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出版者:Brooks Cole

作者:James R. Smart

出品人:

页数:480

译者:

出版时间:1997-12-15

价格:USD 227.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534351885

丛书系列:

图书标签:

• 几何
• 几何学
• 现代几何
• 欧几里得
• 非欧几何
• 射影几何
• 拓扑学
• 平面几何
• 空间几何
• 解析几何
• 微分几何

现代几何学：超越欧几里得的疆界 作者：[此处留空，或填写虚构作者名，例如：艾登·卡特赖特] 出版社：[此处留空，或填写虚构出版社名，例如：星辰之光学术出版社] 页数：约 650 页 装帧：精装 --- 图书简介 《现代几何学：超越欧几里得的疆界》是一部雄心勃勃的著作，旨在为读者构建一座坚实的桥梁，连接经典几何学的严谨与二十世纪以来几何学领域的深刻变革。本书并非对传统欧几里得几何的简单复述，而是深入探索了那些挑战我们空间直觉、重塑我们对“形”与“度量”理解的尖端理论。 本书的核心目标是向读者展示，几何学早已超越了平面与三维空间的范畴，成为一门研究拓扑结构、流形、对称性以及更高维度抽象空间的强大语言。我们期望通过严谨的逻辑推导和丰富的几何直观，引领读者领略现代几何学在数学基础、理论物理乃至数据科学中的核心地位。 全书共分为五大部分，循序渐进地引导读者从熟悉的概念出发，逐步迈入复杂而迷人的现代几何殿堂。 --- 第一部分：欧氏几何的基石与反思 (Foundations and Reflections on Euclidean Geometry) 本部分作为导论和回顾，首先对欧几里得几何的五大公设及其逻辑结构进行细致的梳理。我们不会将时间过多地浪费在基础的平面作图上，而是聚焦于那些为现代几何学的诞生埋下伏笔的关键概念： 1. 公理系统的完备性与独立性： 探讨希尔伯特对欧氏公理系统的重构，强调公理化方法的严格性，并为后续引入非欧几何做铺垫。 2. 仿射几何的初步概念： 引入平行性、共线性和共面性在更一般结构下的保持性，为理解变换几何奠定基础。 3. 度量与刚性： 讨论欧氏空间中的距离、角度和面积的定义，并引入初步的群论思想来描述刚体运动（如旋转和平移）。 本节的重点在于“认识到”欧氏几何的成功是建立在特定的公理选择之上的，一旦改变这些选择，新的、同样自洽的几何世界便会涌现。 --- 第二部分：非欧几何的诞生与广阔空间 (The Birth and Breadth of Non-Euclidean Geometries) 这是全书最具突破性的部分之一，详细剖析了人类历史上最伟大的“叛逆”——非欧几何的诞生及其深远影响。 1. 双曲几何 (Hyperbolic Geometry)： 详细阐述罗巴切夫斯基和鲍耶依的思想，重点讨论“双曲平行公设”。通过庞加莱圆盘模型和克莱因半平面模型，读者将直观地理解负曲率空间中三角形内角和小于 180 度的奇特现象。我们深入探讨了测地线（最短路径）的特性，以及在曲面上如何定义“直线”。 2. 椭圆几何 (Elliptic Geometry)： 以黎曼的球面对称几何为代表，讨论正曲率空间，其中“直线”是“大圆”，任意两条“直线”必定相交。我们将比较双曲和椭圆几何的度量张量差异，揭示曲率如何决定了空间的内在结构。 3. 黎曼几何的序曲： 介绍高斯关于曲面的“绝妙定理”（Theorema Egregium），它证明了曲率可以通过在曲面本身上进行的测量（内蕴几何）来确定，无需参考嵌入空间。这标志着现代微分几何的开端。 --- 第三部分：射影几何与不变性 (Projective Geometry and Invariance) 射影几何关注的是在透视投影下保持不变的性质，它揭示了“视点”与“结构”之间的关系。 1. 透视与对偶性： 从文艺复兴时期的绘画透视法出发，引出射影空间的严格定义，包括无穷远线（或点）的概念。 2. 交比 (Cross-Ratio)： 详细讲解交比作为射影不变量的重要性，它超越了距离和角度的限制，成为衡量四个共线点相对位置的根本工具。 3. 对偶原理： 展示射影平面上“点”与“线”的完美对称性，任何一条射影定理都可以通过交换“点”与“线”的术语得到另一个有效的定理。 4. 射影变换群： 将线性代数中的矩阵变换应用于几何空间，研究射影变换群（PGL）的生成元和性质。 --- 第四部分：微分几何的核心：流形与张量 (The Core of Differential Geometry: Manifolds and Tensors) 本部分是理解现代物理学（如广义相对论）和拓扑学不可或缺的桥梁，它将光滑性、微积分引入到任意维度的抽象空间中。 1. 拓扑空间回顾： 简要回顾开集、闭集、紧致性等拓扑概念，强调拓扑学关注的是连续形变下的不变性。 2. 光滑流形的概念： 严格定义微分流形，即局部具有欧氏空间结构，整体上可能扭曲的空间。讲解坐标图册（Atlas）和转移映射（Transition Maps）的重要性，这是处理高维弯曲空间的数学工具。 3. 切空间与向量场： 介绍在流形上定义切向量和向量场的方法，这是微积分应用于弯曲空间的载体。 4. 张量分析基础： 深入探讨协变和反变张量的定义及其变换法则。重点介绍度量张量 $g_{mu u}$ 如何在流形上定义内积和长度，以及著名的黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）如何编码了流形在每一点的局部弯曲程度。 5. 测地线方程： 推导描述流形上“最短路径”的微分方程，并将此与广义相对论中的物质运动轨迹联系起来。 --- 第五部分：拓扑学：不依赖于度量的几何 (Topology: Geometry Independent of Measurement) 本书的收官部分将视角转向了最广义的几何——拓扑学，即研究空间在连续形变下保持不变的性质。 1. 基本群（Fundamental Group）： 引入路径、同伦的概念，计算圆周、球面等简单空间的 $pi_1$ 群，展示拓扑学如何区分“有洞”和“无洞”的空间。 2. 同调论的入门： 简要介绍链复形和边界算子，解释贝蒂数（Betti Numbers）作为拓扑不变量的意义，即它们量化了空间中“孔洞”的数量。 3. 分类问题： 简要提及二维流形的分类定理（如可定向性），展示了拓扑学如何提供一个关于空间本质结构的完整蓝图。 4. 几何化猜想的启示： 讨论庞加莱猜想的解决及其对现代几何学的哲学意义——即在合适的条件下，拓扑结构可以决定几何结构。 --- 总结与展望 《现代几何学：超越欧几里得的疆界》是一部面向高年级本科生、研究生以及致力于拓展数学视野的专业人士的参考书。它不仅提供了严格的数学定义和定理证明，更注重培养读者对空间本质的几何直觉和跨学科思考能力。通过本书，读者将认识到，几何学的现代图景是一个由曲率、连接性、不变性和高维结构交织而成的、生机勃勃的数学领域。学习现代几何学，就是学习理解宇宙结构最深刻的语言。

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坦率地说，初次接触这类主题时，我曾担心内容会过于艰深晦涩，但《现代几何学》的作者展现出了一种惊人的教学天赋。他们似乎深谙如何平衡数学的精确性与读者的接受度。书中对于辛几何的介绍部分，尤其让我印象深刻，作者没有急于给出复杂的李括号定义，而是先从哈密顿力学中的相空间和泊松括号入手，将抽象的代数结构锚定在物理直观上，使得整个理论的构建显得顺理成章，而不是凭空出现。这种自下而上的教学法，极大地降低了阅读门槛。此外，书中对不同几何学派之间的“对话”描述得非常生动，比如欧氏几何、非欧几何、射影几何和微分几何是如何相互启发、相互完善的，这种历史脉络的梳理，让几何学不再是一堆孤立的理论，而是一个生生不息的动态学科群。这本书成功地将数学之“美”与数学之“用”完美结合，读完后，我不仅掌握了知识，更收获了对数学思维方式的深刻理解。

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阅读《现代几何学》的过程，更像是一场与一位博学却又极其耐心的导师进行深入对话。这本书的叙事节奏把握得非常巧妙，它不会急于抛出那些令人望而生畏的复杂公式，而是先铺陈出大量的历史背景和哲学思考，让你理解为什么这些理论会被发展出来，它们试图解决的是什么根本性的问题。例如，在讨论黎曼几何的起源时，作者详尽地描绘了高斯如何从测地线的概念中挣脱出来，形成了对曲面的全新理解，这种叙事方式极大地增强了阅读的代入感和历史的厚重感。我尤其赞赏作者对于“什么是空间”这一核心问题的反复叩问。它不是简单地接受欧几里得的设定，而是系统地审视了非欧几何的必然性及其哲学意涵。书中对于微分几何的介绍，其深度和广度远超我预期的入门级别读物，它在保持严谨的同时，非常注重几何直觉的培养，总能通过精妙的图示或例子来巩固抽象的定义。读完后，我对几何学的理解不再停留于平面和立体图形的范畴，而是上升到了一个处理流形、张量和曲率的更高层次的数学框架，这无疑是一次巨大的心智飞跃。

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我必须强调这本书的排版和印刷质量对阅读体验的巨大提升。在处理复杂的几何图形和矩阵表示时，清晰度至关重要，而这本印刷的字体和线条都锐利到无可挑剔。特别是在讲解微分流形上的切向量空间时，那些三维甚至更高维的局部结构图示，细节丰富且标识清晰，这在很大程度上弥补了纯文本描述的不足。这本书的练习题设计也极富匠心，它们并非简单的计算，而是引导你思考概念的边界和应用潜力。有些题目看似简单，实则需要你对前文的核心定理进行创造性的应用和转化，这才是检验真正掌握与否的试金石。它不仅仅是一本教材，更像是一本工具箱，里面装着未来研究者需要的所有基础工具和思维模式。总而言之，它提供了一个全面、深入且极具启发性的现代几何学概览，那种被严密逻辑所包裹的知识盛宴，让人回味无穷，也为后续更专业的学习奠定了极其坚实的基础。

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这本书的结构安排简直堪称典范，它不像某些学术著作那样堆砌概念，而是构建了一个逻辑严密的知识阶梯。刚开始的章节对射影几何和仿射几何的区分，讲解得极其清晰有力，它们之间的关系被剖析得条分缕析，让你立刻明白不同几何系统之间的本质区别和联系。随后过渡到更抽象的代数几何基础时，虽然难度陡增，但作者巧妙地运用了向量空间和线性代数的工具来辅助理解，使得原本晦涩的交叉领域变得触手可及。我发现，这本书的脚注部分也极具价值，它们并非只是简单的引用来源，更多的是对延伸阅读方向的指引，或者对某些次要但有趣的数学分支的简要介绍，这对于希望深入钻研某个特定领域的读者来说，简直是宝藏。更值得称道的是，它对现代数学物理的渗透性讨论，虽然篇幅不多，但却精准地指出了现代几何学在广义相对论、弦论等前沿领域中的核心地位，激发了我去探索更多跨学科知识的渴望。

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这本书的封面设计实在是太引人注目了，那种深邃的蓝色背景上交织着复杂的几何线条，仿佛能立刻将人拉入一个充满未知与探索的数学世界。我记得我第一次在书店看到它时，仅仅是翻开扉页，就被那种严谨而又富有美感的排版深深吸引了。它不是那种枯燥的教科书，更像是一本精心雕琢的艺术品，每一个定理的阐述都带着一种古典的韵味，但同时又充满了现代数学的锐利和前沿性。作者在引入新的概念时，总是能找到一个绝佳的切入点，从直觉的观察过渡到形式化的证明，这个过程丝滑得令人惊叹。我特别欣赏它在讲解拓扑学基础时所采用的类比，那些关于空间变形和连续映射的描述，即便是初学者也能在大脑中勾勒出清晰的图像。这本书的价值不仅仅在于知识的传递，更在于它培养了一种对抽象结构内在和谐的敏感度，让人在面对复杂的数学结构时，不会感到迷失，反而能从中发现一种深层的秩序和美感。它真的为你打开了一扇通往更高维度思考的大门，每读一章，都感觉自己的认知边界被悄悄地拓宽了一点。

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