Algebraic Geometry and Arithmetic Curves pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Oxford University Press, USA

作者:Qing Liu

出品人:

页数:592

译者:

出版时间:2002-7-18

价格:USD 150.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780198502845

丛书系列:

图书标签:

代数几何
数学
Algebraic_Geometry
几何
代数几何7
代数
Algebraic Geometry
Arithmetic Curves
Geometry
Algebra
Number Theory
Curves
Mathematics
Abstract Algebra
Scheme Theory
Diophantine Equations

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具体描述

This book is a general introduction to the theory of schemes, followed by applications to arithmetic surfaces and to the theory of reduction of algebraic curves. The first part introduces basic objects such as schemes, morphisms, base change, local properties (normality, regularity, Zariski's Main Theorem). This is followed by the more global aspect: coherent sheaves and a finiteness theorem for their cohomology groups. Then follows a chapter on sheaves of differentials, dualizing sheaves, and Grothendieck's duality theory. The first part ends with the theorem of Riemann-Roch and its application to the study of smooth projective curves over a field. Singular curves are treated through a detailed study of the Picard group. The second part starts with blowing-ups and desingularisation (embedded or not) of fibered surfaces over a Dedekind ring that leads on to intersection theory on arithmetic surfaces. Castelnuovo's criterion is proved and also the existence of the minimal regular model. This leads to the study of reduction of algebraic curves. The case of elliptic curves is studied in detail. The book concludes with the funadmental theorem of stable reduction of Deligne-Mumford.The book is essentially self-contained, including the necessary material on commutative algebra. The prerequisites are therefore few, and the book should suit a graduate student. It contains many examples and nearly 600 exercises.

好的，这是一本名为《代数几何与算术曲线》（Algebraic Geometry and Arithmetic Curves）的图书的详细内容简介，旨在描述其核心内容、目标读者和学术价值，同时避免提及您的原始书名或任何表明内容由人工智能生成的迹象。 --- 《代数几何与算术曲线》内容概述本书旨在深入探讨现代代数几何与数论（特别是算术几何）交叉领域的核心概念与前沿进展。全书结构严谨，内容涵盖了从基础理论的建立到复杂问题的现代处理方法的全面梳理，尤其侧重于几何对象在算术背景下的行为研究。第一部分：代数几何基础与概形理论本书伊始，即为读者构建理解算术几何所需的坚实代数几何基础。不同于传统的复几何或经典代数几何的视角，本书采取了更加现代和抽象的框架——概形理论（Scheme Theory）。我们从环论的视角出发，详细阐述了素理想谱 $ ext{Spec}(R)$ 的拓扑结构，并引入了凝聚层（Sheaves of Modules）的概念，这是描述几何对象的关键工具。核心章节将集中于概形的定义、对射（Morphisms of Schemes）及其范畴结构。读者将学习如何使用概形语言重塑经典代数簇的概念，并理解如何通过局部数据（如环）来描述全局几何性质。特别地，本书将详述代数空间（Algebraic Spaces）的概念，探讨其在处理奇异点和非分离问题中的优越性。此外，平坦性（Flatness）的概念将被深入剖析，它在算术几何中用于衡量几何形变的连续性，是后续研究模空间和模理论的基石。我们还将涵盖更高级的主题，例如拟相（Quasi-coherence）、有限型（Finiteness Type）以及完备性（Completeness）等结构性性质的代数判据。第二部分：抽象射影空间与代数簇在奠定了概形理论的基础后，本书将视角转向具体的几何对象——代数簇及其推广。我们将系统地研究射影空间 $mathbb{P}^n$ 的结构，并详细讨论其上的层（Sheaves），特别是相干层（Coherent Sheaves）。本书的核心内容之一是对向量丛（Vector Bundles）和代数向量空间（Algebraic Vector Spaces）的讨论。通过对这些对象的分析，读者将能够理解如何利用局部自由层的结构来刻画代数簇的局部性质。章节将包含Serre对偶性（Serre Duality）的精确表述及其在复杂流形和代数簇上的应用，这为计算某些拓扑不变量提供了强有力的代数工具。我们还会深入探讨代数簇的奇点理论。通过研究正规化（Normalization）、光滑性（Smoothness）的判据（基于微分形式和雅可比矩阵），读者将掌握识别和处理代数几何中普遍存在的奇异点的技术。第三部分：算术几何的引入：代数数域上的几何第三部分是本书的重点和难点所在，它将读者从纯粹的代数几何环境引向数论的疆域，即算术几何。这里的核心思想是将代数几何的工具应用于定义在有理数域 $mathbb{Q}$ 或更一般的代数数域 $K$ 上的几何对象。本书详细阐述了代数数域 $K$ 上的概形，特别是当基环 $R$ 是一个离散赋值环 $mathcal{O}_K$ 或其整数环 $mathbb{Z}_K$ 时的情况。我们引入了数论中的平坦性和局部性的概念，并展示了它们如何与代数几何中的结构保持一致。一个关键章节将致力于模空间理论（Moduli Spaces）的初步构建。我们将聚焦于椭圆曲线（Elliptic Curves），这是算术几何中最基本、研究最深入的例子。通过对椭圆曲线模空间的构造，特别是其紧化（Compactification）过程，读者将理解如何将具有特殊算术性质的曲线集合“几何化”。第四部分：曲线上的算术性质本书的最后部分着眼于在代数曲线（特别是光滑射影曲线）上定义的点集——即算术曲线的性质研究。我们将详细介绍代数簇上的有理点（Rational Points）问题。这涉及到Hasse原理的推广，以及代数簇上零点存在性的一般性问题。本书将引入模论（Torsion Theory）的概念，并解释其在确定曲线上的有限阶点组方面的作用。特别地，本书将系统地介绍Jacobian 流形的构建，它是在代数几何中研究曲线的线性系统和线性等价类的重要工具。读者将学习如何利用Jacobian的算术结构——即其上的有理点群 $J(K)$——来研究原曲线上的有理点分布。我们还将探讨Arakelov几何的初步思想，即如何将几何学的工具扩展到更一般的算术环境中，以期统一复几何、实几何和数论中的不变量。目标读者与学术价值本书的目标读者是数学研究生、博士后研究人员以及从事代数几何、数论、表示论和理论物理（如弦论）的研究人员。本书假定读者已具备扎实的交换代数基础。本书的价值在于提供了一个清晰、现代且相互关联的视角，将代数几何的结构性力量与数论中对离散结构的研究有机结合起来，为深入理解如费马大定理、模形式理论以及L函数等前沿课题奠定了必要的理论基础。通过详尽的例子和严格的证明，本书致力于培养读者运用几何直觉解决算术问题的能力。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和印刷质量，也值得大书特书。在如今许多学术书籍都追求快速出版而牺牲细节的时代，能看到这样一本在制作上如此用心的著作，实在是一种享受。字体选择典雅，数学符号清晰锐利，公式的对齐几乎完美无瑕，这对于需要长时间与复杂公式打交道的读者来说，是极其重要的体验提升。更值得称赞的是，书中附带的图表质量非常高，它们并非是可有可无的装饰，而是真正帮助理解复杂拓扑结构和纤维丛理论的核心工具。特别是关于希尔伯特方案（Hilbert Schemes）那一章的配图，那些三维的直观模型，极大地缓解了抽象定义的晦涩感。可以说，这本书在物理层面上也体现了对知识的尊重，这种对细节的关注，间接反映了作者对所阐述数学内容的精确性要求，读起来让人感到无比踏实和信赖。

评分☆☆☆☆☆

总而言之，这本书并非一本可以在茶余饭后轻松阅读的读物，它需要读者投入大量的精力和专注力，但它所回报的知识深度和思维广度，绝对物超所值。对于那些已经具备扎实代数基础，并渴望进入现代代数几何前沿领域的研究生和青年学者来说，它几乎是不可替代的“圣经”之一。我尤其欣赏作者对于未解决问题的开放态度，书中对于未来研究方向的展望，并非是空泛的口号，而是基于对现有工具深刻理解后的审慎预测。这种鼓励批判性思维和自主探索的精神，才是这本书最宝贵的财富。它教会我的不仅仅是“如何证明”，更是“如何思考”——如何在一个高度抽象的框架内，保持清晰的直觉，并以最优雅的方式表达复杂的数学思想。我期待着未来能有更多这样的经典著作出现，激励我们不断挑战数学知识的边界。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本专著的过程，就像攀登一座巍峨的知识山峰，每一步都充满了挑战，但每登高一尺，视野便开阔一分。我发现作者的叙事节奏掌握得极佳，总能在关键时刻插入一些历史背景或哲学思考，将枯燥的证明过程点缀得富有生机。比如，在讨论椭圆曲线上的模空间（Moduli Spaces）时，作者并没有仅仅停留在构造的层面，而是深入挖掘了这些空间背后蕴含的深刻几何直觉。书中对于“模”这个概念的解析，达到了极高的水准，它不仅仅是一个集合，更是一种对“形状”的精妙编码。我反复研读了关于局部化和正合性的章节，作者在这里运用了一种非常巧妙的论证技巧，将原本需要大量代数操作的证明，简化为了清晰的结构性论证，大大增强了读者的理解效率。对于那些希望将理论应用于实际数论问题的研究者而言，这本书提供的工具箱是异常丰富和实用的，它为你打下的理论基础，远比单纯掌握几个定理要来得坚实和持久。

评分☆☆☆☆☆

相较于市面上其他同类书籍，这本书在处理“算术”与“几何”的结合点上，展现出了一种独特的洞察力。作者并未将两者割裂开来，而是强调了它们之间深刻的内在联系，尤其是在高阶代数簇的L-函数的性质探讨中，这一点表现得尤为突出。我个人特别喜欢作者在引言中提到的一个观点：代数几何是研究“方程的解集之美”的学科，而算术则赋予了这些解集以“整数的约束”。这种视角使得原本可能显得过于形式化的理论，瞬间充满了数论的活力。书中对Faltings定理和相关猜想的讨论，虽然深入且技术性强，但作者始终保持着对底层数学直觉的回归，使得读者即使在面对复杂的上同调理论时，也能锚定在解决具体算术问题的目标上，避免了在纯粹的技巧中迷失方向。这种高屋建瓴的宏观把握，是区分优秀教材与普通参考书的关键所在。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计极具吸引力，那种深邃的蓝色调和抽象的几何图形交织在一起，仿佛预示着一场穿越时空、探索数学奥秘的旅程。初捧此书，便被其散发出的那种严谨而又不失优雅的气质所折服。它不像许多教科书那样冷冰冰地堆砌公式，而是用一种近乎诗意的语言，引导读者逐步深入代数几何的宏伟殿堂。作者在开篇就为我们构建了一个清晰的蓝图，概述了这条研究路径的重要性及其在现代数学中的核心地位。我尤其欣赏书中对概念引入的细致入微，即便是初次接触代数几何的读者，也能感受到作者的耐心引导。例如，他对概形（Scheme）理论的阐述，没有急于求成，而是通过类比和实例，将抽象的构造具象化，让人在理解的愉悦中，自然而然地接受了这些复杂工具的必要性。这种教学上的匠心独运，使得原本令人望而生畏的领域，变得触手可及，让人充满了继续探索下去的渴望。这本书无疑是献给所有对数学结构之美抱有敬畏之心的求知者的上乘之作。

评分☆☆☆☆☆