Generalized Galois Logics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Bimbo, Katalin/ Dunn, J. Michael

出品人:

页数:382

译者:

出版时间:

价格:328.00元

装帧:

isbn号码:9781575865744

丛书系列:

图书标签:

• Galois logic
• Non-classical logic
• Algebraic logic
• Universal algebra
• Mathematical logic
• Residue arithmetic
• Lattice theory
• Category theory
• Philosophical logic
• Truth values

聚焦于数理逻辑前沿的经典著作：《抽象代数结构与范畴论在基础数学中的应用》 本书并非《Generalized Galois Logics》的任何变体或延伸，它是一部完全独立、专注于数理逻辑基础，特别是抽象代数结构和范畴论在现代数学各分支中核心地位的开创性论著。 本书旨在为高年级本科生、研究生以及专业研究人员提供一个严谨、深入且具有高度综合性的视角，审视这些基础概念如何作为现代数学的通用语言和构造工具。 --- 第一部分：集合论基础与可定义性（Foundations and Definability） 本部分首先回顾并深化了策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的公理系统，重点阐述了其在形式化数学中的不可替代性。但与侧重于逻辑演算的著作不同，本书将重心放在可定义性理论（Definability Theory）上。 我们详细探讨了一级语言（First-Order Language）的表达能力和局限性，引入了归谬法（Tarski's Undefinability Theorems）的应用，特别是针对集合论自身内部结构的可定义性问题。随后，我们转向超实数理论（Surreal Numbers）在构造非标准分析模型中的作用，阐述了如何利用特定的集合论结构来构建非标准模型，并证明其在分析学中的一致性。 一个核心章节专门讨论了“可写集”（Projective Sets）和博雷尔集（Borel Sets）的结构差异，利用描述性集合论的工具来区分不同层级的数学对象的复杂性。这为后续引入抽象结构提供了必要的背景，强调了“结构”本身的定义依赖于其基础上的集合论框架。 第二部分：群论的范畴化重构（Categorical Reconstruction of Group Theory） 本书的核心创新之一在于，它摒弃了传统的从具体群到抽象群的教学路径，转而采用范畴论的视角来重新审视代数结构的核心概念。 2.1 群作为函子（Groups as Functors） 我们首先将群（Group）定义为一个特定类型的小范畴（Small Category），其中每个对象都有一个唯一的同构，并且态射的复合满足群的公理。通过这种重构，我们自然而然地引入了群同态（Group Homomorphism）作为范畴间的函子（Functor），以及自然变换（Natural Transformation）在描述不同群表示之间的关系时的作用。 2.2 自由对象与万有性质（Free Objects and Universal Properties） 本章深入探讨了范畴论中的万有性质（Universal Property）。我们详细分析了自由群（Free Group）如何被定义为一个满足特定“接受所有映射”条件的函子，而非仅仅通过生成元和关系来定义。通过引入极限（Limits）和余极限（Colimits）的概念，我们展示了如何用纯范畴论的语言构造出子群、商群乃至直积群，极大地提升了代数推理的抽象层次。 2.3 群作用与表示（Group Actions and Representations） 我们将群作用（Group Action）重新解释为从群范畴到集合范畴的函子。这使得对轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的分析可以转化为函子与特定对象之间的交互。特别地，我们利用等变范畴（Equivariant Categories）的理论来处理具有额外结构的群作用，这为后续在拓扑学和几何学中的应用奠定了基础。 第三部分：环、模与阿贝尔范畴（Rings, Modules, and Abelian Categories） 在巩固了范畴论对群论的重构之后，本书将焦点转向更丰富的代数结构——环和模。 3.1 模作为函子与阿贝尔性（Modules as Functors and Abelianity） 环$R$上的左模被定义为从环范畴（Category of Rings）（或更精确地说，从R到集合范畴的特定函子）。本书重点阐述了阿贝尔范畴（Abelian Category）的定义，即一个具有核（Kernels）和上核（Cokernels）且所有态射序列短正合的范畴。 我们证明了模范畴（Category of Modules） $ ext{Mod-}R$ 具有阿贝尔性，并详细分析了内射对象（Injective Objects）和投射对象（Projective Objects）在这些范畴中的关键作用，如在分解定理（Decomposition Theorems）中的应用。 3.2 射影分解与内射分解（Projective and Injective Resolutions） 本书的代数工具箱部分侧重于同调代数（Homological Algebra）的初步介绍。我们详细构造了射影分解（Projective Resolution）和内射分解（Injective Resolution），并证明了这些分解在构造导出函子（Derived Functors），特别是Tor函子和Ext函子时的等价性。这部分内容清晰地展示了范畴论如何将复杂的代数运算系统化、模块化。 第四部分：代数几何的范畴视角（The Categorical View of Algebraic Geometry） 最后一部分将前述抽象工具应用于代数几何的核心领域，但侧重于其基础结构而非具体点的研究。 4.1 预层与层论基础（Presheaves and Foundations of Sheaf Theory） 我们引入拓扑空间的预层范畴（Category of Presheaves） $ ext{PSh}(X)$，并证明了它是一个阿贝尔范畴。随后，通过引入层化（Sheafification）的构造，我们定义了层范畴（Category of Sheaves） $ ext{Sh}(X)$，并证明了它也是一个阿贝尔范畴。这种构造强调了局部信息如何通过范畴的极限操作被“粘合”成全局结构。 4.2 环空间与概形（Ringed Spaces and Schemes） 本书的收尾部分简要介绍了环空间（Ringed Spaces）的概念，即将一个拓扑空间 $X$ 与一个特殊的层 $mathcal{O}$（结构层）配对。这直接导向了概形（Scheme）的定义，即一个交换环谱（Spec）与结构层 $( ext{Spec}(R), mathcal{O}_{ ext{Spec}(R)})$ 的对。这部分内容展示了从交换环（作为代数对象）到几何对象（概形）的范畴论桥梁是如何搭建起来的，为更高级的代数几何研究提供了坚实的范畴论基础。 --- 总结： 本书是一部高度抽象、专注于形式化基础的数理著作。它通过范畴论的统一视角，系统性地重构了集合论基础、群论、环模理论以及现代代数几何的初步结构。全书旨在揭示隐藏在不同数学分支背后的统一的构造原则和推理模式。

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