面曲率： 深入探讨正截面曲率（Ricci curvature positive）带来的深刻几何限制。我们将展示，在某些条件下，正曲率流形如何具有局部“紧凑”的特性。 2. 拓扑与曲率的联系： 介绍高斯-博内定理（Gauss-Bonnet Theorem）作为二维流形上曲率与拓扑（欧拉示性数）之间深刻联系的典范。在更高维度，我们将介绍辛格-耶特尔（Singer-Yau）猜想的背景，即卡拉比-丘流形与里奇平坦流形的关系，尽管不进行严格证明，但会阐明其几何意义。 3. 测地线凸性与边界： 讨论正曲率如何影响流形的边界行为和测地线的聚焦性，为读者理解卡尔文-哈密尔顿的几何分析方法打下基础。 --- 本书特色 严谨的数学推导： 每一步概念的引入都伴随着清晰的、可验证的代数和分析推导，避免了对概念的肤浅描述。 几何直觉的培养： 尽管数学上严谨，本书始终通过二维或三维的实例（如球面、球面上的曲线）来阐释抽象张量的几何意义。 分析与几何的融合： 本书高度重视变分原理和偏微分方程在解决几何问题中的应用，展示了分析工具如何揭示流形的内在结构。 自包含性： 读者只需具备高等微积分、线性代数和基础的拓扑学知识，即可开始阅读，大部分必要的预备知识（如流形基础）在第一部分进行了系统回顾。 本书适合于数学、理论物理、几何分析等领域的本科高年级学生和研究生作为标准教材或参考书使用。它将引导读者从经典的微分几何框架，稳步迈入现代黎曼几何的研究前沿。

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这本书最让我印象深刻的一点是它如何巧妙地平衡了抽象性与可操作性。它敢于触及那些被许多入门读物回避的深层问题，例如空间结构是如何影响物理定律的，但同时，它又提供了足够的工具和清晰的定义，确保读者不会在概念的海洋中迷失。我尤其欣赏它在章节末尾设置的那些“思考题”——它们往往不是简单的计算，而是需要你整合之前所有学到的概念，进行一次小型的、富有创造性的几何构造。这种学习方式极大地提高了我的主动性。它不是要求你记住一个公式，而是让你去“发现”那个公式的必然性。阅读这本书的过程，更像是一场持续不断的智力对话，作者提出了深刻的问题，然后用优美的数学语言引导你找到答案。这本书对于任何渴望将自己的数学能力提升到新层次的读者来说，都是一份宝贵的财富。

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我必须承认，这本书的阅读体验是分阶段的。初读时，你会感觉自己像个学徒，被作者巧妙地引入了一个全新的语言系统。然而，一旦你跨过了前几章的“适应期”，你会发现这本书开始展现出惊人的内在力量和一致性。作者在全书范围内建立了一套严谨而优美的术语体系，所有的概念都像精密的齿轮一样咬合在一起，没有一丝冗余或松动。更难能可贵的是，它在讨论一些前沿的、可能尚未完全定型的数学思想时，展现出一种罕见的审慎和清晰，既不夸大其作用，也不低估其潜力。这使得这本书不仅是一本学习资料，更像是一部深入探讨数学哲学和未来方向的思考录。对于那些寻求结构化、系统化理解现代几何框架的严肃学习者而言，这本书的价值无可替代，它提供的不仅仅是知识点，更是一种看待数学问题的“视角”。

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这本书的深度和广度令人叹服，但最让我感到震撼的是其叙事的节奏感。作者似乎非常懂得如何在高密度的信息流中保持读者的注意力。它不是那种平铺直叙的教科书，更像是一位经验丰富的向导，带着你在复杂的数学迷宫中穿行。每当我觉得自己即将被一个概念压垮时，作者总能适时地引入一个富有洞察力的几何实例，瞬间点亮眼前的迷雾。我特别喜欢它对历史脉络的梳理，它没有孤立地介绍理论，而是将不同的几何学派和思想家的贡献串联起来，让这些抽象的概念有了鲜活的背景和驱动力。这使得学习过程充满了“为什么会这样”的好奇心，而不是仅仅满足于“它就是这样”的结论。对于有一定数学基础但希望深入理解现代几何框架的读者来说，这本书提供了一个极为扎实且引人入胜的平台。它挑战你的直觉，但总是以一种友好的方式提供返回坚实基础的路径。

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说实话，我拿起这本书之前有些犹豫，因为“几何”这个词汇在某些领域似乎意味着无穷无尽的计算和符号操作。但我惊喜地发现，这本书的侧重点似乎更偏向于概念的洞察力和几何直觉的培养，而非纯粹的代数推导。作者在阐述一些核心思想时，大量使用了图形化的语言，即使在描述高维或抽象结构时，也能让人在脑海中勾勒出一个大致的图像。这对于我这种偏向形象思维的学习者来说，简直是福音。我花了好大力气去消化那些关于曲率和测地线的章节，但这本书的处理方式——通过对现实世界中弯曲表面的反复参照和对比——极大地降低了理解门槛。它教会我的不仅是计算如何进行，更是“为何要进行”这种计算背后的几何意义。如果你厌倦了那些只会堆砌公式的书籍，这本书的这种“重意境、轻繁琐”的风格，绝对能让你耳目一新，重新燃起对纯粹几何探索的热情。

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这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，色彩的运用大胆而和谐，那种深邃的蓝色调仿佛一下子就能把我拉入一个充满未知和探索的数学宇宙。我一直对纯粹的几何学抱有浓厚的兴趣，但很多教材往往过于依赖枯燥的符号和严谨的证明，让人望而却步。然而，这本书在介绍基础概念时，却有着令人惊喜的直观性和启发性。它没有急于展示复杂的定理，而是通过一系列精心构思的例子和类比，引导读者去“感受”空间是如何被扭曲和重构的。比如，它对某些非欧几何空间的描述，简直像是在描述一幅流动的艺术品，而非冰冷的数学公式。我尤其欣赏作者在处理拓扑学和微分几何交界处的巧妙笔触，那种过渡自然得让人几乎察觉不到难度等级的提升。这本书无疑是为那些渴望在数学美学和严谨逻辑之间架起桥梁的读者准备的。读完第一章，我就知道我找到了那种能让我真正沉浸其中，并享受思考过程的读物。它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的塑造，让人在浩瀚的几何世界里找到了自己的立足点。

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