Beginning Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:O'Neil, Peter V.

出品人:

页数:180

译者:

出版时间:2008-3

价格:274.00元

装帧:

isbn号码:9780470133897

丛书系列:

图书标签:

偏微分方程
数学
高等数学
工程数学
科学计算
数值分析
应用数学
数学物理
初等偏微分方程
PDE

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具体描述

A rigorous, yet accessible, introduction to partial differential equations-updated in a valuable new edition Beginning Partial Differential Equations, Second Edition provides a comprehensive introduction to partial differential equations (PDEs) with a special focus on the significance of characteristics, solutions by Fourier series, integrals and transforms, properties and physical interpretations of solutions, and a transition to the modern function space approach to PDEs. With its breadth of coverage, this new edition continues to present a broad introduction to the field, while also addressing more specialized topics and applications. Maintaining the hallmarks of the previous edition, the book begins with first-order linear and quasi-linear PDEs and the role of characteristics in the existence and uniqueness of solutions. Canonical forms are discussed for the linear second-order equation, along with the Cauchy problem, existence and uniqueness of solutions, and characteristics as carriers of discontinuities in solutions. Fourier series, integrals, and transforms are followed by their rigorous application to wave and diffusion equations as well as to Dirichlet and Neumann problems. In addition, solutions are viewed through physical interpretations of PDEs. The book concludes with a transition to more advanced topics, including the proof of an existence theorem for the Dirichlet problem and an introduction to distributions. Additional features of the Second Edition include solutions by both general eigenfunction expansions and numerical methods. Explicit solutions of Burger's equation, the telegraph equation (with an asymptotic analysis of the solution), and Poisson's equation are provided. A historical sketch of the field of PDEs and an extensive section with solutions to selected problems are also included. Beginning Partial Differential Equations, Second Edition is an excellent book for advanced undergraduate- and beginning graduate-level courses in mathematics, science, and engineering.

深入探索经典数学的基石：一部引人入胜的偏微分方程导论书籍名称：《经典偏微分方程：理论、方法与应用》目标读者：本科高年级学生、研究生、工程师、物理学家及需要深入理解偏微分方程（PDEs）数学基础和实际应用的科研人员。 --- 导言：穿越时空的数学语言偏微分方程是描述自然界中连续介质变化规律的核心数学工具。从牛顿时代的流体力学到现代的量子场论，从热量如何扩散到电磁波如何在真空中传播，无一不依赖于对这些方程的精确刻画和求解。然而，许多经典教材往往在引入概念时过于侧重特定类型的方程，使得读者对整个PDEs的宏观结构和内在联系缺乏整体认知。本书《经典偏微分方程：理论、方法与应用》旨在填补这一空白。我们摒弃了仅聚焦于“初值问题”或“边值问题”的狭隘视角，转而构建一个统一的、基于物理直觉与严格数学分析相结合的PDEs框架。本书不仅教授“如何解”方程，更深刻探讨“为什么是这个方程”，以及方程的解所蕴含的物理意义。第一部分：基石与范式——PDEs的分类与基本解本部分致力于为读者打下坚实的分析基础，理解不同类型的PDEs如何反映不同的物理机制。第一章：PDEs的统一视角与分类的再认识我们首先回顾常微分方程（ODEs）与PDEs的本质区别，并引入更高维空间中的概念。重点在于特征线理论的几何解释。通过引入二阶线性PDE的一般形式 $Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + dots = f$，我们详细解析了双曲型（如波动方程）、抛物型（如热传导方程）和椭圆型（如拉普拉斯方程）在判别式 $B^2 - 4AC$ 上的物理和数学对应关系。我们将探究，为什么双曲型对应于信息传播，抛物型对应于耗散过程，而椭圆型对应于稳态平衡。第二章：一维核心模型：通向高维的桥梁本章深入探讨三个最基础的一维模型： 1. 线性对流方程（Advection Equation）: 重点剖析解的无耗散性和非线性对流中的波的破碎（Shock Formation）现象，引入弱解和黎曼问题的概念，为非线性分析做铺垫。 2. 热传导方程（Heat Equation）: 关注其正则化性质（即初值中的不连续性如何被迅速平滑），详细推导泊松核（Heat Kernel），并利用其作为傅里叶分析在PDEs中应用的经典案例。 3. 一维波动方程（Wave Equation）: 深入分析有限传播速度的物理含义，并详尽推导达朗贝尔公式（d'Alembert's Formula），展示特征线与解的依赖区域之间的紧密联系。第三章：基本解与格林函数方法本章将“解”的概念提升到更高的抽象层面。我们不再只关注特定边值问题的解，而是关注微分算子在整个空间上的响应函数——基本解（Fundamental Solutions）。我们将：推导 $n$ 维拉普拉斯算子、亥姆霍兹算子和波动算子在 $mathbb{R}^d$ 上的基本解。系统介绍格林函数的概念，展示如何利用基本解通过卷积运算，构造特定边界条件下（如齐次边界）的非齐次方程的解。这为后续研究更复杂的非线性方程提供了强大的工具。第二部分：经典方程的深入剖析与分析方法本部分将侧重于应用现代分析工具来严格证明解的存在性、唯一性和稳定性。第四章：椭圆型方程的稳态世界我们将拉普拉斯方程 $Delta u = 0$ 和泊松方程 $Delta u = f$ 置于中心位置。 1. 最大值原理（Maximum Principle）: 严格证明其重要性，它不仅确保了稳态解的唯一性，还揭示了物理系统中能量或温度的极值所在。 2. 变分法入门：介绍狄利克雷能量泛函，将求解拉普拉斯方程转化为寻找特定函数的极小值问题。这为现代PDE理论中的弱解概念奠定了基础。 3. 傅里叶与拉普拉斯变换的应用：展示如何使用频域分析来解决特定几何区域内的边界值问题。第五章：抛物型方程的时间演化重点研究热传导和扩散过程的数学模型。 1. 时间平滑性与渐近行为：分析解如何随着时间趋于稳态（与椭圆型方程的联系）。 2. 能量泛函分析：构建适当的能量函数，利用积分恒等式直接证明解的适定性（well-posedness），特别是关于初始数据的稳定性。第六章：双曲型方程的因果结构本章聚焦于波动现象，特别是更一般形式的薛定谔方程和更复杂的弹性波方程。 1. 能量守恒与能量积分：使用特定的“能量积分”方法来分析解的稳定性和波动模式的维持，强调特征线与能量传递路径的对应关系。 2. 克莱因-戈登方程（Klein-Gordon）与相对论：简要探讨相对论效应如何从波动方程中产生，引入了更复杂的时空结构。第三部分：现代分析工具与非线性挑战本部分将读者从线性方程的舒适区带入更具挑战性的非线性世界，并介绍更强大的分析工具。第七章：Sobolev 空间与弱解的严格化为应对非线性方程中解的正则性可能下降的问题，我们需要超越经典函数空间。 1. Sobolev 空间 $W^{k,p}$ 的构造：详细解释广义导数的概念，以及为什么它在分析PDEs中是不可或缺的。 2. 嵌入定理的意义：解释Sobolev嵌入定理如何连接了导数的积分范数与函数本身的范数，为后续的紧性论证做准备。 3. 弱解的存在性：在Sobolev空间中重新审视基本方程的解，理解何时我们只能期待弱解，以及弱解的物理意义。第八章：非线性方程的初探本章选择两个重要的非线性模型，展示分析方法的转变： 1. 非线性对流方程（Burgers' Equation）：作为非线性波动方程的简化模型，深入分析激波形成、熵条件的选择，以及弱解的唯一性保证。 2. 非线性扩散（KdV 或尖锐界面方程）：引入守恒律方程的更一般形式，展示如何使用熵解的概念来选择正确的物理解。第九章：数值方法的桥梁与理论验证本书的最后，我们将简要回顾分析结果如何指导实际计算。 1. 有限差分法的局限性：讨论高阶精度格式的稳定性和相容性问题。 2. 有限元法的几何优势：介绍如何利用变分原理将连续问题离散化，重点强调有限元法如何自然地处理不规则边界和高阶方程。 --- 结语：《经典偏微分方程：理论、方法与应用》的核心理念是统一性与物理驱动。通过系统地解构线性方程的结构，并逐步引入现代分析的严谨性，本书旨在培养读者独立分析新型偏微分方程问题的能力，为后续深入研究随机PDE、流体力学或微分几何中的方程奠定坚实而全面的基础。我们相信，对这些经典方程的深刻理解，是探索现代数学物理前沿的必经之路。