具体描述
《高等数学(上)》 一本全面探索数学世界精髓的权威指南 本书是一部深入浅出的高等数学入门读物，旨在为读者构建坚实的数学基础，培养严谨的逻辑思维，并激发对数学学科的浓厚兴趣。全书围绕微积分的核心概念展开，精炼了数学理论的精华，并配以丰富的例题和练习，帮助读者逐步掌握抽象的数学思想，理解数学的内在美。 内容梗概： 本书的编写遵循了逻辑递进的原则，从最基础的概念出发，层层深入，直至触及高等数学的关键领域。 第一章：函数的概念与性质 本章首先回归到函数这一数学中最基本、最重要的研究对象。我们将详细探讨函数的定义、域、值域，以及各种表示法（解析法、列表法、图像法）。在此基础上，我们将深入分析函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等基本性质，并介绍一些常见的初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数，理解它们的图像特征和性质是后续学习的基础。 第二章：极限与连续 极限是微积分的灵魂，也是理解连续、导数、积分等概念的基石。本章将从直观的数列极限和函数极限入手，介绍极限存在的条件、性质以及重要的极限法则。我们将学习如何运用ε-δ语言来严格定义极限，并掌握求极限的各种技巧，包括利用重要极限、泰勒展开等方法。在此基础上，我们将引入无穷小、无穷大等概念，并重点讲解函数在一点处的连续性定义及其判定方法。函数的连续性是保证许多数学定理成立的关键。 第三章：导数与微分 导数是描述函数变化率的强大工具，它在物理学、工程学、经济学等诸多领域有着广泛的应用。本章将从导数的定义（利用极限）出发，详细讲解导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）。我们将系统学习基本函数的求导法则，以及复杂的复合函数、隐函数、参数方程函数的求导方法。微分的概念作为导数的重要补充，也将得到详尽的阐述。微分在近似计算和误差分析中发挥着重要作用。 第四章：导数的应用 本章将全面展示导数在解决实际问题中的强大能力。我们将学习如何利用导数来分析函数的单调性、求函数的极值和最值，进而绘制函数的图像。此外，我们还将探讨导数在优化问题中的应用，例如如何找到利润最大化或成本最小化的条件。洛必达法则作为求不定型极限的有力工具，也将在此章节中得到详细介绍。牛顿法等数值方法也与导数紧密相关。 第五章：不定积分 不定积分是微分的逆运算，它允许我们通过已知导数反求原函数。本章将介绍不定积分的概念、性质以及基本积分公式。我们将学习多种积分技巧，包括换元积分法、分部积分法，以及有理函数、三角函数有理式的积分方法。理解这些技巧是掌握不定积分计算的关键。 第六章：定积分 定积分是微积分的另一个核心概念，它在计算面积、体积、弧长等方面有着不可替代的作用。本章将从定积分的定义（黎曼和）出发，介绍定积分存在的条件和性质。牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）将作为连接微分和定积分的桥梁，展示了它们之间深刻的联系。我们将学习计算定积分的方法，并介绍一些特殊的定积分性质。 第七章：定积分的应用 本章将深入探讨定积分的广泛应用。我们将学习如何利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等几何量。此外，定积分在物理学中也扮演着重要角色，例如计算功、质心、转动惯量等。概率统计中的某些概念也与定积分密切相关。 本书的特点： 严谨而清晰的理论阐述： 本书在保证数学严谨性的同时，力求语言的清晰易懂，避免不必要的术语堆砌。每一个概念的引入都辅以直观的解释和生动的比喻。 丰富的例题解析： 书中精心挑选了大量具有代表性的例题，涵盖了各种题型和解题思路，并提供了详细的解题步骤和技巧分析，帮助读者掌握解决问题的具体方法。 精选的课后练习： 每章的课后练习题设计由易到难，由浅入深，旨在巩固所学知识，检验学习效果，并引导读者进行更深入的思考。 循序渐进的学习路径： 本书按照数学知识的自然逻辑顺序编排，确保读者能够一步一个脚印地构建起对高等数学的全面理解，避免出现知识断层。 启发式教学： 本书不仅仅是知识的传递，更注重培养读者的数学思维能力。通过对概念的深入剖析和对问题的多角度思考，鼓励读者主动探索数学的奥秘。 无论您是即将踏入大学校门的莘莘学子，还是希望系统重温高等数学知识的专业人士，本书都将是您可靠的伙伴。它将带领您领略数学的无穷魅力，为您未来的学习和研究奠定坚实的基础。
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